Chapitre 7 Quantité de mouvement et mouvements de planètes

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 11 janvier 2014 à 16:55 Chapitre 7 Quantité e mouvement et mouvements e planètes able es matières 1 La quantité e mouvement Définition Conservation e la quantité e mouvement, propulsion par réaction 2 2 Mouvement une planète autour u Soleil Expression e la vitesse e la planète Périoe e révolution e la planète Les lois e Képler Application PAUL MILAN 1 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S

2 1 LA QUANIÉ DE MOUVEMEN 1 La quantité e mouvement 1.1 Définition Définition 1 : Soit un système e masse m et e vecteur vitesse v, on appelle quantité le mouvement u système, le vecteur p éfini par : p = m v Variation e la quantité e mouvement : Lorsque le système possèe une masse constante, on a : p t = m v t 1.2 Conservation e la quantité e mouvement, propulsion par réaction Le principe inertie peut s exprimer comme : F ext = 0 p t = 0 Dans un système isolé, la quantité e mouvement se conserve. Expérience : Un patineur sur glace se tient immobile sur la patinoire avec un ballon ans les mains. À l instant t = 0, le patineur lance le ballon e masse m b avec une vitesse horizontal v b. Le patineur e masse m p part alors ans l autre sens avec une vitesse v p. Explication : Le référentiel terrestre peut être consiéré comme galiléen. On consière le système composé u patineur et u ballon. On néglige les forces e frottement es patins sur la glace. le système est soumis qu à eux forces : le pois et l action e la piste sur les patins. Ces eux forces se compensent, le système est onc pseuo-isolé. D après le principe inertie, la quantité e mouvement p se conserve. Avant t = 0 s, le patineur et le ballon sont immobiles onc : p = 0 Après t = 0 s, on a : p = m b v b + m p v p Comme la quantité e mouvement se conserve : m b v b + m p v p = 0 On projettant sur un axe horizontal, on a : m b v b + m p v p = 0 v p = m b m p v b Le patineur part bien ans le sens contraire u ballon. Comme la masse u ballon est beaucoup plus petite que la masse u patineur, la vitesse e celui-ci est beaucoup plus petite que la vitesse u ballon. Remarque : La conservation e la quantité e mouvement explique ainsi le recul une arme à feu ainsi que la propulsion une fusée. PAUL MILAN 2 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S

3 2 Mouvement une planète autour u Soleil 2.1 Expression e la vitesse e la planète Pour étuier le mouvement une planète autour u soleil, on se situe ans un référentiel héliocentrique consiéré comme galiléen. v O On suppose que la trajectoire e la planète est un cercle 1 e centre O et e rayon. F N Pour étuier le mouvement, on pren un repère e Frenet ( O, N, ). O La planète n est sousmis qu à une seule force, la force e gravitation u Soleil. Soleil On pose : m s : masse u Soleil m p : masse e la planète Comme le référentiel héliocentrique est consiéré comme galiléen, et que la seule force en présence est la force e gravitation, après le PFD, on a : F = mp a G m pm s 2 N = mp a a = G m s 2 N Comme la force e gravitation est irigé vers le centre u Soleil, l accélération est normale et onc l accélération tangentielle est nulle. On en éuit onc que : v = 0. La vitesse est onc constante et onc le mouvement e la planète est un t mouvement circulaire uniforme. Dans un mouvement circulaire uniforme, l accélération vaut : éuit alors que : Gm s 2 = v2 v = 2.2 Périoe e révolution e la planète Gms a = v2. On en Soit la périoe e révolution e la planète autour u soleil. Comme urant la périoe, la planète parcourt la circonférence u cercle e rayon à la vitesse constante v, on a : v = 2π Gms = 2π = 2π Gm s = 2π 3 Gm s Remarque : On constate que le carré e la périoe e révolution est proportionnelle au cube u rayon u cercle (troisième loi e Képler) 1. en réalité, il s agit une ellipse très proche un cercle PAUL MILAN 3 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S

4 2 MOUVEMEN D UNE PLANÈE AUOUR DU SOLEIL 2.3 Les lois e Képler Lois e Képler 1 re loi : Les planètes écrivent autour u Soleil es orbites elliptiques ont le Soleil occupe un es foyers. 2 e loi : Le segment qui relie le Soleil et la planète balaie es aires égales penant es intervalles e temps égaux. 3 e loi : Les carrés es périoes e révolution sont proportionnels aux cubes es emi-grans axes es orbites : 2 a 3 = constante avec { : périoe e révolution a : emi-gran axe e l ellipse Remarque : L aire comprise entre A 1 et A 2 est égale à l aire comprise entre B 1 et B 2. B 1 A 2 A 1 La relation e la 3 e loi revêt une importance que n avait pas prévue Képler : elle permet e peser les corps (car la constante est inversement proportionnelle à la masse u corps central, ici le Soleil) B 2 S F 2a visualisation u mouvement une planète sur son orbite elliptique 2.4 Application La erre est assimilé à une sphère homogène e masse M, e centre et e rayon R = km. La périoe e rotation e la erre sur elle-même ans le référentiel géocentrique appelée jour siéral vaut = s. On consiére que le champ e pesanteur terrestre g 0 au niveau u sol est égal à G 0 champ e gravitation à la surface e la erre et G 0 = 9, 80 N.kg 1 I - Pour lancer un satellite et le mettre sur orbite, on utilise une fusée. Cette fusée e centre inertie I, e masse m = 300 tonnes, est propulsée verticalement à partir u sol terrestre. Ses moteurs exercent une force e poussée e valeur F = 4, N. Dans un référentiel à préciser, établir l expression e l accélération initiale e la fusée si l on néglige l effet es forces e frottement. Calculer sa valeur numérique. II - La fusée amène en quelques minutes le satellite hors e l atmosphère et après passage sur une orbite e tranfert, la satellite se retrouve sur son orbite circulaire. PAUL MILAN 4 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S

5 2.4 APPLICAION 1) Faire un schéma (sans respecter l échelle) sur lequel apparaîtra le vecteur champ e gravitation terrestre G en I. 2) Montrer que l expression e la valeur e ce champ e gravitation G(h) à l altitue h peut se mettre sous la forme : G(h) = g 0R 2 (R + h) 2 Faire une application numérique pour h = 820 km. 3) Montrer que ans le référentiel géocentrique, le mouvement e ce satellite est uniforme. 4) Établir l expression e la vitesse e ce satellite sur son orbite ainsi que celle e sa périoe, en fonction e g 0, R et h. III - La fusée peut libérer plusieurs types e satellites artificiels, les onnées relatives à 2 e ces satellites figure ans le tableau c-essous : Météosat Spot Altitue h en km Périoe en min Vitesse v en m.s 1 1) Calculer les valeurs manquantes u tableau. 2) L un es eux satellites est it géostationnaire. Iniquer lequel et justifier la réponse. 3) Expliquer pourquoi la trajectoire e ce satellite géostationnaire est nécessairement ans le plan équatorial I - Comme la fusée au émarage se trouve sur le sol terrestre et que la périoe e écollage ure peu e temps, on se trouve ans les conitions e laboratoire, le référentiel terrestre peut onc être consiéré comme galiléen. Comme la fusée écolle verticalement, les forces en présence, le pois et la poussée e la fusée, sont situées sur la verticale u lieu. On a alors le schéma ci-contre. D après le PFD, on a : F ext = m a F + P = m a I F P erre On projette sur l axe vertical orienté vers le haut F P = ma a = F P m = F mg 0 m 4, a = 9, 80 = 4, 53 m.s II - 1) On a le schéma suivant : = F m g 0 PAUL MILAN 5 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S

6 2 MOUVEMEN D UNE PLANÈE AUOUR DU SOLEIL v I m G N h R erre 2) En égalisant la force e gravitation avec la force e pesanteur, on a : G M m (R + h) 2 = mg(h) G(h) = GM (R + h) 2 or g 0 = G(0) = GM R 2 onc GM = g 0 R 2 G(h) = g 0R 2 (R + h) 2 G( ) = 9, = 7, 69 m.s 2 ( ) 2 3) Dans le repère géocentrique, on étuie le système ans le repère e Frenet. Comme la seule force en présence, la force e gravitation, est normale, l accélération tangentielle est nulle et onc v = 0. Le mouvement t u satellite est onc un mouvement circulaire uniforme. 4) Dans un mouvement circulaire uniforme, l accélération normale G(h) obéit à la relation : v = G(h)(R + h) = G(h) = v2 R + h On trouve alors pour Spot : v = m.s 1 g 0 R 2 R + h On a la relation entre la vitesse v et la périoe e révolution suivante : v = 2π(R +h) g 0 R 2 R + h = 2π(R +h) (R = + h) 3 2π g 0 R 2 On trouve alors pour Spot : = s PAUL MILAN 6 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S

7 2.4 APPLICAION III - 1) On obtient le tableau ci-essous : Météosat Spot Altitue h en km Périoe en min Vitesse v en m.s ) Pour savoir si un satellite est géostationnaire, il faut connaître sa périoe e révolution en secone et la comparer au jour siéral s. Pour Météosat : = s Météosat est onc géostationnaire. 3) Si un satellite est géostationnaire, son axe e révolution oit être l axe e rotation e la erre et comme le satellite tourne ans un plan passant par le centre e la erre, le satellite se trouve onc ans le plan équatorial. Animation un satellite géostationnaire PAUL MILAN 7 PHYSIQUE-CHIMIE. ERMINALE S