Nage optimale à faible nombre de Reynolds

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1 Nage optimale à faible nombre de Reynolds François Alouges 1 Collaboration avec A. DeSimone et A. Lefebvre 1 CMAP Ecole Polytechnique Bruz le 3 octobre 2008

2 Plan Natation des microorganismes 1 Natation des microorganismes 2 3 4

3 Nage des microorganismes Problème Comprendre comment les microorganismes peuvent nager dans l eau Buts : Comprendre les mécanismes de nage pertinents Selection des individus aptes à nager? Conception de micro- et nano-robots pour la médecine (diagnostique, dépôt de médicament de façon non invasive, microchirurgie, réparation d ADN, etc.)

6 Micro-robots

7 Les nageurs

8 Qu est ce que la natation? Définition 1 : Capacité de se déplacer dans ou sur l eau grâce à des mouvements appropriés Définition 2 : Capacité de se déplacer dans ou sur l eau grâce à des mouvements permettant un changement cyclique de forme (une brassée)

9 Qu est ce que la natation? Définition 1 : Capacité de se déplacer dans ou sur l eau grâce à des mouvements appropriés Définition 2 : Capacité de se déplacer dans ou sur l eau grâce à des mouvements permettant un changement cyclique de forme (une brassée)

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11 Equations de Navier-Stokes [ ρ ( u t + (u )u ) ν u + p = f, divu = 0

12 Un des problèmes du millénaire "Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations."

13 Le nombre de Reynolds [ ρ ( u t + (u )u ) ν u + p = 0, divu = 0 Adimensionnement : x = x L, t = t T, p = L Uν p, u = u U [ σre u t + Re(u )u u + p = 0, div u = 0 avec Re = ρul ν et σ = L UT

16 Le nombre de Reynolds Re = ρul ν Dans l eau ρ ν 106 m 2 s. Pour un dauphin, homme, etc., nageant dan l eau on a L 1m, U 1m/s, T 1s et Re 10 6, σre Pour une bactérie L 1µm, U 10µm/s, T 1s et Re 10 5, σre Equations de Stokes [ ν u + p = f, divu = 0

20 Les problèmes de la nage 1er Problème : Est-il possible de trouver une loi de force interne produisant un changement de forme périodique (une brassée) et induisant un déplacement global du corps? 2ème Problème : Une fois que l on peut nager, comment nager le plus efficacement possible?

21 Les problèmes de la nage 1er Problème : Est-il possible de trouver une loi de force interne produisant un changement de forme périodique (une brassée) et induisant un déplacement global du corps? 2ème Problème : Une fois que l on peut nager, comment nager le plus efficacement possible?

22 Propriétés des fluides à faible nombre de Reynolds Re = ρul ν

23 Le théorème de la coquille Saint-Jacques Obstruction :[Purcell] Dans un régime de Stokes, un mouvement réciproque n induit pas de déplacement global

24 Evidence du théorème de la coquille saint-jacques

25 Un exemple de nano-robot (Purcell)

26 Un exemple de nano-robot (Purcell)

27 Le nageur de Najafi et Golestanian B 1 B 2 B 3 c a x 1 x 2 x 3 x y Les sphères imposent des forces f 1, f 2, f 3 au fluide avec f 1 + f 2 + f 3 = 0 En retour, le fluide se met en mouvement entraînant les sphères 3 variables x, y, c et deux paramètres de contrôle

28 Modélisation Les forces f i dépendent linéairement des vitesses u i (Les équations de Stokes sont linéaires) Se donner des forces f i satisfaisant f i = 0 est équivalent à se donner ẋ et ẏ Puis ċ est déterminé uniquement et dépend linéairement de ẋ et ẏ. dx dt dy dt dc dt = α 1 (t) = α 2 (t) = V 1 (x, y) dx dt + V 2(x, y) dy dt

29 Modélisation Les forces f i dépendent linéairement des vitesses u i (Les équations de Stokes sont linéaires) Se donner des forces f i satisfaisant f i = 0 est équivalent à se donner ẋ et ẏ Puis ċ est déterminé uniquement et dépend linéairement de ẋ et ẏ. dx dt dy dt dc dt = α 1 (t) = α 2 (t) = V 1 (x, y) dx dt + V 2(x, y) dy dt

30 Contraintes holonomiques et non-holonomiques

31 Un théorème de controllabilité Théorème : Le système des 3-spheres de Najafi et Golestanian est globalement controllable. Depuis n importe quel état (x 0, y 0, c 0 ) on peut rejoindre n importe quel autre état (x 1, y 1, c 1 ) avec une loi de force adéquate (f i (t)) i telle que i f i(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des α i (t) adéquats).

32 Un théorème de controllabilité Théorème : Le système des 3-spheres de Najafi et Golestanian est globalement controllable. Depuis n importe quel état (x 0, y 0, c 0 ) on peut rejoindre n importe quel autre état (x 1, y 1, c 1 ) avec une loi de force adéquate (f i (t)) i telle que i f i(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des α i (t) adéquats).

33 Preuve Natation des microorganismes Le système est de la forme dx dt = α 1 F 1 (X) + α 2 F 2 (X), où X = (x, y, c) t S, F 1 (X) = (1, 0, V 1 (x, y)) t et F 2 (X) = (0, 1, V 2 (x, y)) t. Le théorème de Chow assure la contrôlabilité locale autour des points (x, y, c) tels que Lie(F 1, F 2 ) = R 3. On introduit M = {(x, y, c), det(f 1, F 2, [F 1, F 2 ]) = 0}. Le système est globalement contrôlable sur toute composante connexe de S \ M.

34 Preuve Natation des microorganismes Le système est de la forme dx dt = α 1 F 1 (X) + α 2 F 2 (X), où X = (x, y, c) t S, F 1 (X) = (1, 0, V 1 (x, y)) t et F 2 (X) = (0, 1, V 2 (x, y)) t. Le théorème de Chow assure la contrôlabilité locale autour des points (x, y, c) tels que Lie(F 1, F 2 ) = R 3. On introduit M = {(x, y, c), det(f 1, F 2, [F 1, F 2 ]) = 0}. Le système est globalement contrôlable sur toute composante connexe de S \ M.

35 Preuve Natation des microorganismes Ensuite on montre que F 1 (x, y) et F 2 (x, y) sont analytiques en (x, y). (Analyticité de la solution du problème de Stokes par rapport à des variations du domaine.) M est au plus bidimensionnel, ou égal à S. Enfin, on montre qu il existe un point dans S \ M ((x, y) ), que l on peut franchir M grâce à F 1 ou F 2.

39 de la natation Notion due à Lighthill Eff 1 = 1 T T 0 f i (t)u i (t) dt i C ( c T But : Trouver la ou les trajectoire(s) reliant (x 0, y 0, c 0 ) à (x 0, y 0, c 1 ) maximisant l efficacité. ) 2

40 de la natation Notion due à Lighthill Eff 1 = 1 T T 0 f i (t)u i (t) dt i C ( c T But : Trouver la ou les trajectoire(s) reliant (x 0, y 0, c 0 ) à (x 0, y 0, c 1 ) maximisant l efficacité. ) 2

41 de la nage f i et u i dépendent lineairement de ẋ et ẏ Eff 1 = 1 T = T T 0 T 0 f i (t)u i (t) dt i C( c T ) 2 g 11 (x, y) (ẋ) 2 + 2g 12 (x, y)ẋẏ +g 22 (x, y) (ẏ) 2 (g ij ) définit une métrique sur l espace tangent au point (x, y, c)

42 de la nage f i et u i dépendent lineairement de ẋ et ẏ Eff 1 = 1 T = T T 0 T 0 f i (t)u i (t) dt i C( c T ) 2 g 11 (x, y) (ẋ) 2 + 2g 12 (x, y)ẋẏ +g 22 (x, y) (ẏ) 2 (g ij ) définit une métrique sur l espace tangent au point (x, y, c)

43 En un point (x, y, c) l espace tangent n est que bidimensionnel sur lequel il y a une métrique Géométrie sous-riemannienne. On cherche donc des geodésiques optimales reliant deux points dans un espace sous-riemannien

44 En un point (x, y, c) l espace tangent n est que bidimensionnel sur lequel il y a une métrique Géométrie sous-riemannienne. On cherche donc des geodésiques optimales reliant deux points dans un espace sous-riemannien

45 Une méthode de tir L équation des géodésiques sous-riemanniennes est une EDO du 2nd ordre (G )γ + 1 ( ) (Gx γ, γ) + λcurlv (γ) γ = 0. (1) 2 (G y γ, γ) où G = (g ij ), γ = (x, y) t G x = G x, G y = G y

46 Une méthode de tir Il y a des expressions explicites de g ij (x, y) et de V 1 (x, y), V 2 (x, y) en fonction de la solution du problème de Stokes. On cartographie ces valeurs grâce à une code de calcul éléments finis de Stokes axisymétrique. Ensuite, on lisse et interpole les valeurs obtenues.

47 Une méthode de tir Il y a des expressions explicites de g ij (x, y) et de V 1 (x, y), V 2 (x, y) en fonction de la solution du problème de Stokes. On cartographie ces valeurs grâce à une code de calcul éléments finis de Stokes axisymétrique. Ensuite, on lisse et interpole les valeurs obtenues.

48 Un exemple de nano-robot (Purcell) IsoValue

49 Une méthode de tir On introduit Ψ : R 3 R 3 definit par ( Ψ(ẋ 0, ẏ 0, λ) = x(1), y(1), 1 0 (V 1 (x, y)ẋ + V 2 (x, y)ẏ) dt où (x, y) résout l EDO avec données initiales x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0 et l on réécrit le problème sous la forme Trouver (ẋ 0, ẏ 0, λ) tel que Ψ(ẋ 0, ẏ 0, λ) = (x 0, y 0, c). On résout ce problème avec une méthode de Newton. ),

50 Une méthode de tir y x Initial point Optimal stroke Naive stroke NG stroke

51 Multiplicité des brassées géodésiques Initial point Drop Bean Pretzel 0.4 y x

52 Un jour aux courses...

53 Conclusions et futures directions Formalisme très général Méthode numérique inadaptée pour plus de 2 paramètres D autres formes plus générales?