Racines carrées. Si a 0 alors ( a ) 2 =

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1 Collège Elie COUTAREL Année G.MANDALLAZ. Ecrit avec L A TEX Racines carrées 1 Définition Définition 1 On appelle racine carrée du nombre a supérieur ou égal à 0, noté a, le nombre positif dont le carré est a. Si a 0 alors ( a ) = a = a Exemple 1 9 = car = 9. 0, 16 = 0, 4 car 0, 4 = 0, = 0 car 0 = 0. 1 = 1 car 1 = 1. : IMPOSSIBLE!! On ne peut extraire (ou calculer) que la racine carrée d un nombre positif. Remarque 1 Peut-on calculer facilement comme dans les exemples précédents la racine carrée de n importe quel nombre positif? Le résultat sera-t-il tout le temps un nombre décimal ou fractionnaire? La réponse est non pour ces deux questions, pour les carrés dits parfaits le calcul est simple : 169 = 1. Certaines racines carrées peuvent s exprimer sous la forme d un nombre rationnel, mais pour la plus grande partie ce sont des nombres "nouveaux", ce qui explique l écriture avec le symbole radical. Exemple Montrons que est un nombre irrationnel (c est à dire qu il ne peut pas s écrire sous forme d une fraction de nombres entiers). Pour démontrer celà, on va procéder par ce que l on appelle un raisonnement par l absurde, on va supposer le contraire de ce qe l on souhaite démontrer, et essayer d aboutir à une contradiction qui nous permettra d affirmer que notre hypothèse est erronée. Supposons que soit rationnel, c est-à-dire qu il existe p et q entiers positifs tels que = p q choisir p et q de sorte que la fraction soit irréductible. et on peut De l égalité = p q on a en élevant au carré = p q ou encore 1 = p q et donc p = q. Ainsi p est divisible par, et nécessairement divise également p (p est donc pair). On peut donc écrire p = r et en élevant au carré on a p = 4r. Ainsi : { p = q p = 4r q = 4r q = r. 1

2 Ainsi q est divisible par et nécessairement q est divisible par (q est donc pair). On peut alors écrire q = s. Ainsi p = r et q = s donc p q = r s : donc la fraction n est pas irréductible! CONTRADICTION L opération racine carrée se comporte comme une puissance, on a donc les propriétés suivantes : Propriétés Propriété 1 Si a 0 et b 0 alors ab = a b Exemple Simplification d écriture (on essaie de factoriser avec un carré parfait) : = 16 = 16 = 4. = 6. 6 = = {{ =. 60 = 4 15 = 4 15 = = 5 16 = 5 16 = 4 5. Exemple 4 Simplification d écriture (on arrive pas à trouver de carrés parfaits) : On décompose le nombre dont on veut la racine carrée sous forme de facteurs premiers. 60 = 10 6 = 5 6 = 5 11 = 5 56 = = 5 14 = 5 7 = = {{ {{ 5 7 = = = = 10 7 = = 5 = {{ {{ {{ 5 70 = = 6 5. Propriété Si a 0 et b 0 alors a a b = b Exemple 5 Simplification d écriture : 6 6 = =. 4 = = 4.

3 Propriété Il faut faire attention à la simplification de la racine carrée d un carré : Si a 0 alors a = a. Si a 0 alors a = a. Exemple 6 voici deux exemples, un pour chaque cas : 7, 4 = 7, 4 7, 4 = 7, 4 7, 4 = 7, 4. ( 4, ) = ( 4, ) ( 4, ) = 4, 4, = 4, 4, = 4,. Remarque Quel que soit le nombre a, on a a = a où a désigne la valeur absolue du nombre a. Propriété 4 Soit a un nombre fixé. L équation x = a admet : solutions si a > 0. S = { a; a. 1 solution si a = 0. S = {0. aucune solution si a < 0. S =. Démonstration 1 Soit a un nombre fixé. Résolvons l équation x = a selon le signe du nombre a : Supposons a > 0. x = a x a = 0 x a = 0 (x a)(x + a) = 0. Un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul. Soit x a = 0 x = a. Soit x + a = 0 x = a. L ensemble des solutions est donc S = { a; a. Supposons a = 0. x = a x = 0 x = 0. L ensemble des solutions est S = {0. Supposons a < 0. x = a x < 0 : IMPOSSIBLE! Un carré n est jamais négatif. Il n y a donc pas de solutions, S =. Avec ou sans calculatrice.1 Sans la calculatrice Sans calculatrice, on peut quand même calculer une valeur approchée de la racine carrée d un nombre. On procède de la manière suivante : prenons pour exemple le calcul de la valeur approchée de :

4 Voici les différentes étapes : 1. On sépare de radicande en tranches de deux en partant des unités, puis on cherche le carré parfait inférieur ou égal le plus proche du nombre le plus à gauche (ici 19). Le carré parfait le plus proche de 19 est 16 = 4, on marque donc 4 dans la partie valeur approchée et on écrit le reste (19-16=) sous 19, puis on abaisse la tranche suivante (qui est 11).. On prend la valeur approchée trouvée sans la virgule éventuelle (ici 4) que l on multiplie par (donc ici 8) et on cherche le chiffre tel que 8 soit le plus proche possible du nombre descendu du radical (ici 11) tout en étant inférieur ou égal. Ici = car 8 = et 84 4 = 6 > 11. Ceci fait on place le nombre (ici ) trouvé dans la partie valeur approchée et le reste (11-49=6) sous 11 et on abaisse la tranche suivante.. On réitère le point. En baissant les deux 0, on place la virgule et on poursuit le processus. Et voici la dernière image qui donne la troncature au centième : Ainsi , 7. 4

5 Exemple 7 Calculez la valeur approchée au centième des nombres suivants : Avec la calculatrice Sans utiliser la touche de la calculatrice, on peut en un nombre d étapes assez court avoir une très bonne valeur approchée de la racine carrée. Pour cela, on va utiliser la mémoire de la calculatrice. Les calculatrices modernes gardent en mémoire le résultat du dernier calcul, ce nombre est accessible par la touche Ans (qui signifie answer). Par exemple calculons comme précédemment Tout d abord tapons la séquence de touche suivante (sur casio fx-9 D dans cet exemple) : EXE Cette étape permet d initialiser la mémoire de la calculatrice au nombre pour lequel on souhaite calculer la racine. Ans Maintenant il suffit de faire calculer successivement le nombre définit par Ans : ( Ans Ans ) EXE On peut aussi taper la séquence de touche suivante si la calculatrice est en mode MthIO (écriture mathématiques en entrée/sortie (IO : input/output)) : Ans Ans EXE. Appuyer sur la touche EXE autant de fois nécessaire pour que le résultat ne varie plus. Remarque Pour les TI, on accède à la fonction "Ans" par la combinaison de touches : La touche EXE est remplacée par la touche =. nde (-) Remarque 4 Pour tout nombre strictement positif, cette méthode est extrêmement efficace. Théoriquement, le nombre de décimales exactes double à chaque calcul. Cette méthode est très facile à programmer sur ordinateur. Exemple 8 Appliquez cette méthode aux nombres suivants :