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1 Exercices Aires et volumes 1) Un champ de 5980 m² a la forme d un trapèze, On connaît la hauteur (65 m) et la grande base (15 m). Calculer la mesure de la petite base. ) Une pièce carrée a une superficie de 1 m². Quelles sont les dimensions au sol de la pièce? La hauteur sous le plafond est de,5 m. Quel est le volume de cette pièce? ) Quelle est l aire latérale d un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 1 cm? Quel est le volume de ce cylindre? 4) On recouvre une allée de 50 m de long et large de,5 m d une couche de graviers de 5 cm. Quel est le volume de graviers nécessaire? 5) Un bocal gradué a une forme cylindrique de largeur 15 cm. A quelles hauteurs sont les graduations correspondant à 0,5 litre, 1 litre, 1,5 litre..? 6) On veut mesurer le volume d une pierre de forme quelconque. Dans un récipient ayant la forme d un pavé droit (parallélépipède) dont la base est un rectangle de 14 cm x 8 cm, on a versé de l eau jusqu à une hauteur de 1cm. On plonge la pierre dans le récipient, le niveau d eau atteint 14,5 cm. Quel est le volume de la pierre? 7) Quelle est le diamètre d un tipi, tente indienne de forme conique de volume 1 m et de hauteur m? 8) Quel est le volume d Hélium contenu dans un ballon dirigeable de forme sphérique et de diamètre 5m? 9) Un autre ballon sphérique a une surface de toile de 5 m². Quelles sont ses dimensions? 10) Le diamètre de la Terre est de 1756 Km. Sachant que le volume de la planète Mars représente environ 15% celui de la Terre, Quelle proportion y a-t-il entre le diamètre de la Terre et le diamètre de Mars? (On considère que la Terre et Mars ont une forme sphérique). CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p1/1

2 Formulaire AIES Carré c Disque π ou π ( D ) Trapèze Cube surface d'une face surface totale c 6c Parrallélépipède Sphère Cylindre surface latérale surface d'une base h π π surface latérale surface d'une base (L x l + l x h) L x l S = 4π CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p/1

3 Cube OLUMES Cylindre a π ou π ( ) D Sphère Parrallélépipède 4 π L x l x h Cône Prisme h Bh x L = 1 πh CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p/1

4 Corrigé Exercice 1 Un champ de 5980 m² a la forme d un trapèze, On connaît la hauteur (65 m) et la grande base (15 m). Calculer la mesure de la petite base. ( B + b) L aire d un trapèze est donnée par la formule : A = h On connaît A, B et h. Il faut déterminer b. (15 + b) 5980 = = (15 + b) = 15 + b = b 65 b = 1 La mesure de la petite base de ce trapèze est de 1 m. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p4/1

5 Exercice L aire d un carré est donnée par la formule A = c². On connaît l aire il faut déterminer c. Une pièce carrée a une superficie de 1 m². Quelles sont les dimensions au sol de la pièce? La hauteur sous le plafond est de,5 m. Quel est le volume de cette pièce? A = c²! c = A c = 1,46 Les dimensions au sol de la pièce sont,46 m x,46m Le volume de la pièce est = c² x h, c'est-à-dire aire de base x hauteur = 1 x,5 = 0 emarquez que, comme on connaît la valeur exacte de l aire de base (1) il vaut mieux utiliser cette donnée pour le calcul du volume. Si on avait utilisé la valeur approchée de,46 pour le côté, le calcul du volume aurait donné un résultat approché de 9,9 m. Le volume de la pièce est de 0m. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p5/1

6 Exercice L aire latérale d un cylindre est donnée par la formule A = πh Quelle est l aire latérale d un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 1 cm? Quel est le volume de ce cylindre? A = π ,99 L aire latérale de ce cylindre est d environ 77 cm². Le volume d un cylindre est donné par la formule = π h π ² représente la surface de base qui est un cercle de rayon 5cm, h étant la hauteur. = π 5² 1 94,5 Le volume du cylindre est d environ 94,5 cm. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p6/1

7 Exercice 4 On recouvre une allée de 50 m de long et large de,5 m d une couche de graviers de 5 cm. Quel est le volume de graviers nécessaire? La couche de gravier aura la forme d un parallélépipède de longueur 50m, de largeur,5m et de hauteur 5 cm. La formule du volume du parallélépipède est = L x l x h Il faut que les valeurs des différentes mesures soient dans la même unité. On choisit de mettre les différentes mesures en mètres. = 50,5 0,05 = 6,5 Le volume de graviers nécessaire est de 6,5 m. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p7/1

8 Exercice 5 Un bocal gradué a une forme cylindrique de largeur 15 cm. A quelles hauteurs sont les graduations correspondant à 0,5 litre, 1 litre, 1,5 litre..? Les litres sont des unités de capacité, il faut leur faire correspondre des unités de volume. A retenir : 1 litre = 1 dm = 1000 cm. La largeur du bocal correspond au diamètre du cercle qui est la base du cylindre. Le rayon de ce cercle est donc de 7,5cm. Dans la formule du volume si on exprime les mesures des longueurs sont en cm, le volume sera en cm. = π h! h = π² Pour une contenance de 0,5litre, le volume en cm est de h =,8 500 = π 7,5 h π 7,5² La graduation correspondant à 0,5 litre sera à une hauteur d environ,8 cm. Il est inutile donner le résultat avec plus de décimales, on est à la précision du millimètre, c est suffisant. Le volume est proportionnel à la hauteur, il est donc inutile de recommencer les calculs. Pour une capacité de 1 litre soit un volume 1000 cm, la hauteur sera double x,8 = 5,66. La graduation correspondant à 1 litre sera à une hauteur d environ 5,7cm. Pour une capacité de 1,5 litre soit un volume de 1500 cm, la hauteur sera triple x,8 = 8,49 La graduation correspondant à 1,5 litre sera à une hauteur d environ 8,5 cm. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p8/1

9 Exercice 6 On veut mesurer le volume d une pierre de forme quelconque. Dans un récipient ayant la forme d un pavé droit (parallélépipède) dont la base est un rectangle de 14 cm x 8 cm, on a versé de l eau jusqu à une hauteur de 1cm. On plonge la pierre dans le récipient, le niveau d eau atteint 14,5 cm. Quel est le volume de la pierre? Le volume d eau dans le récipient est donné par la formule = L x l x h Soit : 1 le volume d eau avant d y plonger la pierre le volume eau + pierre après y avoir plongé la pierre. Le volume de la pierre sera égal à - 1. La hauteur h 1 = 1 cm permettra de calculer le volume 1. La hauteur h = 14.5 cm permettra de calculer le volume. 1 = 14 x 8 x 1 = 144 = 14 x 8 x 14,5 = 164 = = 80 Le volume de la pierre est de 80 cm CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p9/1

10 Exercice 7 Quel est le diamètre d un tipi, tente indienne de forme conique de volume 1 m et de hauteur m? 1 La formule qui permet de calculer le volume d un cône est = π ² h. Cette formule nous permettra de trouver le rayon du cercle de base. Le volume est en m, la hauteur en mètres, la mesure du rayon sera également en mètres. 1 1 = π ² 1 = π ² 1 1 ² = =, 49 π π Le rayon du cercle de base est d environ,5 m. Le diamètre du tipi est d environ 5m. Exercice 8 Quel est le volume d Hélium contenu dans un ballon dirigeable de forme sphérique et de diamètre 5m? Le volume d une sphère est donné par la formule Le rayon de la sphère est de,5m. = 4 π = 4 π,5 65,45 Le volume d hélium contenu dans le ballon est de 65,45 m. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p10/1

11 Exercice 9 La formule qui permet de calculer la surface d une sphère est A = 4π² Un autre ballon sphérique a une surface de toile de 5 m². Quelles sont ses dimensions? On connaît A, il faut déterminer 4 π ² = ² = = 1, 41 4 π 4 π Ce ballon sphérique a un diamètre d environ,8 m D 1,41 CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p11/1

12 Exercice 10 Attention : le volume de Mars représente 15% du volume de la Terre ne signifie pas que le diamètre de Mars représente 15% du diamètre de la Terre, Calculons le volume de la Terre : = 678 (1756 : ) 4 1 T = π 678 1, Le volume de la Terre est de 1,08678 x 10 1 Km 10) Le diamètre de la Terre est de 1756 Km. Sachant que le volume de la planète Mars représente environ 15% celui de la Terre, Quelle proportion y a-t-il entre le diamètre de la Terre et le diamètre de Mars? (On considère que la Terre et Mars ont une forme sphérique). M 1 1, ,15 1,6017 Le volume de Mars est de 1,6017 x Km. Pour calculer le rayon de Mars on inverse la formule 4 π 11 1, , , π 4 π Le diamètre de Mars est d environ 6778 Km 6778 La proportion existant entre les deux diamètres est de 0,5 5% 1756 Le diamètre de Mars représente 5% du diamètre de la Terre. CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p1/1

13 CUEEP Département Mathématiques E811 : Aires et volumes p1/1 Pour aller plus loin : apport des volumes 15 = 0, r M 0, = = = = T M T M T M T M π π apport des rayons 5 0, 0,15 = r M Le rapport des rayons est égal à la racine cubique du rapport des volumes.