Généralités sur les suites

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1 Généralités sur les suites. Définitions Exemple : Posons U 0 = 0, U =, U =, U 3 = 9, U = 6, U 5 = 5, U 6 = 36,..., U n = n Dans ce cas, (U n ) est appelée une suite. Définition : Une suite (U n ) est la donnée d une liste ordonnée de nombres notés U 0, U, U, U 3... et appelés les termes de la suite (U n ) n représente l indice ou le rang des termes de la suite U 0 est le premier terme de la suite U n (U «indice» n) est le terme général de la suite U n Remarque : U n- et U n+ sont respectivement les termes précédent et suivant de U n. Génération d'une suite a. Suite définie par U n = f(n) Exemple : f(x) = x On définit une suite (U n ) en posant U n = f(n) = n Dans ce cas le premier terme est U = = U = U 3 = U =... 3 Définition : Pour toute fonction définie sur R +, on peut définir de manière explicite une suite (U n ) = f (n) pour tout n є N. n² n + Autres exemples : U n = n U n = n U n =... Remarque : On peut calculer directement le 0 ème terme sans connaître les précédents. Exemple : Si U n = n alors U 0 = 0 b. Suite définie par une relation de récurrence Exemple : Soit la suite définie par son premier terme U 0 = 3 et tel que le terme suivant s'obtienne en multipliant par deux le terme précédent et en ajoutant. U 0 = 3 U = U 0 + = 3 + = 0 U = U + = 0 + = U 3 = U + = + = 5 La relation permettant de passer d un terme à son suivant est appelé relation de récurrence Dans le cas précédent, la relation de récurrence de notre suite est : U n+ = U n +. Mathématiques Suites arithmétiques et géométriques ère STMG

2 Définition : La donnée d une «relation de récurrence» entre U n et U n+ et du premier terme permet de générer une suite (U n ). Remarques : On définit ainsi une suite en calculant de proche en proche chaque terme de la suite. On ne peut calculer le 0 ème terme d une suite avant d en avoir calculé les 9 termes précédents. 3. Sens de variation d'une suite La suite de carrés : 0 ; ; ; 9 ; 6 ; 5 ; est une liste de nombres croissants donc (U n ) définie par U n = n est une suite croissante. La suite des nombres inverses est : ; ; ; ;... est une liste de nombres décroissants donc (U n ) définie par U n = 3 5 est une suite décroissante. n Définitions : Si à partir d'un certain rang p, la suite (U n ) est telle que chaque terme est inférieur à son suivant, alors la suite est croissante (U n U n+ ) Si à partir d'un certain rang p, la suite (U n ) est telle que chaque terme est inférieur à son suivant, alors la suite des décroissante (U n U n+ ) Autres exemples : U n = n U 0 = 0 = U = = U = = U 3 = 3 = 8 U = = 6 U n = - n 3 U 0 = 0 U = - 3 = - U = - 3 = - 8 U 3 = = - 7 (U n ) est une suite décroissante pour n > 0 (U n ) est une suite croissante pour n > 0. Représentation graphique d'une suite Afin de représenter graphiquement une suite on place, dans un repère orthonormé, l ensemble des points de coordonnées : (0 ; U 0 ) ; ( ; U ) ; ( ; U ) ; (3 ; U 3 ) ; (n ; U n ). Exemple : Mathématiques Suites arithmétiques et géométriques ère STMG

3 Suites géométriques. Définition Exemple : Soit la suite de nombres U 0 = ; U = 6 ; U = 8 ; U 3 = 5 ; U = 6 ; U 5 = On remarque que l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant par 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante : U n + = 3 x U n avec U 0 =. Définition : Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé la raison. Exemple : Calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison - et de premier terme U 0 =. U = U 0 x (-) = x (-) = - U = U x (-) = - x (-) = U 3 = U x (-) = x (-) = Terme de rang n d'une suite géométrique Par définition, on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q (raison). U n = q x U n - U n = q x U n donc U n = q x U n U n = q x U n 3 donc U n = q 3 x U n 3... U = q x U 0 donc U n = q n x U n n = q n x U 0 Terme de rang n : Si une suite (U n ) est géométrique de raison q et de premier terme U 0 alors U n = q n x U 0 La suite géométrique de premier terme U 0 = 0 et de raison peut s'écrire de manière explicite : U n = 0 x n Soit une somme de 000 placée à intérêts composés de %. Calculer la somme obtenue au bout de 0 ans. Si U 0 est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est : U = U 0 + U 0 = U 0 + 0,0U 0 =,0U 0 =,0 x 000 = Au bout de ans : U = U + U = U + 0,0U =,0U =,0 x 080 = 63,0 00 Au bout de 3 ans : U 3 = U + U = U + 0,0U =,0U =,0 x 63,0 9,73 (U n ) est une suite géométrique de raison,0 donc U n =,0 n x U n = 000 x,0 n Au bout de 0 ans : U n = 000 x, ,9 00 Mathématiques Suites arithmétiques et géométriques 3 ère STMG

4 3. Sens de variation d'une suite géométrique D'après la définition du sens de variation d'une suite, celui d'une suite géométrique va dépendre du signe de sa raison q et de son premier terme U 0 : Si q > et U 0 > 0 alors la suite géométrique est croissante et U 0 < 0 alors la suite géométrique est décroissante Si 0 < q < et U 0 > 0 alors la suite géométrique est décroissante et U 0 < 0 alors la suite géométrique est croissante Si q < 0 alors la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante Si q = alors la suite géométrique est constante : U n = U 0 Si une suite géométrique est de raison alors : elle est croissante si U 0 = ; U = ; U = 6 ; U 3 = 6... elle est décroissante si U 0 = - ; U = - ; U = -6 ; U 3 = Si une suite géométrique est de raison alors : elle est décroissante si U 0 = 3 ; U = 3 x =,5 ; U = 3 x = 0,75 ; U 3 = 3 x 8 = 0, elle est croissante si U 0 = -3 ; U = -3 x = -,5 ; U = -3 x = -0,75 ; U 3 = -3 x 8 = -0, Si une suite géométrique est de raison -3 alors elle n'est ni croissante ni décroissante quelque soit le premier terme : U 0 = ; U = -3 ; U = 9 ; U 3 = -7 Les termes sont alternativement positifs puis négatifs.. Représentation graphique d'une suite géométrique Exemple : Soit (U n ) une suite géométrique de raison 3 et de premier terme U 0 = U = 3 ; U = 9 ; U 3 = 7... Propriété : Les points d'une suite géométrique ne sont pas alignés : on parle d'une croissance exponentielle. Mathématiques Suites arithmétiques et géométriques ère STMG

5 Suites arithmétiques croissance linéaire. Définition Exemple : Soit la suite de nombres U 0 = 5 ; U = ; U = ; U 3 = ; U = 7 ; U 5 = 0... On remarque que l on passe d un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante : U n + = U n + 3 avec U 0 = 5. Définition : Une suite arithmétique est une suite où l on passe d un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison. On écrit : U n+ = U n + r Exemple : Calculer les premiers termes d une suite arithmétique de raison et de premier terme U 0 =. U = U 0 = = ; U = U = = 6 ; U 3 = U = 6 = Terme de rang n d'une suite arithmétique Par définition, on passe d un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r (raison). U n = U n- + r U n- = U n- + r donc U n = U n- + r U n- = U n-3 + r donc U n = U n-3 + r... U = U 0 + r donc U n = U n-n + n x r = U 0 + n x r Terme de rang n : Si une suite (U n ) est arithmétique de raison r et de premier terme U 0, alors U n = U 0 + n x r La suite arithmétique de premier terme U 0 = 00 et de raison 50 peut s écrire de manière explicite : U n = n Soit une somme de 000 placé à intérêts simples de %. Calculer la somme obtenue au bout de 0 ans. 00 Les intérêts simples sont de : 000 x 80 Si U 0 est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est : U = U = 080. Au bout de ans : U = U + 80 = 60. Au bout de 3 ans : U 3 = U + 80 = = 0... (U n ) est une suite arithmétique de raison 80 donc U n = U0 + 80n = n. Au bout de 0 ans, U 0 = X0 = 800. Mathématiques Suites arithmétiques et géométriques 5 ère STMG

6 3. Sens de variation d'une suite arithmétique D après la définition du sens de variation d une suite, celui d une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r : Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante Exemple : Si une suite arithmétique est de raison alors elle est croissante : U 0 = U = 5 U = 9 U 3 = 3 Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante : U 0 = U = U = 6 U 3 =. Représentation graphique d'une suite arithmétique Soit (U n )une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U 0 =. U = U = 7 U 3 = 0 U = 3 Propriété : Tous les points d une suite arithmétique sont alignés : on parle d une croissance linéaire. Mathématiques Suites arithmétiques et géométriques 6 ère STMG