Le choix du consommateur en présence de deux nuisances dont la réduction est coûteuse

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1 Le choix du consommateur en présence de deux nuisances dont la réduction est coûteuse Un individu doit arbitrer entre deux nuisances X 1 et X sur l intensité desquelles il peut agir. On admet qu il est possible de réduire les nuisances 1 et sans frais jusqu à des niveaux respectivement égaux à : X 1 = 10 X = 100 Pour descendre en deçà de ces niveaux, en revanche, il faut payer au delà de ces seuils, toute diminution unitaire supplémentaire du niveau de la nuisance induit une dépense p 1 pour la nuisance 1, p pour la nuisance. Les préférences sont décrites par la fonction d utilité : 0000 U(x) = 1 1) Donnez les expressions des utilités marginales induites par des diminutions unitaires (supposée très petites) de chacune des deux nuisances ) Déduisez-en le TMS 1 3) Donnez l expression de la contrainte de budget 4) Dans quel cas cette contrainte est-elle susceptible d être saturée? 5) Donnez l équation de la courbe d indifférence associée à un niveau d utilité égal à U 6) Quelle propriété devrait satisfaire le réseau de courbe d indifférences pour que l on puisse dire que l hypothèse de quantités positives de tous les biens soit vérifiée. 7) Cette propriété est-elle justement satisfaite dans le cas de notre fonction d utilité? 8) Que peut-il se passer si on applique, sans discernement la méthode de détermination de l équilibre qui consiste à résoudre le système d équation : TMS 1 = p 1 / p Revenu = Dépense

2 9) Que choisit de faire l individu si Y = 40, p 1 = 10 et p = 5 10) Même question mais pour Y = 40, p 1 = 4 et p = 1 11) et enfin, si Y = 1000, p 1 = 10 et p = 5 1 ) Les utilités marginales des nuisances 1 et sont telles que : 0000 δ Um 1 (x) = 1 = x1( x1 + x ) δx δ Um (x) = 1 = 0000 ( x1 + x) δx On note que ces utilités marginales sont négatives... ce qui n a rien de surprenant puisque les «biens» 1 et qui font l objet du choix sont, en réalité, des nuisances. ) Le taux marginal de substitution de la nuisance 1 à la nuisance est défini comme le rapport des utilités marginales : TMS (x) 1 Um (x) Um (x) 1 = = x 1 On note que ce TMS est positif puisque les deux utilités marginales sont négatives : si le niveau de nuisance 1 augmente d une unité (réputée très petite) il est nécessaire, pour maintenir le niveau de satisfaction inchangé, que le niveau de nuisance diminue d un montant égal à x 1. 3 ) La contrainte de budget exige que la dépense engagée pour réduire l intensité des nuisances en deçà des niveaux qu il est possible d atteindre gratuitement demeure inférieure ou égale au revenu Y dont dispose l individu : p 1 ( X 1 x 1 ) + p ( X x ) Y 4 ) La contrainte est saturée aussi longtemps que le revenu du consommateur ne lui permet pas de réduire à néant les deux nuisances. Bien sûr, dès lors que le point (0, 0) pourrait être atteint, on peut imaginer que le consommateur cesserait de dépenser son revenu à la réduction de nuisances dont, à vrai dire, il n est plus possible d en réduire matériellement l intensité. En revanche dans tous les autres cas (qui exigent donc que le revenu ne soit pas assez important

3 pour permettre d éradiquer totalement ces nuisances), la contrainte sera saturée, c est à dire vérifiée à l égalité. 5 ) La courbe d indifférence associée au niveau de satisfaction U est le lieu de tous les couples (x 1, x ) qui vérifient l égalité : 0000 U = 1 ce qui implique que, le long de cette courbe, on vérifie : x 0000 = x U 1 6 ) Dans le cas de deux biens, pour qu on puisse dire des préférences qu elles satisfont l hypothèse de quantités positives de tous les biens, il faut nécessairement que tous les paniers à l intérieur desquels l un des deux biens serait absent soient rangés, par le consommateur, tout en bas de son échelle des préférences (c est à dire au même niveau que le panier vide). Ce qui se traduit, graphiquement, par le fait que les courbes d indifférence ne rencontrent jamais les axes. Ici, le contexte est un peu différent puisque les «biens» considérés sont des nuisances. La condition à remplir peut néanmoins être transposée. Nous dirons, dans ce nouveau contexte, que l hypothèse de quantité positives de tous les biens est satisfaite si le consommateur met au même niveau - une situation dans laquelle aucune des deux nuisances ne fait l objet de mesures permettant d en réduire l intensité en deçà de ce qu il est possible d atteindre sans frais ( X 1 = 10, X = 100). Transposé dans le contexte de deux nuisances, c est ce qui correspond au cas du panier vide - une situation dans laquelle seule l une des deux nuisances ferait l objet de mesures d atténuation et où le niveau de l autre demeurerait inchangée, par exemple : (x 1 = 10, x = 70) ou encore (x 1 = 5, x = 100). Graphiquement, la vérification de cette condition devrait se traduire par le fait que les courbes d indifférence ne coupent jamais les parallèles aux axes menées à partir du point de coordonnées ( X 1 = 10, X = 100).

4 7 ) Cette propriété n est pas satisfaite dans le cas de notre fonction d utilité. En effet, on peut vérifier sans peine que l utilité retirée, par exemple, du point (x 1 = 10, x = 70) est supérieure à celle qui est retirée du couple ( X 1 = 10, X = 100) : U(x 1 = 10, x = 70) = > U( X 1 = 10, X = 100) = 100 Les courbes d indifférence coupent donc les parallèles aux axes. 8 ) Lorsqu on applique, sans discernement, la méthode de détermination de l équilibre qui consiste à résoudre le système d équation : TMS 1 = p 1 / p Revenu = Dépense on peut être confronté à plusieurs cas de figure : 1) la solution de ce système est un couple (x 1, x ) pour lequel les niveaux résiduels de nuisance sont inférieurs aux niveaux X 1 et X qu on peut atteindre sans frais. Dans ce cas, on a le droit de dire que le point identifié par application de cette règle est un point d équilibre : c est le meilleur point qu on puisse atteindre (en termes d utilité induite) dans les limites budgétaires Equilibre 100 Zone budgétairement accessible Contrainte de budget 0 10 ) la solution de ce système est un couple (x 1, x ) pour lequel l un des niveaux résiduels de nuisance est supérieur au niveau correspondant qu il est possible d atteindre sans frais. Dans ce cas, le point identifié est un «faux ami» et le point d équilibre doit alors être

5 recherché sur la droite de budget à l intersection de celle-ci avec l une des deux parallèles aux axes menées à partir du point ( X 1, X ). qu on peut atteindre sans frais. Faux Ami Equilibre 100 Zone budgétairement accessible Contrainte de budget ) la solution de ce système est un couple (x 1, x ) pour lequel l un des niveaux résiduels de nuisance est négatif. Dans ce cas, le point identifié est encore un «faux ami» et le point d équilibre doit alors être recherché sur la droite de budget à l intersection de celle-ci avec l une des deux axes. Faux Ami Equilibre 100 Zone accessible budgétairement Contrainte de budget 0 10

6 9 ) Pour un système prix-revenu caractérisé par Y = 40 ; p 1 = 10 et p = 5, le point (0,0) ne peut être atteint. Il en résulte que l individu n étant pas encore totalement satisfait du niveau résiduel de nuisances, la contrainte de budget est vérifiée à l égalité : p 1 ( X 1 x 1 ) + p ( X x ) = Y En résolvant le système d équations : Revenu = Dépense TMS 1 = p 1 / p c est à dire, plus précisément : 40 = 10 (10 x 1 ) + 5 (100 x ) x 1 = on obtient la solution : x E 1 = 1 x E = 70 Cette solution se caractérise par des niveaux de nuisance moindres que ceux qu il est possible d atteindre gratuitement. C est donc un point d équilibre ) Dans le cas Y = 40, p 1 = 4 et p = 1, la «règle» ci-dessus aboutit à la solution (F pour «Faux Ami») : x F 1 = 1 ; x F = L équilibre est alors atteint au point d intersection entre la droite de budget et l axe (0, x 1 ), c est à dire le point pour lequel : x 1 = 4.17 ; x = 0

7 11 ) Si Y = 1000, p 1 = 10 et p = 5, le bonheur du consommateur est total puisqu il peut alors éradiquer totalement les deux nuisances sans qu il soit même nécessaire d y consacrer la totalité du revenu!