Optimisation Non Linéaire

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Clémence Leblanc
il y a 7 ans
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1 L3S6 Math-Eco Année Optimisation Non Linéaire Contrôle Terminal Durée : 2h Documents calculatrices interdits. Exercice 1 Une firme aéronautique fabrique des avions qu elle vend sur deux marchés étrangers. Soit q 1 le nombre d avions vendus sur le premier marché q 2 le nombre d avions vendus sur le deuxième marché. Les fonctions de demandes dans les deux marchés respectifs sont : p 1 = 6 2q 1 p 2 = 8 2q 2 Les deux prix de ventes sont p 1 p 2. La fonction de coût total de la firme est C = 5 + 4q, où q est le nombre total d avions produits. Trouver le nombre d avions que la firme doit vendre pour maximiser son bénéfice. On justifiera bien l existence de maximum. Exercice 2 Une entreprise fabrique trois types de machines : x 1, x 2 x 3. La fonction du coût conjointe C(x 1, x 2, x 3 ) est : C(x 1, x 2, x 3 ) = 4x x x 2 3 2x 1 x 2 + x 2 x 3 3x 2 3x 3 Combien de machines de chaque type l entreprise doit-elle fabriquer pour minimiser son coût s il lui faut un total de 1 machines? Exercice 3 Une firme produit un certain bien qu elle vend sur le marché au prix unitaire de 8 euros. La quantité produite vendue est donnée par Q = 8K 3/8 L 1/8, où K représente les unités de facteur capital employées L les unités de facteur travail employées. Le revenu de la firme s élève donc à 8Q = 64K 3/8 L 1/8. Le coût de production de cte firme est donné par C = 12K + 4L. 1. Trouver les quantités de K L que la firme doit employer afin de maximiser son bénéfice (on justifiera bien l existence d un maximum). 2. La firme constate que la politique de maximisation du bénéfice ne lui assure pas une part de marché suffisante. Elle décide en conséquence d adopter la politique de maximisation de la quantité vendue sous réserve d un bénéfice minimal égal à 48 euros. 2.a Formuler explicitement le problème de maximisation sous contrainte.

2 2.b Montrer que dans la solution optimale, la combinaison des facteurs (c est-à-dire leurs proportions) reste la même que dans le problème de maximisation du bénéfice. 2.c Donner la solution complète pour K, L Q. Exercice 4 On définit x n+1 = x n + y n, y n+1 = 2x n + y n + u n, pour n =, 1, 2 X n = (x n, y n ). On désire passer de X = (x, y ) donné à X 3 = (, ) en minimisant le critère C = 1 2 (u2 + u u 2 2). Trouver les 3 commandes optimales u, u 1 u 2. Exercice 5 Considérons un investisseur qui possède une somme S à la banque. N ayant aucun autre revenu que les intérêts qui lui sont versés, il cherche quelle est la meilleure façon (au sens de son agrément) de dépenser son argent sur l horizon [, T ]. On suppose que son agrément est pour tout temps E = 2 r. L agrément futur compte moins que le présent. La fonction qu il va maximiser est donc exp( βt)e(t)dt. Dans le même temps, la banque lui verse des intérêts proportionnels à son capital restant à la banque x(t). L équation régissant ses économies est donc x (t) = αx(t) r(t). On suppose que x(t ) =. Ecrire le principe du maximum de Pontryagin montrer que x (t) = αx(t) r() exp((2α 2β)t). Calculer alors la trajectoire comparer au cas où il dépenserait toujours la même somme (i.e. r(t) est constant). On pourra utiliser l inégalité de Cauchy-Schwarz : b a f(x)g(x)dx b b a f(x)2 dx a g(x)2 dx 2

3 Eléments de correction Exercice 1 Le bénéfice est donné par ce qui donne B = (6 2q 1 )q 1 + (8 2q 2 )q 2 5 4(q 1 + q 2 ), B = 2q 1 2q q 2 2q On cherche à minimiser B, dont la Hessienne est définie positive. B adm donc un unique minimum sur R 2 obtenu en l unique point (q 1, q 2 ) = (5, 1) qui annule B. Le bénéfice maximal réalisé est alors 2. Exercice 2 On obtient les équations 8x 1 2x 2 + λ =, 4x 2 2x 1 + x λ =, 2x 3 + x λ =, on a aussi x 1 + x 2 + x 3 1 =. On trouve alors x 1 = 2, x 2 = 3 x 3 = 5. Exercice 3 1. On cherche à minimiser f(l, K) = 64K 3/8 L 1/8 + 12K + 4L, K, L. Notons que f est coercive sur R + R +. Si (L, K), avec (L, K) R + R +, on a M := max(l, K) f(l, K) 64M 1/2 + 4M, donc f est coercive ; on a donc existence d un minimum. Les contraintes affines étant qualifiées, le minimum satisfait alors 24K 5/8 L 1/ λ =, 8K 3/8 L 7/8 + 4 µ =, λk =, µl =. Notons que f(1, 1) = <. Si L =, on a f(, K) = 12K, donc on ne peut pas avoir le minimum il en est de même pour f(l, ) = 4L. On a donc λ = µ =. On obtient alors 2K 5/8 L 1/8 = 1, 2K 3/8 L 7/8 = 1, 3

4 donc K = L, puis 2K 1/2 = 1, donc K = L = 4 f(4, 4) = = 64. Le minimum est donc donné par K = L = 4. 2.a Le problème s écrit max 64K 3/8 L 1/8, sous les contraintes K, L, 64K 3/8 L 1/8 12K 4L 48. Notons d abord, en définissant M = max(k, L), on a pour K, L satisfaisant les contraintes, 4M 64 M 12K + 4L 64K 3/8 L 1/8 48, M. Cela implique donc que M est borné donc les contraintes définissent un compact on a bien existence d un maximum. On considère le Lagrangien on obtient 24K 5/8 L 1/8 λ(24k 5/8 L 1/8 12) µ = 8K 3/8 L 7/8 λ(8k 3/8 L 7/8 4) ν =, λ(64k 3/8 L 1/8 12K 4L 48) =, µk =, νl =. Notons que K = ou L = ne donne pas le minimum. Si λ =, on obtient 24K 5/8 L 1/8 = 8K 3/8 L 7/8 =, ce qui ne donne pas le minimum. On a donc λ on obtient ( 2 2λ)K 5/8 L 1/8 = λ, ( 2 2λ)K 3/8 L 7/8 = λ, ce qui donne K 5/8 L 1/8 = K 3/8 L 7/8, puis K = L K est alors solution de 64K 1/2 = 16K + 48, on trouve K = 1 ou K = 9. On doit aussi avoir ( 2 2λ)K 1/2 = λ. Pour K = 1, on trouve λ = 2 < ; pour K = 9, on trouve λ = 2 >. On a donc K = 9. En cte valeur le gradient de la contrainte active n est pas nul. Le multiplicateur vaut λ = 2 donc K = L = 9 correspond bien au maximum cherché. la valeur du bénéfice est 48 Q = 192. On a bien les mêmes proportions pour K L comme dans la question précédente. 4

5 Exercice 4 On définit pour s =, 1, 2 avec Y = (y 1, y 2 ) V (Y, s) = 1 2 min ũ(s),...,ũ(2) 2 ũ(i) 2, x 1 (i + 1) = x 1 (i) + x 2 (i), x 2 (i + 1) = 2x 1 (i) + x 2 (i) + ũ(i), i = s,..., 2, i=s x 1 (s) = y 1, x 2 (s) = y 2, x 1 (3) =, x 2 (3) =. Pour s = 2, on a ce qui donne les conditions x 1 (2) = x 2 (2), 2x 1 (2) + x 2 (2) + ũ(2) =, y 1 = y 2, ũ(2) = y 1, puis V (y 1, y 1, 2) = 1 2 y2 1. Notons que si y 2 y 1, V (y 1, y 2, 2) n est pas défini. Pour s = 1, on obtient 1 V (y 1, y 2, 1) = min u 2 u2 + V (y 1 + y 2, 2y 1 + y 2 + u, 2), on doit avoir y 1 + y 2 = (2y 1 + y 2 + u), ce qui impose u = 3y 1 + 2y 2, donc V (y 1, y 2, 1) = 1 2 Pour s =, on obtient ( (3y1 + 2y 2 ) 2 + (y 1 + y 2 ) 2) = 5y y y 1 y 2. 1 V (y 1, y 2, ) = min u 2 u2 +5(y 1 +y 2 ) (2y 1+y 2 +u) 2 +7(y 1 +y 2 )(2y 1 +y 2 +u) On trouve alors u = 17/6x 2y, u 1 = 3x 1 + 2y 1, u 2 = x 1, avec x 1 = x + y, y 1 = 2x + y + u = 5/6x y, ce qui donne u 1 = 3x + 3y 1/3x 2y = x /3 + y, u 2 = x y. 5

6 Exercice 5 On définit le Hamiltonien H = 2 exp( βt) r + λ(αx r). On écrit le principe du maximum de Pontryagin. On obtient On obtient donc ce qui donne λ (t) = H x = αλ(t), H r = = exp( βt)/ r λ. λ(t) = C exp( αt), r(t) = exp( 2βt)/(C 2 exp( 2αt)), r(t) = r() exp(2(α β)t), l on trouve bien la relation demandée en injectant r dans l équation d état. On obtient ensuite x(t) = A(t) exp(αt), A (t) exp(αt) = r() exp(2(α β)t), ce qui donne, comme x() = S, x(t) = S(1 r() t exp((α 2β)s)ds) exp(αt), x(t ) = S(1 r() exp((α 2β)s)ds) exp(αt ) =. On obtient donc x(t) = S(1 t ce qui donne plus explicitement pour α 2β ( x(t) = S 1 exp((α 2β)s)ds exp(αt), exp((α 2β)s)ds) exp((α 2β)t) 1 exp((α 2β)T ) 1 ) exp(αt). On a aussi J 1 = 2 exp( βt) r(t)dt = 2 exp((α 2β)t)dt/ exp((α 2β)s)ds, soit J 1 = 2 exp((α 2β)t)dt 6

7 Si maintenant on prend r(t) = r() constant, on obtient donc x(t) = S(1 r() x(t) = A(t) exp(αt), A (t) exp(αt) = r(), t exp( αs)ds) exp(αt), r() = 1/ exp( αs)ds, donc r(t) = r() = 1/ exp( αs)ds La fonctionnelle vaut alors J 2 = 2 exp( βt)dt/ exp( αs)ds. En utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz exp( α/2t) exp((α/2 β)t)dt exp( αt)dt exp((α 2β)t)dt, on vérifie que l on a bien J 2 J 1. 7

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