Affirmation 1 : La solution de l équation 5 x +4 = 2x +17 est un nombre entier. 31,50

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1 SUJET BREVET 2016 Amérique du nord 9 juin EXERCICE 1 6 POINTS Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier vos réponses. Affirmation 1 : La solution de l équation 5 x +4 = 2x +17 est un nombre entier. Affirmation 2 : Le triangle CDE est rectangle en C. Lunettes 45 31,50 Montre Affirmation 3 : Manu affirme que, sur ces étiquettes, le pourcentage de réduction sur la montre est supérieur à celui pratiqué sur la paire de lunettes.

2 EXERCICE 1 CORRECTION 6 POINTS Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier vos réponses. Affirmation 1 : La solution de l équation 5 x +4 = 2x +17 est un nombre entier. Pour vérifier l affirmation, on résout l équation. 5x +4 = 2x +17 5x - 2x=17 4 3x = 13 x = L affirmation est fausse. Affirmation 2 : Le triangle CDE est rectangle en C. La solution de l équation est rationnelle et non entier. Dans le triangle DCE, [DE] est le plus grand côté. DE² =(13 )² = = DC² + CE² = = ² 7 = = = Donc DE²= DC² + CE² et d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle DEC est rectangle en C. L affirmation est vraie. Lunettes 45 31,50 Montre Affirmation 3 : Manu affirme que, sur ces étiquettes, le pourcentage de réduction sur la montre est supérieur à celui pratiqué sur la paire de lunettes. On calcule le pourcentage de réduction. Lunettes : il y a 45 31,50 = 13,50 de réduction. So it en pourcentage = 30 %. Montre : il y a = 14 de réduction. Soit en pourcentage = 25%. La réduction en pourcentage est supérieure sur les lunettes. L affirmation est fausse.

3 EXERCICE 2 4 POINTS 1. Guilhem, en week-end dans une station de ski, se trouve tout en haut de la station. Il a en face de lui, deux pistes noires, deux pistes rouges et une piste bleue qui arrivent toutes à un restaurant d altitude. Bon skieur, il emprunte une piste au hasard. a. Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge? b. À partir du restaurant, sept autres pistes mènent au bas de la station : trois pistes noires, une piste rouge, une piste bleue et deux pistes vertes. Quelle est la probabilité qu il emprunte alors une piste bleue? 2. Guilhem effectue une nouvelle descente depuis le haut de la station jusqu en bas dans les mêmes conditions que précédemment. Quelle est la probabilité qu il enchaîne cette fois -ci deux pistes noires?

4 EXERCICE 2 CORRECTION 4 POINTS 1. Guilhem, en week -end dans une station de ski, se trouve tout en haut de la station. Il a en face de lui, deux pistes noires, deux pistes rouges et une piste bleue qui arrivent toutes à un restaurant d altitude. Bon skieur, il emprunte une piste au hasard. a. Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge? P(«piste rouge») =. b. À partir du restaurant, sept autres pistes mènent au bas de la station : trois pistes noires, une piste rouge, une piste bleue et deux pistes vertes. Quelle est la probabilité qu il emprunte alors une piste bleue? P(«piste bleue») =. 2. Guilhem effectue une nouvelle descente depuis le haut de la station jusqu en bas dans les mêmes conditions que précédemment. Quelle est la probabilité qu il enchaîne cette fois -ci deux pistes noires? P(«enchaîne deux pistes noires») =.

5 EXERCICE 3 5 POINTS Une station de ski a relevé le nombre de forfaits «journée» vendus lors de la saison écoulée (de décembre à avril). Les résultats sont donnés ci -dessous dans la feuille de calcul d un tableur. 1. a. Quel est le mois durant lequel la station a vendu le plus de forfaits «journée»? b. Ninon dit que la station vend plus du tiers des forfaits durant le mois de février. A-t-elle raison? Justifier. 2. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour obtenir le total des forfaits «journée» vendus durant la saison considérée? 3. Calculer le nombre moyen de forfaits «journée» vendus par la station en un mois. On arrondira le résultat à l unité.

6 EXERCICE 3 CORRECTION 5 POINTS Une station de ski a relevé le nombre de forfaits «journée» vendus lors de la saison écoulée (de décembre à avril). Les résultats sont donnés ci -dessous dans la feuille de calcul d un tableur. 1. a. Quel est le mois durant lequel la station a vendu le plus de forfaits «journée»? La station a vendu au mois de février le plus de forfaits «journée». b. Ninon dit que la station vend plus du tiers des forfaits durant le mois de février. A-t-elle raison? Justifier. La fréquence des forfaits du mois de février est de = 0,392 arrondi au millième. 0,392 > donc Ninon a raison de dire que la station vend plus du tiers des forfaits durant le mois de février. 2. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour obtenir le total des forfaits «journée» vendus durant la saison considérée? =SOMME(B2:F2) 3. Calculer le nombre moyen de forfaits «journée» vendus par la station en un mois. On arrondira le résultat à l unité. M = = arrondi à l unité. Le nombre moyen de forfaits «journée» est de

7 EXERCICE 4 4 POINTS Sur un télésiège de la station de ski, on peut lire les informations suivantes : Télésiège 6 places Vitesse : 5,5 m.s 1 Puissance : 690 kw Débit maxi : 3000 skieurs par heure Altitude du départ : 1839 m Altitude de l arrivée : 2261 m Distance parcourue entre le départ et l arrivée : 1453 m Ouverture du télésiège : 9h Fermeture : 16h 1. Une journée de vacances d hiver, ce télésiège fonctionne avec son débit maximum pendant toute sa durée d ouverture. Combien de skieurs peuvent prendre ce télésiège? 2. Calculer la durée du trajet d un skieur qui prend ce télésiège. On arrondira le résultat à la seconde, puis on l exprimera en minutes et secondes. 3. Calculer l angle formé avec l horizontale par le câble de ce télésiège. On arron dira le résultat au degré.

8 EXERCICE 4 CORRECTION 4 POINTS Sur un télésiège de la station de ski, on peut lire les informations suivantes : Télésiège 6 places Vitesse : 5,5 m.s 1 Puissance : 690 kw Débit maxi : skieurs par heure Altitude du départ : m Altitude de l arrivée : m Distance parcourue entre le départ et l arrivée : m Ouverture du télésiège : 9 h Fermeture : 16 h 1. Une journée de vacances d hiver, ce télésiège fonctionne avec son débit maximum pendant toute sa durée d ouverture. Combien de skieurs peuvent prendre ce télésiège? skieurs par heure. La durée d ouverture est de 16 9 = 7 h = skieurs dans la journée. 2. Calculer la durée du trajet d un skieur qui prend c e télésiège. On arrondira le résultat à la seconde, puis on l exprimera en minutes et secondes. Il faut parcourir m à la vitesse de 5,5 m.s - 1. V = d/t donc t = d/v = 1 453/5,5 = 264 s arrondi à la seconde près. 264 s= = 4 min 24 s. La durée du trajet d un skieur est de 4 min 24 s. 3. Calculer l angle formé avec l horizontale par le câble de ce télésiège. On arrondira le résultat au degré. On visualise un triangle rectangle. Par application du sinus, on a : Sin = = 17. L angle formé avec l horizontale par le câble est de 17.

9 EXERCICE 5 5 POINTS Une station de ski propose deux tarifs de forfaits : Tarif 1 : le forfait «journée» à 40,50. Tarif 2 : Achat d une carte club SKI sur Internet pou r 31 et donnant droit au forfait «journée» à Déterminer par le calcul : a. Le tarif le plus intéressant pour Elliot qui compte skier deux journées. b. Le nombre de journées de ski à partir duquel le tarif 2 est plus intéressant. 2. Utiliser le graphique ci-dessous qui donne les prix en euros des forfaits en fonction du nombre de jours skiés pour les deux tarifs. Déterminer par lecture graphique : a. Le tarif pour lequel le prix payé est proportionnel au nombre de jours skiés. On justifiera la réponse. b. Une estimation de la différence de prix entre les deux tarifs pour 6 jours de ski. c. Le nombre maximum de jours de ski que peut faire Elliot avec un budget de 275.

10 EXERCICE 5 CORRECTION 5 POINTS Une station de ski propose deux tari fs de forfaits : Tarif 1 : le forfait «journée» à 40,50. Tarif 2 : Achat d une carte club SKI sur Internet pour 31 et donnant droit au forfait «journée» à Déterminer par le calcul : a. Le tarif le plus intéressant pour Elliot qui compt e skier deux journées. Tarif 1 pour 2 jours : 40,50 2 = 81 Tarif 2 pour 2 jours : = = 95 Le tarif le plus intéressant pour Elliot est le tarif 1. b. Le nombre de journées de ski à partir duquel le tarif 2 est plus intéressant. Soit x le nombre de journées de ski. Tarif 1 : 40,5x Tarif 2 : x On cherche x tel que le tarif 2 soit le plus intéressant x < 40,5x 31 < 40,5x - 32x 31 < 8,5x < x = 3,65 arrondi au centième. A partir de 4 journées le tarif 2 est plus intéressant.

11 2. Utiliser le graphique ci -dessous qui donne les prix en euros des forfaits en fonction du nombre de jours skiés pour les deux tarifs. Déterminer par lecture graphique : a. Le tarif pour lequel le prix payé est proportionnel au nombre de jours skiés. On justifiera la réponse. La représentation du tarif 1 est une droite qui passe par l origine du repère donc le prix est proportionnel au nombre de jours de ski. b. Une estimation de la différence de prix entre les deux tarifs pour 6 jours de ski. Tarif 1 pour 6 jours : environ 187,50 Tarif 2 pour 6 jours : environ 203 La différence de prix est de ,5 = 15,5. c. Le nombre maximum de jours de ski que peut faire Elliot avec un budget de 275. D après le graphique le nomb re maximum de jours de ski est de 7 jours avec un budget de 275.

12 EXERCICE 6 7 POINTS Sur l altiport (aérodrome d altitude) de la station de ski se trouve une manche à air qui permet de vérifier la direction et la puissance du vent. Cette manche à air à la forme d un tronc de cône de révolution obtenu à partir d un cône auquel on enlève la partie supérieure, après section par un plan parallèle à la base. On donne : AB = 60 cm, A B = 30 cm, BB = 240 cm. O est le centre du disque de la base du grand cône de sommet S. O milieu de [OS], est le centre de la section de ce cône par un plan parallèle à la base. B appartient à la génératrice [SB] et A appartient à la génératrice [SA]. 1. Démontrer que la longueur SB est égale à 480 cm. 2. Calculer la longueur SO. On arrondira le résultat au centimètre. 3. Calculer le volume d air qui se trouve dans la manche à air. On arrondira au centimètre cube. On rappelle les formules du volume d un cône et l aire d un disque de rayon R : V c ô n e = aire de la base hauteur et A d i s q u e = π R²

13 EXERCICE 6 CORRECTION 7 POINTS Sur l altiport (aérodrome d altitude) de la station de ski se trouve une manche à air qui permet de vérifier la direction et la puissance du vent. Cette manche à air à la forme d un tronc de cône de révolution obtenu à partir d un cône auquel on enlève la partie supérieure, après section par un plan parallèle à la base. On donne : AB = 60 cm, A B = 30 cm, BB = 240 cm. O est le centre du disque de la base du grand cône d e sommet S. O milieu de [OS], est le centre de la section de ce cône par un plan parallèle à la base. B appartient à la génératrice [SB] et A appartient à la génératrice [SA]. 1. Démontrer que la longueur SB est égale à 480 cm. Dans les triangles SOB et SO B, les droites (O B ) et (OB) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : SB = SB BB = SB SB = 30(SB 240) 15SB= 30SB = 30SB 15SB = 15SB SB = 7 200/15 = 480 cm. 2. Calculer la longueur SO. On arrondira le résultat au centimètre. Dans le triangle SOB rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore. SB² = SO² + OB² SO² = SB² - OB² = 480² - 30² = = SO = = 479 cm arrondi au centimètre. 3. Calculer le volume d air qui se trouve dans la manche à air. On arrondira au centimètre cube. V t r o n c = V S A B V S A B = V S A B V S A B = V S A B = = cm 3.

14 EXERCICE 7 5 POINTS Un couple et leurs deux enfants Thomas et Anaïs préparent leur séjour au ski du 20 au 27 février. Ils réservent un studio pour 4 personnes pour la semaine. Pendant 6 jours, Anaïs et ses parents font du ski et Thomas du snowboard. Ils doivent tous louer leur matériel. Ils prévoient une dépense de 500 pour la nourriture et les sorties de la semaine. Location de matériel de ski : Adulte : skis, casque, chaussures : Enfant : skis, casque, chaussures : Enfant : snowboard, casque, chaussures : 17 par jour 10 par jour 19 par jour F o r m u l e 1 1 a d ul t e 1 8 7,5 0 p o u r 6 j o u rs 1 e n f an t 16 2, 50 p o u r 6 j o u rs F o r m u l e 2 A c h a t d un e C a r te F am il l e 120 P u i s : 1 f o r f ai t ad u l te 25 pa r jour 1 f o r f ai t en f a n t 20 pa r jour 1. Déterminer pour cette famille, la formule la plus intéressante pour l achat des forfaits pour six jours. 2. Déterminer alors le budget total à prévoir pour leur séjour au ski.

15 EXERCICE 7 CORRECTION 5 POINTS Un couple et leurs deux enfants Thomas et Anaïs préparent leur séjour au ski du 20 au 27 février. Ils réservent un studio pour 4 personnes pour la semaine. Pendant 6 jours, Anaïs et ses parents font du ski et Thomas du snowboard. Ils doivent tous louer leur matériel. Ils prévoient une dépense de 500 pour la nourriture et les sorties de la semaine. Location de matériel de ski : Adulte : skis, casque, chaussures : Enfant : skis, casque, chaussures : Enfant : snowboard, casque, chaussures : 17 par jour 10 par jour 19 par jour F o r m u l e 1 1 a d ul t e 1 8 7,5 0 p o u r 6 j o u rs 1 e n f an t 16 2, 50 p o u r 6 j o u rs F o r m u l e 2 A c h a t d un e C a r te F am il l e 120 P u i s : 1 f o r f ai t ad u l te 25 pa r jour 1 f o r f ai t en f a n t 20 pa r jour 1. Déterminer pour cette famille, la formule la plus intéressante pour l achat des forfaits pour six jours. Formule 1 : 2 187, ,50 = 700 Formule 2 : = = 660 Le forfait 2 est plus intéressant. 2. Déterminer alors le budget total à prévoir pour leur séjour au ski. On a déjà le montant des forfaits par la formule 2 à 660. Location du logement : un studio 4 personnes à Location du matériels : = = 378. Alimentation et sorties : 500 Soit le budget total est de : = Le budget à prévoir pour la famille est de