Algorithme, algèbre et fonction

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1 Information Algorithme, algèbre et fonction La notion de fonction peut être schématisée par cette machine à fabriquer des nombres. Un nombre est entré dans la machine, cette dernière le triture, digère, manipule... et éjecte un nouveau nombre. Dans la suite le procédé de manipulation des nombres sera donné à l aide d un algorithme de calcul Problématique Voici deux algorithmes : Algorithme A Choisir un nombre Elever au carré Multiplier par 4 Ajouter le produit du nombre choisi au départ par 28 Restituer le résultat obtenu 1. (a) Appliquer l algorithme A au nombre -5 (b) Appliquer l algorithme B au nombre -5 Algorithme B Choisir un nombre Prendre son double Ajouter 7 Prendre le carré du résultat Retrancher 49 Restituer le résultat obtenu (c) Pour un même nombre chosi au départ, les deux algorithmes aboutissent-ils toujours au même résultat? Justifier 2. (a) Montrer que si l on applique l un des algorithmes au nombre -2 on obtient le même résultat qu en prenant -5 au départ (b) Existent-ils des nombres,autres que -5 et -2 qui aboutissent au même résultat après la mise en oeuvre de l un des algorithmes 3. (a) Vérifier que, lorsqu on applique l un des algorithmes au nombre 0, le résultat est 0. Ainsi 0 s associe à lui même (b) Peut on choisir au départ un nombre, autre que 0, qui s associe à lui même? Hervé Gurgey 1 12 septembre 2011

2 Cours Qu est qu une fonction? Définition Soit D un ensemble de nombres, On appelle fonction définie sur D tout procédé qui à tout nombre choisi dans D associe un autre nombre dépendant de manière unique du nombre choisi au départ. les fonctions sont en général notée f, g, h, l ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction. ( noté D f, D g, D g, ). Exemple La fonction qui à un nombre entier non nul n associe le nombre de diviseur de n est définie sur D = N ( ensemble des nombres entiers privé de 0) La fonction qui à tout nombre réel compris entre 1 et 25 associe le nombre de diviseurs de sa partie entière est définie sur l intervalle fermé à gauche et fermé à droite [1; 25] Notations Soit x dans D, le nombre qu on lui associe par f est noté f(x) La définition précédente peut être symbolisée par le schéma suivant : f : D R x f(x) Soit x dans D, le nombre qu on lui associe par f est appelé IMAGE de x par f. Soit x dans D, notons y l image de x par f. On dit alors que x est un antécédent de y. Une valeur de y donnée peut admettre plusieurs antécédents. Par contre une valeur x de D n admet qu une image par f. L égalité f(a) = b peut se traduire par : f : a b L image de a par f est b Un antécédent de b par f est a. Hervé Gurgey 2 12 septembre 2011

3 Expression algébrique des fonctions Les fonctions seront souvent définies en donnant le procédé calculatoire permettant de passer d un nombre à son image. Exemples : Soit f la fonction définie sur [ 4 ; 3[ par : f(x) = 4x 2 3x : Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par : g(t) = 1 t + 5 Soit h la fonction définie par : h : R R x 3x 2 Exercices Exercice 1 On donne l algorithme suivant : Entrée choisir une valeur de x Traitement x + 5 A A 3 B B x x y Sortie Afficher y On considère la fonction f qui au nombre x entré associe le nombre y obtenu en sortie de l algorithme Donner l expression de f(x) Exercice 2 On donne l algorithme suivant : Entrée choisir une valeur de a Traitement a 3 b b 1 c c c d 9 a a e d e f Sortie Afficher f 1. Que donne l algorithme avec a = 2 2. Quelle fonction cet algorithme décrit il? 3. Quel nombre prendre pour a pour voir afficher f = 12071? Exercice 3 On considère les fonctions suivantes : f la fonction définie sur [ 4 ; 3[ par : f(x) = 4x 2 3x : g la fonction définie sur [0 ; + [ par : g(t) = 1 t + 5 h définie par : h : R R x 3x 2 1. (a) Déterminer l image de 2 par f. (b) Calculer f(5) ; f( 3) ; f(1). Hervé Gurgey 3 12 septembre 2011

4 (c) Déterminer les éventuels antécédents de Reprendre l exercice précédent en remplaçant f par g puis par h. Exercice 5 : réfléchir à l expession en fonction de Information Dans le langage courant, on utilise souvent des termes qui expriment une relation de dépendance ou un lien entre deux quantités. Mais cette dépendance ne se traduit pas toujours par une relation fonctionnelle, au sens mathématique, entre les deux quantités. En effet, il faut savoir qu en sciences, on dit qu une quantité y s exprime en fonction d une quantité x lorsque, à chaque nombre x possible, on peut associer Une seule valeur de y. On note alors x y et x est appelée la variable Exemple L affirmation : la taille de Marguerite s exprime en fonction de son âge est vraie car à chaque âge on associe une seule taille On a age taille, les âges possibles étant des nombres positifs Par contre, si l on observe les relevés suivants : Age(en année) 14 14, , , , ,5 Poids(en kg) , Taille(en m) 1,50 1,50 1,52 1,55 1,60 1,64 1,69 1,70 1,72 1,72 on se rend compte que l affirmation : La taille de Marguerite s exprime en fonction de son poids est fausse car, par exemple, au poids 40 kg correspondent plusieurs tailles Dire pour chacune des affirmations suivantes ; si elle est vraie ou fausse, et dans le cas où elle est vraie la symboliser sous la forme et donner les les valeurs possibles de la variable 1. Le montant de la facture d eau s exprime en fonction de la consommation 2. Le montant des impôts sur le revenu s exprime en fonction du salaire annuel 3. Le nombre de personnes venant à la piscine municipale non couverte s exprime en fonction de la température extérieure 4. L aire d un disque s exprime en fonction de son diamètre 5. D après le tableau suivant, la consommation de carburant de la voiture étudiée s exprime en fonction de la vitesse Vitesse(en km) Consommation( en l/100km) 5,9 10,5 5,5 8,1 5,2 6,3 6. D après le tableau suivant, la température d un salle de classe s exprime en fonction du nombre d élèves dans la salle : Nombre d élèves Température( en C) 19 19,3 19,8 19,3 20,7 20,1 7. D après le graphique 1 la hauteur d un ballon lâché qui se dégonfle s exprime en fonction de son déplacement horizontal Hervé Gurgey 4 12 septembre 2011

5 8. D après le graphique 2 la hauteur d une balle qui rebondit s exprime en fonction du temps Exercice 4 : un peu de calcul algébrique 1. Pour chacune des expressions suivantes, dire s il s agit d une somme, d une différence, d un produit ou d un quotient. ( En ce qui concerne la dernière opération mise en oeuvre) a. 3x + 8 b. (3x + 1)(4x 3) (3x + 1)(x 4) c. 4(x + 2) d. (4x 3) 2 e. 2x 1 x f. x 1 5 x g. (2x 3)(4 + x)(x 1) h. 4 (x 7) 2 2. associer à chaque phrase l expression algébrique qui lui correspond : Exercice 5 a. Le quotient du produit de 2 et de x par la somme de 3 et de x 1. 2x + 3 x 2x b. Le produit de la somme de 2 et de x et de la différence de 3 et de x x c. La somme dun produit de 2 et de x et du quotient de 3 par x 3. (2 + x)(3 x) 2 x d. La différence du quotient de 2 par x et de la somme de 3 et de x 4. 3x 2 e. Le quotient de la différence de 2 et de x par le produit de 3 et de x 5. (3 + x) x Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : 1. Pour tout nombre réel a, (a + 3) 2 = a Il existe un nombre réel a tel que : (a + 3) 2 = a Pour tout réel x, 9 x 2 = (x + 3)(x 3) 4. Pour tout réel x, x 3 4x = x(x + 2)(x 2) 5. Pour tout réel n, (n 1) 2 = n 2 1 ( 6. Pour tout réel x non nul, x + 1 ) 2 = x x x 2 7. L ensemble des solutions de l équation x 2 = 9 est S = {3} 8. L ensemble des solutions de l équation x = 0 est S = { 2; 2} 9. Pour tout nombre réel x, (2x) 2 = 2x Pour tout nombre réel x, ( 3x) 2 = 9x Pour tous nombres réels a et b, a 2 + b 2 est un nombre strictement positif 12. Soit x un nombre réel, x n existe pas. 13. L opposé d une somme est la somme des opposés. 14. L opposé d un produit est le produit des opposés. 15. L opposé d une somme est la somme des opposés. 16. L inverse de la somme de deux nombres est égal à la somme des inverses de ces nombres. 17. Le carré du double d un nombre est égal au double du carré de ce nombre. 18. Le double du produit de deux nombres est le produit du double de ces nombres Pour tous nombres réels a et b, a 2 + b 2 = a + b 20. Pour tous nombres réels a et b, a 2 b 2 = a + b Hervé Gurgey 5 12 septembre 2011

6 21. Pour tout nombre réel x, 2x Pour tout réel x 3 2, 4x + 6 6x + 9 = 2 3 = x Pour tous nombres réels a et b non nuls, Exercice 6 1 a + 1 b = 2 a + b Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : = 5 1 ( 3 x 2 + x 4 = x + 1 ) = = 2 2 x 2 + (x 4) 2 = 2(x 2) a 2 + b 2 = a + b = 2 3 4x 5 2x + 1 = 2 5 2x 1 Exercice 7 Reconnaître la forme d une expression algébrique (somme, produit, carré, différence) x et y étant deux nombres non nuls. Ecrire : Phrase La somme de leurs inverses L inverse de la somme de leurs carrés La différence du carré de x et de son inverse Le quotient du double de x par l inverse de y Exercice 8 Cocher la bonne réponse : Expression algébrique x 2 y 2 1. L écriture réduite et ordonnée de 5x 2x 2 4x est : x 2 2x 2 + x x 4 Aucune de ces réponses 2. L écriture réduite et ordonnée de x 2 + 5x 4 7x + 3x 2 1 est : 3x 6 2x 2 5 4x 2 2x 5 Aucune de ces réponses 3. L écriture réduite et ordonnée de 2 ( x 3x 2) x(1 2x) est : Exercice 9 4x 2 + x 8x 2 + x 3x 2 Aucune de ces réponses Cocher la bonne réponse : 1. 9x 2 49 est égal à : (3x 7)(3x + 7) (3x 7) 2 (3x + 7) x x + 9 est égal à : (2x 3)(2x + 3) (2x 3) 2 (2x + 3) 2 Hervé Gurgey 6 12 septembre 2011

7 3. x est : (x 6)(x + 6) (x + 6) 2 Aucune de ces réponses 4. (x 1) 2 36 est : (x 7)(x + 5) (x 7) 2 (x + 5) 2 5. (2x 3) 2 (x + 1) 2 est : Exercice 10 (x 4)(3x 2) (x 4) 2 (3x 2)(x 2) Reconnaître différentes écritures d une même expression et choisir la forme la plus adaptée au travail demandé (forme réduite, factorisée,...) : On pose f(x) = (3x + 1) Développer et réduire f(x). 2. Factoriser f(x). 3. En choisissant pour f(x) la forme la plus adaptée : ( (a) Calculer f(0), f(2), f 1 ) et f ( 2 ). 3 3 (b) Résoudre l équationf(x) = 8. (c) Résoudre l équation f(x) = 0. (d) Résoudre l équation f(x) = 9. Hervé Gurgey 7 12 septembre 2011