Brevet Blanc de Mathématiques février 2015
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- Raymonde Clémence Bellefleur
- il y a 7 ans
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1 Exercice 1 On donne la feuille de calcul ci-contre. Brevet Blanc de Mathématiques février 2015 On a calculé, en colonne B, les valeurs prises par la fonction pour les valeurs de inscrites en colonne A. 1. Calculer la valeur de la cellule B6. f (-3)=(-3)² + (-3) -2 = = 4 2. Quelle formule a-t-on écrite en B2? =A2*A2+ A2 2 ou = A2² +A Quelle est l'image de 0 par la fonction f? Par lecture du tableau, ligne 12, f(0)=-2 4. Margot dit que le nombre 2 est un antécédent de 4 par la fonction f. A-t-elle raison? Justifier la réponse. D après le tableau, ligne 16, f(2)=4 donc 2 est un antécédent de 4. Margot a raison. 5. Léo pense que le nombre 18 est un antécédent de 4 par la fonction f. A-t-il raison? Justifier la réponse par le calcul. On calcule f(18) ; f(18)= 18² = 340 ; 18 n a qu une image c est 340 donc ce n est pas 4, et 18 n est pas un antécédent de 4. Léo a tort 6. D après le tableau, peut-on trouver un autre antécédent de 4 par la fonction f? En ligne 6, d après la question 1, f(-3) = 4, donc -3 est un antécédent de 4 Exercice 2 4 points Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 78 dragées au chocolat et 130 dragées aux amandes. 1. Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles.chaque corbeille doit avoir la même composition. Combien reste-t-il de dragées au chocolat non utilisées? Dans la division euclidienne de 78 par 20 : 78 = Ou = 3,9, 3 20= 60 et 78-60= 18 Donc il reste 18 dragées chocolat. Combien lui reste-t-il de dragées aux amandes non utilisées? Même méthodes : 130 = ou = 6,5 donc il reste 10 dragées aux amandes 2. Emma et Arthur changent d avis et décident de proposer des petits ballotins dont la composition est identique. Ils souhaitent qu il ne leur reste pas de dragées. a. Emma propose d en faire 13. Ceci convient-il? Justifier =6, sans reste = 10, sans reste Donc la proposition convient : chaque ballotin comporte 6 dragées chocolat et 10 aux amandes b. Finalement, ils se mettent d accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et quelle sera leur composition? Page 1 sur 5
2 Il faut déterminer un diviseur commun à 78 et 130, et prendre le plus grand : donc on calcule le PGCD( 78,130) Méthode au choix à justifier Liste diviseurs 78 Liste diviseurs de 130 ou soustractions successives Divisions =52 dividende diviseur reste = = = PGCD( 130,78)= 26 donc le plus grand nombre de ballotins est 26 ; or 130= 26 5 et 78 = 26 3 Chaque ballotin contient donc 3 dragées chocolat et 5 dragées amande Exercice 3 5 points Un avion décolle de Saint-Denis de la Réunion pour aller jusqu à Paris. Le trajet dure 10h. Ci-contre la courbe de la fonction f qui représente l altitude de l avion en mètres à l instant t en heures. 1. légende portées sur chaque axe ( sur copie) altitude en m :axe des ordonnées et durée du vol en heures : axe abscisses 2. Déterminer f(6) et l image de 10 f(6)=4 000 et f(10)=0 3. Quelle est l altitude approchée de l avion au bout de 2h de vol? f(2)~ 8 500m 4. Quelle a été l altitude maximale de l avion? f(max)= 9 000m Au bout de combien de temps de vol? 3h 5.Déterminer une valeur approchée des antécédents de f(0,5)=f(6)=4 000 A quoi correspondent ces valeurs pour le pilote? Après 30min de vol le pilote atteint 4 000m (phase de montée) et après 6h de vol aussi( phase de descente) Exercice 4 Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisées ci-dessous : le parcours ACDA le parcours AEFA On souhaite faire un parcours dont la longueur s approche le plus possible de 4km.Peux-tu les aider à choisir le parcours? Justifie. AC = 1,4 km CD = 1,05 km AE = 0,5 km AE = 1,3 km AF = 1,6 km E F = 0,4 km Page 2 sur 5
3 Parcours ACDA : ACD est un triangle rectangle en C, donc d après le théorème de Pythagore on a : AC² +CD² = AD² 1,4² + 1,05² = AD² donc AD² = 3,0625 et AD = 3, 0625 = 1,75 km Le périmètre du parcours 1 est : P1= AC+CD+DA soit P1= 1,4 +1,05 +1,75 P1 = 4,2 km Parcours AEFA Calcul de EF : les droites (EE ) et (FF ) sont sécantes en A. Elles coupent les deux droites parallèles (E F ) et (EF). Donc d après Thalès, les triangles AEF et AEF ont des longueurs de côtés proportionnelles. AE ' A E' AE ' E' E' AE Donc : et en particulier : donc EF AE AF EF AE EF AE' 1,3 0,4 En remplaçant par les longueurs données : EF = 1,04 km 0,5 Le périmètre du parcours 2 est P2= AE+FE+FA sot P2= 1,3 +1,04+1,6 P2= 3,94 km Le parcours AEFA est donc préférable. ( 4-3,94=0,06km et 4,2-4=02km ) Exercice 5 On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. Ajouter 1. Calculer le carré du résultat obtenu. Soustraire le carré du nombre de départ. Soustraire a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu on obtient 20. P(10)= (10 +1)² - 10² -1 = 11² -10² -1 = = 20 b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 3 et montrer qu on obtient 6. P(-3)=(-3 +1)² - (-3)² -1 = (-2)² -9-1 = = -6 c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5. P(1,5)= (1,5+1)² - 1,5² -1 =2,5² -1,5² -1 = 3 2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programmede calcul? Le programme de calcul permet d obtenir le double de nombre de départ Démontrer cette conjecture. (on prend en compte toute trace de recherche ) Le programme s écrit pour n importe quel nombre relatif a P= (a+1)² -a² -1 ; en développant on obtient : P= a² +2a +1 a² -1 ; en réduisant on obtient : P = 2a soit le double du nombre au départ a Exercice 6 Page 3 sur 5 3 points
4 Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée aumaximumetelle est tendue, elle mesure 50m. S : position de Simon C : position du cerf-volant SC = 50m 1. La ficelle fait avec l horizontale un angle CSH qui mesure 80. Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre). Dans le triangle SCH rectangle en H on peut utiliser les fonctions trigonométriques donc en particulier : CH sin CSH ˆ donc CH sin CSH ˆ SC SC CH sin CH 49m 2. Lorsque la ficelle fait avec l horizontaleun angle de 40, la distance CH est-elle la moitié de celle calculée au 1.? Justifier la réponse. Pour un angle de 50 on obtient de même : CH sin donc CH 32m Donc la hauteur du cerf-volant n et pas proportionnel à l angle de sommet S. Exercice 7 Le cube représenté ci-contre est uncube d arête 6 cm. On considère : le pointmmilieu de l arête *BB ], le point Nmilieu de l arête *CC ], le point Pmilieu de l arête *DC+, le point R milieu de l arête *AB+. 5,5 points 1. Quelle est la nature du triangle BRM? BRM est un triangle rectangle et isocèle en B Construire ce triangle en vraie grandeur. BR=3cm, BM=3cm et l angle de sommet B est droit donc on peut construire ce triangle. 2. On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l arête *BC+.La section est le quadrilatère RMNP. Quelle est la nature de la section RMNP? RMNP est un rectangle dont on ne connaît que une longueur RP=MN=6cm ; l autre côté RM a été construit dans la question précédente. Page 4 sur 5
5 Construire RMNP en vraie grandeur.(noms des sommets attendus) A partir de la construction précédente de BRM, on utilise le côté RM pour construire le rectangle avec RP=MN= 6cm 3. Calculer l aire du triangle RBM. RBM est un triangle rectangle en B donc son aire est : (RB BM) 2 = 4,5cm² Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC]. Volume du prisme : V= aire base hauteur prisme donc V= Aire RBM RP = 4,5 6= 27cm 3 4. Le cube ci-dessous est représenté en perspective cavalière. Sur le cube, placer I le milieu de [AA'] puis représenter la section de ce cube par le plan parallèle à la face ABCD passant par I : en perspective les milieux sont respectés, donc il faut, sur la représentation du cube placer I au milieu de l arête [AA ] Quelle est la nature de cette section? Le plan de coupe est parallèle à une face du cube, donc la section est un carré de 6cm de côté Exercice 8 5 points Pour chaque question, quatre réponses sont proposées ; une ou plusieurs de ces réponses sont exactes. Une réponse correcte donne 0,5 ou 1 point. Une réponse fausse annule une bonne réponse. L absence de réponse ne donne aucun point. Question1 : D Question 2 : A et B Question 3 : B Question 4 : A et D Question 5 : D 1 Enoncés et questions Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D OPR est un triangle avec : OP=4cm, PR=3cm, OR =6cm. Le triangle OPR est rectangle en R Le triangle est rectangle en O 2 9 Le double de est 4 4, La forme développée de 3x(5 4x) est : 15x 12x 15 12x² 4 Les deux tiers des 30 élèves sont absents Il reste 10 élèves en classe Il y a 10 absents 5 Le volume d un cube est de 3 125dm ; l arête de ce cube est : 2 5dm Le triangle OPR est rectangle en P 9 8 3x x ² Il reste 20 élèves en classe Le triangle OPR n est pas un triangle rectangle x Il y a 20 absents 5 mm 25 dm 5 dm Page 5 sur 5
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