Analyse temps fréquence des signaux P. DELACHARTRE D. VRAY CREATIS INSA-LYON

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1 Analyse temps fréquence des signau P. DELACHARTRE D. VRAY CREATIS INSA-LYON

2 Plan I - SIGNAL ANALYTIQUE FREQUENCE INSTANTANEE GRANDEURS LOCALES : AMPLITUDE ET FREQUENCE INSTANTANEES TRANSFORMEE DE HILBERT SIGNAL ANALYTIQUE REPRESENTATION D UN SIGNAL PAR SON ENVELOPPE ET SA PHASE EXEMPLES II - TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME ET SPECTROGRAMME LE PLAN TEMPS-FREQUENCE REPRESENTATIONS TEMPS-FREQUENCE LINEAIRES REPRESENTATIONS TEMPS-FREQUENCE BILINEAIRES EXEMPLES

3 Eemple introductif Signal 1 : somme de deu sinus f1=,1 et f=, Signal : sinus avec rupture de fréquence f1=,1 et f=, SIGNAL 1 SIGNAL TEMPS FREQUENCE 3

4 Introduction Espace de représentation Evolution temporelle Regarder sous un autre angle Choi de l'espace de représentation décision la détection l'estimation la classification la reconnaissance Signau stationnaires analyse spectrale Signau non-stationnaires ou localement stationnaires domaine temporel domaine fréquentiel méthodes temps-fréquence 4

5 Classification des méthodes temps fréquence Représentations linéaires Transformée de Fourier à court terme Décomposition de Gabor Transformées en ondelettes Représentations quadratiques Spectrogramme Fonction d ambiguïté Distribution de Wigner-Ville 5

6 Autre classification des méthodes temps fréquence Méthodes instantanées Notion d amplitude et de fréquence instantanées Signal analytique Méthodes glissantes Issues de l analyse de Fourier Transformée de Fourier à court terme Méthodes conjointes Aucune hypothèse concernant la stationarité Transformation de Wigner-Ville 6

7 Grandeurs locales : amplitude et fréquence instantanées Notion de «spectre instantané» ou de fréquence localisée dans le temps Eemple de la portée en musique Le temps est indiqué horizontalement La fréquence est indiquée verticalement Toutefois, l ae des temps et des fréquences ont une résolution fiée Analogie limitée : Dans le cas de la portée musicale, il s agit de synthèse : RTF Production du signal sonore Analyse : Signal RTF 7

8 Signal analytique et transformée de Hilbert pour un signal monochromatique Signal réel : (t) Amplitude de (t) module de z (t) Fréquence de (t) dérivée de la phase de z (t) Signal analytique : jπf t = a cos πf t = Re z (t) = ae = a cos πf t + ja sin πf t (t) = (t) + j(t) z [ ] jπf t ae = Re[ z (t)] Partie réelle et imaginaire sont en quadrature (déphasée de π/) Transformée de Fourier : Z (f ) = X(f ) + jx(f ) = aδ (f f) a f Spectre unilatéral 8

9 Signal analytique et transformée de Hilbert pour un signal monochromatique (suite) Remarque : a (f ) = δ ja (f ) = δ (f + f ) [ δ (f + f ) + (f f )] et X X δ (f f) = [ ] jsgn(f )X(f ) Z (f ) = X(f ) + j( jsgn(f ))X(f ) = +1 U(f) : échelon de Heaviside. Sgn(f) +1-1 U(f )X(f ) + = Le filtrage linéaire de gain complee j sgn(f) transforme la partie réelle en X(f) = jsgn(f)x(f) partie imaginaire de z (t) et réciproquement ( ) Transformée de Hilbert (t) = H t { ( )} + f 9

10 Eemple d une onde monochromatique (t) = A cos πf t = Re { j π f t } Ae amplitude amplitude amplitude 1 a) signal cosinus temps c) signal sinus temps e) eponentielle complee (reel et imag) temps amplitude amplitude amplitude - b) TF du signal cosinus (reelle) frequence reduite d) TF du signal sinus (imaginaire) frequence reduite f) TF de l'eponentielle complee frequence reduite 1

11 Etension à d autres types de signau On peut associer à tout signal réel (t) le signal analytique (complee) correspondant : z (t) = (t) + jh (t) { } H désigne la transformée de Hilbert. Par référence au cas monochromatique, on peut définir une amplitude instantanée (enveloppe) et une fréquence instantanée f ( t) : r ( t) = z ( t) et f ( t) d (arg z ) ( t ) dt En fréquence la TF du signal analytique est la forme unilatérale de celle du signal réel : Z (f ) = X(f ) + j( jsgn(f ))X(f ) = = 1 π U(f )X(f ) r ( t ) 11

12 Transformée de Hilbert (t) g(t)*(t) La TH associe à un signal (t), le signal défini par : 1 ( τ) (t) = dτ = g(t τ)( τ)dτ = π t τ C'est une opération de filtrage du signal (t) par un système 1 linéaire de réponse impulsionnelle g(t) = πt 1 X(f ) = F (t) = F *F{ (t) } = jsgn(f )X(f ) πt Signal analytique : z (t) = (t) + j(t) On a donc bien : Z (f ) = X(f ) + jx(f ) = (1 + jsgn(f ))X(f ) = U(f )X(f ) Le signal analytique ne possède pas de fréquences négatives 1

13 Propriétés de la transformée de Hilbert Linéarité La transformée de Hilbert est une opération linéaire puisque définit comme un produit de convolution Produit de convolution z(t) = (t)* y(t) Les signau et sont en quadratures et et = (t)* y(t) Déphasage (t) (t) X(f ) = jsgn(f )X(f ) X (f ) = X(f ) et donne : Arg[X(f )] (t)* y(t) = (t)* y(t) = Arg[X(f )] La TH se comporte donc comme un déphaseur pur de ±π/ π sgn(f ) 13

14 Représentation d un signal par son enveloppe et sa phase Signal analytique associé à (t) : z (t) = r Et donc naturellement : Re z (t) = r (t) cos Φ (t) Hypothèses, limitations spectre de r (t) basse fréquence et spectre de cos Φ (t) haute fréquence et disjoint signau bande étroite à faible modulation Enveloppe : (t) ep [ jφ (t)] [ ] [ ] r (t) = z (t) [ z (t)] Phase instantanée : Φ ( t) = arg 1 dφ (t) Fréquence instantanée : f (t) dt 1 darg Z (f ) Retard de groupe : t (f ) = π df = π [ ] [ ] 14

15 Eemple d un signal sinusoïdal (t) = A sin(πf t) Signal analytique : (t) = A sin(πf t) + [ jsin(πf t π / ) ] z [ πf t) jcos(πf t) ] z (t) = A sin( z (t) = A ep(jπf t) ep( jπ / ) Enveloppe : r (t) = z (t) = A Phase instantanée : Φ t) = arg z (t) = [ ] πf t π / ( Fréquence instantanée : f 1 dφ (t) f (t) = = f π dt t f 15

16 Eemple d un signal sinusoïdal (t) = A sin(πf t) 1 signal sinusoidal reel, f=.5 module de la TF du signal reel amplitude -1 1 amplitude partie reelle et imaginaire du signal analytique 1 amplitude -1 1 amplitude 1.5 enveloppe du signal reel 1 1 phase instantanee deroulee.1 frequence instantanee phase 5 frequence

17 Eemple d un signal module linéairement en fréquence B (t) = Asin( π [f + t]t) T Signal analytique : Enveloppe : r (t) = z (t) = Phase instantanée : Fréquence instantanée : f f +B z (t) = A ep(jπ [f + Φ A B T B ( t) = arg T 1 dφ (t) f (t) = = f + π dt t]t) ep( jπ / ) [ z (t)] = π (f + t)t π / B T t f T t Loi de modulation linéaire 17

18 (t) = Asin( π [f + Eemple d un signal module linéairement en fréquence B t]t) T signal reel modulation linéaire de fréquence, f=.1, a=.5 1 TF du signal reel amplitude amplitude partie reelle et imaginaire du signal analytique 1 amplitude amplitude 1.5 enveloppe du signal reel phase instantanee deroulee.4 frequence instantanee phase frequence

19 Eemple d un signal module linéairement en fréquence : Comparaison B (t) = Asin( π [f + t]t) T SIGNAL 1 : Signal analytique théorique B z (t) = ep(jπ [f + t]t) ep( jπ / ) T SIGNAL : Signal analytique calculé par TH B B z (t) = sin(π [f + t]t) + jh sin(π [f + t]t) T T 19

20 Eemple d un signal module linéairement en fréquence : Comparaison (suite) Re [ z (t)],im[ z (t)] f (t) SIGNAL 1 SIGNAL

21 Eemple d un signal epérimental Les signau epérimentau sont des signau ultrasonores. Une onde ultrasonore est émise en direction de cibles en mouvement dans un liquide. Les ondes réfléchies par les cibles sont sensibles à la vitesse de ces cibles à cause de l effet Doppler. L effet Doppler provoque un changement de la fréquence de l onde émise. Les signau analysés ici sont démodulés par la fréquence de l onde émise, ainsi, la fréquence du signal est directement proportionnelle à la vitesse de la cible. Les signau présentés ici permettent de connaître la vitesse de bulles microscopiques (diamètre de quelques microns) qui se déplacent vers la surface d un liquide. L onde ultrasonore est à la fréquence de MHz. Après démodulation, le signal Doppler est échantillonné à la fréquence de 5 Hz. 1

22 Eemple d un signal epérimental (suite) f = v cosθ c d f f = MHz c =154 m/s θ = 45 Eemple : f d = 65 Hz v = cf f cosθ d =.35m /s

23 Eemple d un signal epérimental (suite) f d = 65 Hz 3

24 Enveloppe : Limitations : Eemple 1 (t) = ep( jπ f1t) + ep( jπf t) f = f1 + f ( 1+ ep( j ft) ) (t) = ep( jπf 1t) π (t) = ep( jπf 1t) ep( jπ ft) cos( π ft) r (t) = (t) = Phase instantanée : Φ ( t) = arg 1 1 dφ (t) Fréquence instantanée : (t) = = f π dt f f f + [ (t) ] = π (f + )t + arg[ cos( π ft) ] f + f 1 f 1 = f (f 1+ f )/ f 1 t 4

25 Limitations : Eemple 1 (suite) (t) = ep( jπ f1t) + ep( jπf t) signal sinusoidal reel, f=.7, f1=. 1 1 module de la TF du signal reel amplitude -1 1 amplitude partie reelle et imaginaire du signal analytique 1 amplitude -1 1 amplitude 1.5 enveloppe du signal reel 1 1 phase instantanee deroulee. frequence instantanee phase 5 frequence

26 Limitations : Eemple (t) = δ (t t1) + δ (t t ) X(f ) = ep( jπft 1) + ep( jπft ) t = t1 + t X(f ) = ep( jπft 1) 1+ ep( jπf t) ( ) X(f ) = ep( jπft 1) ep( jπf t) cos( πf t) t Phase : arg 1 1 darg[ X(f )] Retard de groupe : (f ) = = t1 π df t [ X(f )] = πf (t + ) + arg[ cos( πf t) ] t t + t 1 t + = t (t 1+ t )/ t 1 f 6

27 Représentation temps-fréquence Vers une représentation temps-fréquence RTF T ( t, f ) Représentation schématique de ce qui est souhaitable f f δ(t-t ) f ep(jπf t) t t t f Ep(jπt²α/) f α t ep(-αt²) t 7

28 Le plan temps-fréquence Domaine temporel domaine fréquentiel Dans le spectre : information délocalisée en temps Signal à durée limitée et signal à bande limitée Inégalité d'heisenberg-gabor : t. f 1 4π Pour une gaussienne BT 1/ 8

29 Analyse temps-fréquence SIGNAL 1 - Les méthodes : Méthodes temps-fréquence IMAGE TEMPS-FREQUENCE - Quoi etraire? Traitement d images, pré-traitement, Segmentation IMAGE TEMPS-FREQUENCE EPUREE 3 - Comment paramétrer? Reconnaissance de formes, codage, modélisation DESCRIPTEURS 4 - Quelle décision? Classification, identification DECISION 9

30 Représentations temps-fréquence linéaires Décomposition du signal sur une famille de signau élémentaires Transformée de Fourier à court terme Décomposition de Gabor Transformée en ondelettes Propriété de linéarité ( t) = c ( t) + c ( t) T ( t, f ) = ct ( t, f ) + c T ( t, f )

31 Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT) TFCT du signal (t) définie par : = + π τ τ τ t)e j f TFCT(t,f;h) ( )h*( dτ Interprétation : + π τ t( τ) = ( τ)h*( τ t) = = τ)e j f TFCT(t,f;h) X t(f) t( dτ TF locale au voisinage de t. Autre définition : jπft jπ( ξ Xt(f) = X(f) H*( f)e = X( ξ)h*( ξ f)e TFCT(t,f;h) = e + jπtf + X( ξ)h*( ξ f)e jπξ td TFCT obtenue en filtrant (t) par un filtre passebande de réponse fréquentielle H*(ξ-f) centré sur f ξ f) t dξ 31

32 Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT) Résolution en temps et en fréquence 1(t) =δ(t t) + jπfτ jπtf TFCT (t,f;h) = δ( τ t)h*( τ t)e dτ= e h*(t 1 t) f h(t) t t 3

33 Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT) (t) = e jπft + jπ( ξ f)t jπ(f f)t TFCT (t,f;h) = δ( ξ f)h*( ξ f)e dξ= e H*(f f f) f H(f) t Compromis entre résolution en temps et en fréquence eprimé par l inégalité d'heisenberg-gabor. 33

34 Décomposition de GABOR Notion «d atomes temps-fréquence» Définition ( t) = G n, k g ( t) avec g ( t) = g( t nt) e G n k + n= + k =, : coefficients de Gabor Les fonctions sont appelées logon Limitations : maillage rectangulaire nk gnk ( t) f nk jπkft t 34

35 Transformée en ondelettes Représentation temps-échelle continue : T(t,a) = + (s)h* ta (s)ds avec h* ta(s) = Représentation Temps-Fréquence pour Pavage dyadique h( s a t ) Interprétation : filtres à Q-constant (Q = f / B) f 1 a a = f / f t 35

36 Représentations temps-fréquence bilinéaires Distribution d énergie Energie de (t) : + = (t) dt= ( t) et X ( f ) : densités d énergie respectivement temporelle et spectrale. Rechercher une grandeur mite qui sera une densité conjointe telle que : E = + + Le «spectre instantané» «déployer» l énergie du signal E T (t,f)dtdf + X(f) T ( t, f ) df T ( t, f ) est censé Deu contraintes naturelles : + T (t,f)dt = X(f) =P (f) et T (t,f)df = (t) + =p (t) 36

37 Représentations temps-fréquence bilinéaires Principe de superposition quadratique * * ( t) = c ( t) + c ( t) T ( t, f ) = c T ( t, f ) + c T ( t, f ) + c c T ( t, f ) + c c T ( t, f ) , 1, Théorème de Wigner : Il n'eiste pas de représentation temps-fréquence qui soit à la fois bilinéaire, à distributions marginales correctes, et partout non négative. 37

38 Spectrogramme Le Sonagraphe Le principe peut être modélisé ainsi : S (t,f;h) = + X( ξ )H*( ξ f)e jπξt dξ Spectrogramme ou sonagramme donc aussi : j f S(t,f;h) = + π τ ( τ)h *( τ t)e dτ non négatif et à valeur réelle Choi de la fenêtre d analyse Le spectrogramme est le module carré de la TFCT 38

39 Effet de la longueur de la fenêtre 39

40 Distribution de Wigner-Ville (DWV) Définition W,y (t, f ) Propriétés + τ * τ jπfτ = (t + )y (t )e d τ Structure des interférences Soit : (t) = (t) + (t) avec 1 et 1 (t) (t) = = (t (t t t 1 )e )e jπf jπf t 1 t Les termes d interférences sont localisées autour t = t 1 + du temps 1 et de la fréquence t = f + f 1 f1 4

41 Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite) La fréquence des oscillations est 1 f dans la direction du temps et la fréquence des oscillations t f est dans la direction de la fréquence 1 t f direction des oscillations I 1, (t,f) W (t,f) 1/(f 1 -f ) (t,f ) W 1 (t,f) (t 1,f 1 ) 1/(t 1 -t ) t 41

42 Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite) 4

43 Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite) 43

44 Définition A,y ( τ, ξ) Fonction d Ambiguïté (FA) = + τ (t + )y jπξt Fonction corrélative temps-fréquence La DWV et la FA sont duales A,y Réduction des interférences (t τ )e dt + ξ ξ jπξτ = X(f + )Y (f )e df ( τ, ξ) = + + W,y (t,f )e jπ( ξt τf ) dtdf 44

45 Lissage des distributions de Wigner-Ville Classe des DWV lissées (classe de Cohen) : jπξ(s t) τ * τ j P (t,f, Φ) = e Φ( τ, ξ)(s + ) (s )e Ou P ϕ(t,f ) (t,f, Φ) = W (t,f ) ϕ(t,f ) est la fonction de lissage de la DWV Caractérisation dans le domaine des corrélations πfτ dξdsdτ dualité domaine des corrélations et domaine des distributions d énergie : W (t,f, ϕ) վ D TF A ( τ, ξ, Φ) = = W (t,f ) ϕ(t,f ) վ A D TF վ D TF ( τ, ξ) Φ( τ, ξ) 45

46 Lissage des distributions de Wigner-Ville (suite) La Distribution de Pseudo Wigner Ville (DPWV) est une Wigner- Ville à court terme. On introduit une fenêtre temporelle h d'observation PW (t,f ) = τ= T h τ= T h (t + τ ) jπfτ La DPWV réalise un lissage dans la direction des fréquences uniquement Les interférences ne seront pas atténuées dans la direction du temps Le lissage "fréquentiel" sera important pour une fenêtre h(t) courte La Distribution de Pseudo Wigner Ville lissée (DPWV lissée) est une Pseudo-Wigner-Ville sur laquelle a été introduit une fenêtre fréquentielle g et donc un lissage temporel. Le lissage temporel est indépendant du lissage fréquentiel. (t τ )h τ ( )e dτ 46

47 Distribution de Choï-Williams La distribution de Choï-Williams (CW) est une des nombreuses distributions qui proposent de réduire les termes d'interférences La fonction noyau est une gaussienne paramétrée par une variance s On retrouve la DWV pour s qui tend vers l'infini CW (t,f ) + + = σ σ (s t) / τ τ τ jπfτ e (s + ) (s )e dsd π τ τ 47

48 Eemples Analyse de signau Sonar Signau du fond sous-marin Signau de cibles acoustiques 48

49 Bibliographie P. Flandrin, Temps-fréquence, Hermès, Paris, 1993 F. Hlawatsch et G.F. Boudreau-Bartels, "Linear and Quadratic Time-Frequency Representations", IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 9, N, April 199 F. Hlawatsch, "Time-Frequency Methods For Signal Processing", Traitement du signal - développements récents, Ecole pré-doctorale de physique, Session VI, Septembre 1993 O. Rioul et M. Vetterli, "Wavelets and Signal Processing", IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 8, N 4, Octob er 1991 M. Basseville, P. Flandrin, N. Martin, "Méthodes Temps- Fréquence", Traitement du Signal, Vol. 9, Supplément au N 1 49