PUISSANCES ET RADICAUX

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1 Chapitre 2 PUISSANCES ET RADICAUX 2.1 Puissances à exposants naturels (rappels) Définitions 1. Si a est un nombre réel et n un nombre naturel différent de 0 et 1, alors a n est le produit de n facteurs égaux à a. Si a IR et si n IN 0 \ {1}, alors a n = a.a..a }{{} n facteurs 2. Si a est un nombre réel non nul et n un nombre naturel, alors a n est l inverse de a n. Remarques Si a IR 0 et n IN, alors a n a n. a IR : a 1 = a a IR 0 : a 0 n IN 0 : 0 n = 0 n IN : 1 n a IR 0, n IN : a n { a le signe de a si n est impair, est strictement positif si n est pair. Et 0 0? D un côté, n importe quel nombre positif exposant 0 donne 1, donc par extension, on serait tenté de poser que 0 0 Mais d un autre côté, 0 à n importe quelle puissance positive, c est 0, donc par extension, il faudrait poser que 0 0 = 0 A cause de ces deux comportements contradictoires, 0 0 demeure indéterminé! Propriétés a IR, m, n IN : a n.a m = a n+m Exemple : a, b IR, m IN : (a.b) m = a m.b m Exemple : a IR, m, n IN : (a n ) m = a n.m Exemple : a IR, b IR 0, m IN : ( a b )m = am b m Exemple : 16

2 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 17 Exercices Applique les propriétés des puissances pour réduire les expressions suivantes. 1. a 3.a 2 = 2. (a 4 ) 2 = 3. (a.b) 5 = 4. (2a) 3 = 5. a.a 2 = 6. (x 3 ) 2 = 7. 5x.2x = 8. 4a 2.( a 5 ) = 9. (5ac) 2 = 10. ( b 5 ) 3 = 11. (a 3 b 2 ) 5 = 12. 2a 5.2a = 13. ( 3a) a 3.(2a 4 ) = 15. ( 2b) 3 = 16. ( b 4 ) 3 = 17. 3x 3 y.2xy 2 = 18. (3a 2 b) 4 = 19. ( a 3 ) 2 = 20. ( 2a 2 b) 5 = 21. (a 2 ) 3.(b 2 ) 4 = 22. (x 3 ) 3.(y 2 ) 2 = 23. (a 5 ) 2.( b 2 ) 3 = 24. (3a) 2.(2a 3 ) 3 = 25. 7x 4.( 3x 3 ) 2 = 26. (b 5 ) 2 = 27. ( b 5 ) 2 = 28. (b 5 ) 2 = 29. ( b 2 ) 5 = 30. (b 2 ) 5 = 31. ( 2a 3 ) 2.( 3a 2 ) 3 = 32. ( 2a 2 b) 3.(5a 6 b) 2 = 33. 6xy 2.(3x 2 y) 2 = 34. (x 4 ) 2.( x 5 ) 2 = 35. ( x 3 ) 2.( x) 3.( x) = 36. ( a b )2 = 37. ( 2a b )3 = 38. ( 5a c )3 = 39. ( 2a 3b )2 = 40. ( 4x 5y )3 = 41. ( 4a 3 )2 = 42. ( a5 3 )2 = 43. ( x2 y 3 ) 3 = 44. ( 2x3 3y )2 = 45. ( 3a4 b 3 ) 3 = 46. (5a) 2 3 = 47. ( 5a 3 )2 = 48. ( 5a) 2 3 = 49. ( 5a 3 )2 = 50. ( 5a 3 )2 =

3 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX Puissances à exposants entiers Propriété 2.1 (Produit de puissances de même base) Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants. a IR 0, m, n ZZ : a m.a n = a m+n. a 2.a 3 = a 2.a 5 = a 2.a 3 = Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque les deux exposants sont négatifs. Pour montrer que m et n sont négatifs, nous écrirons que m = p et n = q avec p et q positifs. a m.a n = a p.a q Convention d écriture a p. 1 a q a p.a q a p+q Définition d une puissance à exposant négatif Produit de deux fractions Propriété des puissances à exposants naturels = a (p+q) Définition d une puissance à exposant négatif = a ( p)+( q) Suppression des parenthèses = a m+n Convention d écriture Propriété 2.2 (Puissance d une puissance) Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants. a IR 0, m, n ZZ : (a m ) n = a m.n. (a 2 ) 3 = (a 2 ) 5 = (a 2 ) 3 = Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque les deux exposants sont négatifs. Pour montrer que m et n sont négatifs, nous écrirons que m = p et n = q avec p et q positifs. (a m ) n = (a p ) q Convention d écriture (a p ) q Définition d une puissance à exposant négatif ( 1 a p )q 1 a p.q Définition d une puissance à exposant négatif Propriété des puissances à exposants naturels = a p.q Quotient d un nombre par une fraction = a ( m).( n) Convention d écriture = a m.n Règle des signes d un produit de facteurs

4 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 19 Propriété 2.3 (Puissance d un produit) Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance. a IR 0, m ZZ : (a.b) m = a m.b m (a.b) 3 = (a.b) 2 = Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque l exposant est négatif. Pour montrer que m est négatif, nous écrirons que m = p avec p positif. (a.b) m = (a.b) p Convention d écriture (a.b) p a p.b p a p. 1 b p Définition d une puissance à exposant négatif Propriété des puissances à exposants naturels Produit de deux fractions = a p.b p Définition d une puissance à exposant négatif = a m.n Convention d écriture Remarque Nous savions déjà que si a IR 0 et n IN, alors a n a. n Nous remarquons également que a n = a ( n) a n Ce qui nous permet d introduire sans difficulté la définition suivante. Définition 2.4 (Généralisation de l inverse d une puissance) a IR 0, n ZZ : a n a n a IR 0, n IN : a 2 a 2 a 3 a 3 Propriété 2.5 (Puissance d un quotient) a n a n a n a n Pour élever un quotient à une puissance, on élève numérateur et dénominateur à cette puissance. a, b IR 0, m ZZ : ( ) m a = am b b m ( a b )3 = ( a b ) 2 = Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque l exposant est négatif.

5 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 20 Pour montrer que m est négatif, nous écrirons que m = p avec p positif. ( a b )m = ( a b ) p Convention d écriture = ( b a )p Définition d une puissance à exposant négatif = bp a p = a p b p = am b m Propriété des puissances à exposants naturels Définition générale de l inverse d une puissance Convention d écriture Remarque Cette propriété aurait pu être démontrée à l aide de la propriété concernant la puissance d un produit. En effet, a b = a.b 1. Ce qui nous rappelle qu un quotient n est qu une multiplication particulière, le dénominateur doit juste être non nul. Propriété 2.6 (Quotient de puissances de même base) a IR 0, m, n ZZ : a m a n = am n. a2 a 5 = a5 a 2 = a4 a 3 = a 4 a 3 = a 4 a 3 = Démonstration. a IR 0, m, n ZZ : a m a n = a m. 1 a n Quotient de deux nombres = a m.a n Définition de l inverse d une puissance = a m n propriété 2.1 page 18 Exercices Ecrire plus simplement : a 2.a.b 3.b.( 2).a 5 = (a 3 ) 2 = (7a 2 ) 0 = ( 2ax 5by ) 2 ( ) 3. 5by ax = ( ) 2 x 3 x = 2

6 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX Ecrire sous forme d une puissance : = 8a 6 = 27a 6 b 3 = 0, 25 = = 3. Si a et b désignent des réels non nuls, exprimer sous forme d un produit de puissances de a et b les expressions suivantes : a2 b 5 a 3 b 7 = a 2 b 3 a 3 b 2 = a 1 b 5 a 3 b 7 = a4 b 2 a 3 a 1 b 2 = (ab) 2 a 3 (ab) 3 b 2 = 4. Transforme les nombres suivants en un produit d un nombre entier le plus petit possible par une puissance de 10. (a) 0, 05 = (b) 3, 124 = (c) 0, 01 = (d) 400 = (e) = (f) 7, 235 = (g) 0, 0007 = (h) 0, 62 = (i) 0, = (j) 0, = (k) 0, = (l) = (m) 0, 28 = (n) = (o) 0, = 5. Complète la série suivante dans les deux sens et remplace chaque nombre par une puissance de même base.,,,,, 100, 10, 1, 1 10,,,,, Fais de même avec la série suivante.,,,,, 32, 16, 8, 4,,,,,

7 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX (a) La vitesse de la lumière dans le vide est de , 458 km/sec. La distance de la terre au soleil est d environ km. Evalue mentalement le temps mis par la lumière du soleil pour nous parvenir. Vérifie ton résultat à la calculatrice. (b) L année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. Vérifie qu un ordre de grandeur d une année-lumière est km. (c) Pour chaque calcul, choisis la valeur la plus proche du résultat parmi celles proposées. 2.3 Puissances de Puissances entières de 10 Exemples , , L exposant indique le nombre de zéros à droite de = 0, 001 L exposant indique le nombre de rangs à droite de la virgule Nombre décimal - somme de produits de puissances de 10 Exemples 4856 = = = , 352 = 7 + 0, 3 + 0, , 002 Exercices 2.8 = = Calcule après avoir remplacé chaque nombre par un produit d un nombre entier par une puissance de 10 et vérifie ton résultat à la calculatrice , 07. 0, , , , , (0, 005) 2 7. (0, 0002) 3 8. ( 0, 03) 4 9. ( 0, 5) (3. 0, 007) , , 005.0, 4

8 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX (0, 07) , , ( 0, 002) Notation scientifique Exercice 2.9 Effectuer en utilisant la calculatrice. (1) 0, , (2) (3) (4) 0, , Notation 2.10 Tout nombre décimal strictement positif peut s écrire sous la forme { a.10 p 1 a < 10 avec p ZZ Remarque Le nombre a s écrit avec un seul chiffre à gauche de la virgule et ce chiffre est différent de 0. Exemples , Il y a 4 rangs à la droite du chiffre de rang le plus élevé dans , = 7, Le premier chiffre significatif est au 5ème rang à droite de la virgule. 32, 4 = 3, Il y a 1 rang à la droite du chiffre de rang le plus élevé. Exercices Ecrire sous forme décimale. (a) (b) (c) 6, (d) 0, (e) 97, (f) 256, Ecrire en notation scientifique et vérifier avec la calculatrice. (a) 64, 3 (b) (c) 0, 148 (d) 0, (e) 0, (f) 48, (g) 6, (h) (i) ( ). ( ) (j) 0, 02. 4, 83 (k) ( ) : ( ) (l) (0, ) : (0, ) 3. Effectuer et vérifier avec la calculatrice. (a) 4, , (b) 5, , (c) 8, ,

9 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX Les préfixes d unités du Système International (SI) Le système international utilise des préfixes qui s appliquent également à toutes les unités pour les multiplier. 10 N Préfixe Symbole Nombre yotta Y Quadrillion zetta Z Trilliard exa E Trillion péta P Billiard téra T Billion 10 9 giga G Milliard 10 6 méga M Million 10 3 kilo k Mille 10 2 hecto h Cent 10 1 déca da Dix 10 0 unité - Un, une 10 N Préfixe Symbole Nombre 10 0 unité - Un, une 10 1 déci d Dixième 10 2 centi c Centième 10 3 milli m Millième 10 6 micro µ Millionième 10 9 nano n Milliardième pico p Billionième femto f Billiardième atto a Trillionième zepto z Trilliardième yocto y Quadrillionième Exemple 2.4 Les racines carrées Exercice 2.12 Résoudre les équations suivantes : 3 Mw = w = w = w 1. x 2 = 9 2. x 2 = 0 3. x 2 = 4 4. x 2 = a avec a IR Définition 2.13 Pour tout réel positif a, a est le nombre réel positif dont le carré est a. Vocabulaire a se lit racine (carrée positive) de a et n a de sens que si a 0. Conséquence Les deux nombres réels dont le carré est a (donc a est positif) sont a et a. Ce sont les racines carrées algébriques de a. Remarque Pour démontrer que a = x, il faut démontrer que { x 0 x 2 = a Exercice 2.14 Calculer les expressions suivantes

10 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX = 2. ( 5)2 = 3. a IR, a 2 = Propriété 2.15 ATTENTION a IR : a2 = a Il ne faut pas confondre les expressions suivantes. Quels sont les nombres dont le carré est 9? On doit résoudre l équation x 2 = 9 x 2 9 = 0 (x 3). (x + 3) = 0 x = 3 ou x = 3 Il y a deux nombres dont le carré est 9. Quelle est la racine carrée de 9? C est le nombre réel positif dont le carré est 9. 9 = 3 Le nombre 9 a une seule racine carrée. Exercices 1. A l aide de la calculatrice, déterminer au 0, 001 près par défaut les racines carrées suivantes : (a) 3 (b) 6, 84 (c) 47, 56 (d) 154, 62 (e) 56, 4589 (f) 246, Déterminer les racines carrées suivantes. Donner le résultat en notation scientifique et ensuite en notation décimale avec trois chiffres significatifs. (a) (b) 0, (c) 5, (d) 0, (e) 17, (f) 0, Donner les racines carrées algébriques des nombres suivants : (a) 9 (b) Règles de calcul 1. Racine carrée d un produit (c) 144 (d) 0, 09 Si a, b IR +, alors a.b = a. b. (e) 2, 25 (f) Racine carrée d un quotient Si a IR + et b IR + 0, alors a b = a b.

11 CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 26 Quelques remarques très importantes 1. La racine carrée d une expression est toujours positive ou nulle! 2. Tout ce qui se trouve en dessous du signe doit être impérativement positif ou nul! 3. Attention! a + b a + b et a b a b. Exercices 1. Simplifier les radicaux suivants : 1) 2) 3) 4) 5) 8 6) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Simplifier les radicaux suivants si a, b, c IR + : (a) 180a 18 b 13 c 26 = (b) 162a 11 b 17 c 37 = 3. Préciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent : (a) x ; (b) ( x) ; (c) x + 1 ; (d) (x 3) ; (e) (x 1) 2 ; 4. Rendre les dénominateurs rationnels: (a) a b a + b (b) a + b + a b a + b + a b 5. Simplifier a + b a b + a b a + b 6. Elever au carré : (a) a + b (b) a b (c) a + b (d) a + a 7. Prouver que a, b IR + 0 : a + b ab b + 1 a 8. Ecrire sans radicaux les expressions suivantes (a) x + (x 1) 2 + (x + 1) 2 (b) (x 1) 2 (2x + 3) 2 (c) (x 2) 2 (x + 1) 2 (d) (2x 3) 2 x 2