Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

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1 I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard. Les mathématiques interviennent pour apporter un modèle qui comporte un univers et une loi de probabilité. Le choix de ces deux éléments n est pas unique mais il est généralement induit par une approche fréquentiste et une idée que l on se fait à priori de l expérience. Exemple 1 : L expérience consiste à lancer une pièce de monnaie (pile ou face) Quelles sont les issues possibles? Quelle probabilité attibue-t-on à chaque issue? I.1 Modélisation d une expérience aléatoire 1. Univers Définition 1 Lorsqu une expérience comporte un nombre fini d issues, on définit l ensemble Ω = {x 1, x 2,..., x n } qui représente l ensemble de toutes les issues envisagées de l expérience. Ω s appelle l univers Exemple 2 : On lance un dé et on regarde le numéro de la face obtenue : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : Ω = {P, I} On lance une pièce de monnaie : Ω = {P, F } On lance deux pièces de monnaie : Ω = { } On lance deux dés : Ω = {(i, j), 1 i, j 6} Remarque 1 : Évidemment l univers dépend de l observation qui est faite. Si on lance deux dés : On s intéresse au produit des faces : Ω = On s intéresse à la somme des faces : Ω = Pour terminer, il existe des expériences comportant une infinité d issues. Par exemple, l expérience peut consister à choisir un nombre réel dans l intervalle [0,1], on note alors Ω = [0, 1]. 2. Loi de probabilité Soit Ω = {x 1, x 2,..., x n } l univers d une expérience aléatoire. On définit une loi de probabilité sur Ω en associant à chaque issue x i, un nombre réel p(x i ) vérifiant : 0 p(x i ) 1 p(x i ) = 1 i=1 Déterminer la loi de probabilité associée à une expérience consiste à associer à chaque issue de l univers sa probabilité. Exemple 3 : Une urne comporte six boules : 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleue. On prélève une boule. Quelle loi de probabilité associe-t-on à cette expérience? My Maths Space 1 sur 6

2 I.2 Probabilité d un événement Définition 2 Ω = {x 1, x 2,..., x n } est l ensemble des issues d une expérience aléatoire. On appelle événement toute partie A de Ω. Exemple 4 On lance un dé équilibré. A = {2, 4, 6} est l événement : "La face obtenue est un chiffre pair". Événements particuliers : Un événement x i réduit à une seule issue est un événement élémentaire. Ω est l événement certain et est l événement impossible. Théorème 1 La probabilité d un événement A est la somme de toutes les probabilités des issues appartenant à A. en d autres termes, si A = {x k, x r, x s } avec k, r, s entiers naturels entre 1 et n alors p(a) = p(x k ) + p(x r ) + p(x s ) I.3 Équiprobabilité Lorsque Ω est de cardinal fini (nombre d éléments de Ω fini) et que l on attribue la même probabilité à chaque issue, on dit que l on choisit une probabilité p équirépartie, on a alors : pour toute issue x i de Ω : p(x i ) = 1 card(ω) pour tout événement A : p(a) = card(a) card(ω) = nombre d éléments de A nombre d éléments de Ω On dit aussi, dans une telle situation qu il y a équiprobabilité. I.4 Propriété des probabilités Si A et B sont deux événements : A B est l événement constitué des issues communes de A et de B. A B est l événement constitué des issues contenues dans A ou dans B. parties de Ω vocabulaire des événements propriété A A quelconque 0 p(a) 1, Ω événement impossible, certain p( ) = 0 et p(ω) = 1 A B = A et B incompatibles p(a B) = p(a) + p(b) A A est l événement contraire de A p(a) = 1 p(a) A, B A et B quelconques p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Exemple 5 : On extrait une carte au hasard d un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de l événement C :"la carte n est ni un roi ni un coeur"? My Maths Space 2 sur 6

3 I.5 Variable aléatoire Dans ce paragraphe, Ω est un univers fini. 1. Variable aléatoire Définition 3 Lorsqu à chaque événement élémentaire (issue) d un univers Ω on associe un nombre réel, on dit que l on définit une variable aléatoire. Une variable aléatoire est donc une application X : Ω R. Exemple 6 On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. L univers Ω associé à cette expérience aléatoire est constitué de 8 issues : Ω = { } Si l on suppose la pièce bien équilibrée, on peut considérer que ces huit issues sont équiprobables. On désigne par X le nombre de "face" obtenus. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X? Notation : (X = k) = {x i Ω tels que X(x i ) = k} = X 1 (k) De retour sur l exemple précédent, expliciter les événements (X = k) pour k {0; 1; 2; 3} 2. loi de probabilité associée à une variable aléatoire Définition 4 Soit p une loi de probabilité sur un univers Ω. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω prenant un nombre fini de valeurs. Lorsqu à chaque valeur s i (1 i n) de X on associe les probabilités p i de l événement X = s i, on dit que l on définit la loi de probabilité p X de la variable aléatoire X. Habitude : Lorsque l énoncé stipule de déterminer la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire, il est courant de rassembler les résultats dans un tableau : Valeurs de X s 1 s 2... s n Probabilité p i = p(x = s i ) = p X (s i ) p 1 p 2... p n Exemple 7 Retour sur l exemple du lancer de pièce : déterminer la loi de probabilité de la variable X comptant le nombre de "face". 3. Espérance, variance, écart-type Définition 5 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs s 1, s 2,..., s n avec les probabilités p 1, p 2,..., p n. On appelle respectivement espérance mathématique de X, variance de X et écart-type de X les paramètres notés respectivement E(X), V ar(x) et σ(x) et se calculant de la manière suivante : E(X) = s i p i = s 1 p 1 + s 2 p s n p n i=0 l espérance est la moyenne des valeurs s i pondérées par les probabilités p i. V ar(x) = (s i E(X)) 2 p i = (s 1 E(X)) 2 p 1 + (s 2 E(X)) 2 p (s n E(X)) 2 p n i=0 σ(x) = V ar(x) EXERCICE 1 Calculer les 3 paramètres précédents avec l exemple de trois lancers successifs d une pièce de monnaie. My Maths Space 3 sur 6

4 Linéarité de l espérance : Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers Ω, et a un réel. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) et E(aX) = ae(x) Exemple 8 On lance trois dés. Quelle est, en moyenne, la somme des points obtenus? D autres formules sur espérance, variance et écart-type : E(X + b) = E(X) + b V ar(x) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 V ar(ax) = a 2 V ar(x) et σ(ax) = a σ(x) V ar(x + b) = V ar(x) et σ(x + b) = σ(x) II Probabilités conditionnelles II.1 Exemple introductif Un joueur tire au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants : F="la carte tirée est une figure" R="la carte tirée est un roi" Calculer p(f), p(r) et p(r F) Le joueur affirme : "la carte tirée est une figure". Quelle est alors la probabilité que ce soit un roi? On sait que la carte tirée est un roi. Les calculs de probabilités s en trouvent modifiés. On définit donc une nouvelle probabilité p F qui sera nulle sur les issues ne correspondant pas à une figure. Pour déterminer la probabilité que la carte soit un roi, nous devons seulement considérer les rois parmi les figures par rapport au nombre total de figures : On a donc : p F (R) = Card(R F) Card(F) =... La probabilité p F (R) s appelle la probabilité conditionnelle de R sachant F (sous-entendu sachant que F est réalisé : c est une certitude!!!) II.2 Probabilité conditionnelle Définition 6 Soit une expérience aléatoire d univers Ω, p une probabilité sur Ω et B un événement tel que p(b) 0. On définit une nouvelle probabilité sur Ω, notée p B, en posant pour tout événement A : p B (A) = p(b A) p(b) p B (A) est parfois notée p(a/b). Remarque 2 : La relation ci-dessus est également uitlisée dans l autre sens : p(b A) = p B (A)p(B) = p A (B)p(A) L événement contraire de A/B est A/B (le contraire de A sachant B est A sachant B) My Maths Space 4 sur 6

5 EXERCICE 2 Une urne comporte 8 boules : 5 rouges et 3 jaunes. On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l urne. Quelle est la probabilité de tirer deux rouges? II.3 Formules des probabilités totales Théorème 2 Soit Ω un univers muni d une probabilité p. Si des parties B 1, B 2,..., B n de probabilités non nulles, constituent une partition de Ω, alors pour tout événement A, on a : p(a) = p(b k A) = k=0 p Bk (A)p(B k ) = p B1 (A)p(B 1 ) p Bn (A)p(B n ) k=0 II.4 Exemple On considère trois urnes U 1, U 2 et U 3 contenant des boules rouges ou jaunes. U 1 : 1 rouge et 5 jaunes ; U 2 : 3 rouges et 1 jaune ; U 3 : 1 rouge et 2 jaunes. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge? 1. Arbre de probabilités Règles de calcul dans un arbre : La probabilité d un chemin est le produit des probabilités marquées sur ses branches. La probabilité d un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement. 2. Résolution My Maths Space 5 sur 6

6 II.5 Indépendance 1. Événements indépendants Définition 7 On dit que deux événements sont indépendants lorsque : p A (B) = p(b) ou encore p B (A) = p(a) ou encore que p(a B) = p(a)p(b) Remarque 3 : La troisième caractérisation de l indépendance est une conséquence des deux autres. Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation (ou non) de l un n a pas d influence sur la probabilité de réalisation de l autre. EXERCICE 3 On lance une pièce deux fois de suite et on considère les événements A 1 :"FACE au premier lancer" et A 2 :"FACE au second lancer". Les événements A 1 et A 2 sont-ils indépendants? 2. Variables aléatoires indépendantes Définition 8 : Soit R et S deux variables aléatoires définies sur un univers Ω. R prend les valeurs r 1, r 2,..., r n et S prend les valeurs s 1, s 2,..., s m. On dit que S et R sont indépendantes lorsque : pour tout i et j (1 i n et 1 j m), les événements (R = r i ) et (S = s j ) sont indépendants Exemple 9 On lance deux dés bien équilibrés. On note S la somme des résultats obtenus et P le produit. Les variables aléatoires S et P sont-elles indépendantes? 3. Expériences aléatoires indépendantes principe multipicatif D après "Terracher TS" : "Il n est pas rare que des expériences aléatoires répétées (identiques ou non) soient indépendantes, au sens intuitif du terme. Dans ce cas, nous admettrons que, conformément à l intuition : La probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat ; Deux variables aléatoires attachées à deux expériences différentes sont indépendantes ; EXERCICE 4 : On lance n fois un dé. on note A :"on obtient au moins un 6 au cours des n lancers". (a) Calculer p(a). (b) Comment choisir n pour que la probabilité de A soit supérieure ou égale à 0.95? My Maths Space 6 sur 6