Théorie mathématique de l infini

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1 Théorie mathématique de l infini Boban Velickovic Equipe de Logique Université de Paris Diderot Horizon Maths EADS, 29 novembre 2010

2 Outline 1 Introduction 2 Une brève histoire de l infini 3 Travaux de Cantor 4 Problèmes indécidables

4 Introduction L infini : sans conteste l une des notions les plus etranges, les plus fécondes voire les plus dangereuses que l humanité ait inventée. Dès l Antiquité, les philosophes ont vu qu en surgissaient d étranges paradoxes. Les cosmologistes aussi s interrogent sur l Univers, en particulier depuis la théorie de la relativité. L Univers est-il fini ou infini? Va-t-il durer infiniment? Les artistes y voyaient une source d inspiration inépuisable. Les théologiens y voyaient un attribut de Dieu et interdisaient même d en parler.

9 De nombreux mathématiciens refusaient d admettre l existence de l infini en mathématiques. Les développements récents leur donnent tort. Même si l on s intéresse aux objets finis, c-à-d nombres entiers, pour résoudre certaines questions on est obligé de se tourner vers l infini. L infini déchaine toutes les passions, querelles voire guerres fratricides entre les mathématiciens. Parfois, il mène à la folie ses propres inventeurs.

10 De nombreux mathématiciens refusaient d admettre l existence de l infini en mathématiques. Les développements récents leur donnent tort. Même si l on s intéresse aux objets finis, c-à-d nombres entiers, pour résoudre certaines questions on est obligé de se tourner vers l infini. L infini déchaine toutes les passions, querelles voire guerres fratricides entre les mathématiciens. Parfois, il mène à la folie ses propres inventeurs.

12 Une brève histoire de l infini Zenon de l Elée (né vers -495, et mort vers 430 av. J.-C.), disciple de Parménides. Posa une série de paradoxes concernant le mouvement et la nature de l infini.

13 Paradoxe d Achille et de la tortue La course entre Achille et la tortue. La tortue part avec 1km d avance. Achille court 10 fois plus vite que la tortue. Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin. Chaque fois que Achille passe par le point où se trouvait la tortue celle-ci, pendant ce temps, progresse... Achille ne rattrapera jamais la tortue!

19 Paradoxe d Achille et de la tortue Il a fallu environ 20 siècles à l humanité pour résoudre ce paradoxe!

20 Paradoxe d Achille et de la tortue Il a fallu environ 20 siècles à l humanité pour résoudre ce paradoxe!

21 Galileo Galilée Galilée ( ) remarqua qu il y a autant de nombres entiers que de nombres carrés car on peut les faire correspondre un à un (1 avec 1, 2 avec 4, 3 avec 9...) alors que les nombres entiers contiennent strictement les nombres carrés.

22 Galileo Galilée Galilée ( ) remarqua qu il y a autant de nombres entiers que de nombres carrés car on peut les faire correspondre un à un (1 avec 1, 2 avec 4, 3 avec 9...) alors que les nombres entiers contiennent strictement les nombres carrés.

23 Hôtel de Hilbert On imagine un hôtel ayant une infinité de chambres toutes occupées. Un client arrive ; on met le client 1 en chambre 2, le 2 en 3, etc. La chambre 1 devenue libre est donnée au nouveau client. Arrive une infinité de clients ; on met le client 1 en chambre 2, 2 en 4, 3 en 6, etc. Les chambres impaires deviennent libres pour les nouveaux venus.

28 Travaux de Cantor Dans la deuxième partie du XIXème siècle le mathématicien allemand Georg Cantor posa les bases de la théorie des ensembles. Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique.

29 Travaux de Cantor Dans la deuxième partie du XIXème siècle le mathématicien allemand Georg Cantor posa les bases de la théorie des ensembles. Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique.

30 Les travaux de Cantor ont provoqué beaucoup de polémiques.

31 Définition Soit X et Y ensembles. On écrit X Y s il existe une injection od X dans Y. On écrit X Y s il existe une bijection entre X et Y.

32 Théorème (Cantor - Bernstein) Supposons que X Y et Y X. Alors X Y. Proposition X est infini ssi X X {x}, pour n importe quel x X. Définition X est dénombrable si X N.

35 Théorème (Cantor) L ensemble Q des rationnels est dénombrable. Démonstration.

36 Remarque De façon similaire on montre que si A n est dénombrable, pour tout n, alors n A n est dénombrable aussi. Au fait, A n A, pour tout ensemble infini A et entier n 1. Cependant, il existe des ensembles qui ne sont pas dénombrable. Théorème (Cantor) L ensemble des réels R est non dénombrable.

39 On en déduit que x r n, pour tout n. Donc [0, 1] n est pas dénombrable. Démonstration. On considère une partie dénombrable de [0, 1] énumérée à l aide d une suite r = (r 1, r 2, r 3,...). Chaque terme de cette suite a une écriture décimale avec une infinité de chiffres après la virgule. On construit maintenant un nombre réel x dans [0, 1] en changeant le n-ième chiffre après la virgule de r n.

40 l Ecole française Les découvertes de Cantor ont permis à trois mathématiciens français, Emile Borel, Henri Lebesgue et René Baire de développer la théorie des fonctions, notamment l intégrale de Lebesgue, qui est la base de l analyse fonctionnelle moderne.

42 l Hypothèse du Continu Hypothèse du Continu (HC) Soit X un ensemble infini de réels. Alors soit X N soit X R. Cantor a travaillé sur ce problème jusqu à la fin de sa vie sans le résoudre. C était le premier problème sur la célèbre liste de 23 problèmes ouverts en mathématiques proposés par Hilbert au Congrès International de Mathématiques à Paris en 1900.

45 Crise de fondements Vers la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle les maths traversent une crise de fondements provoquée par la découverte de plusieurs paradoxes logiques. Paradoxe de Russell Soit X l ensembles de tous les ensembles x tel que x x. Alors X X si et seleument si X X! Paradoxe de Berry Soit n le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de vingt mots ou moins. On vient de décrire n par une expression de moins de vingt mots!

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49 Alors, les logiciens tentent de formaliser les mathématiques sur des bases solides. Parmi les systèmes proposés, la théorie de Zermelo Fraenkel avec l Axiome du Choix, ZFC, chronologiquement une des premières, reste la plus prisée au XXIe siècle. Les logiciens ont montré qu on peut développer toutes les mathématiques dans la théorie ZFC. Alors la question devient. Question La théorie ZFC décide-t-elle l Hypothèse du Continu?

52 Cohérence de l Hypothèse du Continu Théorème (Kurt Gödel, 1940) Si la théorie ZF est cohérente, alors la théorie ZFC + HC l est aussi.

53 Cohérence de l Hypothèse du Continu Théorème (Kurt Gödel, 1940) Si la théorie ZF est cohérente, alors la théorie ZFC + HC l est aussi.

54 Indépendence de l Hypothèse du Continu Théorème (Paul Cohen, 1963) Si la théorie ZF est cohérente, alors la théorie ZFC + HC l est aussi.

55 Indépendence de l Hypothèse du Continu Théorème (Paul Cohen, 1963) Si la théorie ZF est cohérente, alors la théorie ZFC + HC l est aussi.

56 La méthode de Cohen dites de forcing est particulièrement puissantes et a permis de montrer l indépendence de nombreux autres problèmes en mathématiques. La théorie ZFC est clairement insuffisante pour répondre à toutes les questions naturelles qu on peut poser. Pour rendre la situation encore plus désesperée on a un autre célèbre théorème de Gödel. Théorème (Théorème de l incompletude, Gödel, 1931) Toute théorie mathématiques T qui est cohérente, finiment présentable et suffisamment riche pour développer l arithmétique est incomplète, c-à-d : il existe un énoncé ϕ tel que T ne démontre ni ϕ ni ϕ.

59 Ordinaux Les ordinaux sont l extension naturelle des nombres entiers. Définition 1 Un bon ordre sur un ensemble X est un ordre total < sur X tel que tout sous ensembles non vide de X contienne un élément minimal. 2 Un ordinal est un ensemble α transitif (c-à-d : si x y α alors x α) bien ordonné par.

62 Nous avons : 0 =, 1 = {0} = { }, 2 = {0, 1} = {, { }}, 3 = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}},... ω = {0, 1, 2, 3,...}, ω + 1 = {0, 1, 2, 3,..., ω},... ω 2 = ω + ω = {0, 1, 2, 3,..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,...},... ω 2 = {0, 1,..., ω, ω + 1,..., ω 2, ω 2 + 1,..., ω n, ω n + 1,...},...

63 Définition 1 Le successeur d un ordinal α est l ordinal α + 1 = α {α}. 2 Un ordinal est limite s il est > 0 et n a pas de prédécesseur. Le premier ordinal limite est ω. Définition Un cardinal est un ordinal α tel que α β, pour tout β α Remarque 1 Tous les entiers sont des cardinaux, ainsi que ω. Les ordinaux ω + 1, ω + 2,..., ω 2,..., ne sont pas des cardinaux. 2 Le premier cardinal > ω est noté ω 1 ou ℵ 1, le second ω 2 ou ℵ 2, etc.

68 La Hiérarchie Cumulative On définit la hiérarchie cumulative. V 0 =, V ξ+1 = P(V ξ ), pour tout ordinal ξ, où P(X) est l ensemble des parties de X, V λ = ξ<λ V ξ, pour tout ordinal limite λ, V = ξ ORD V α. La théorie ZFC formalise les propriétés intuitives de V.

74 La Hiérarchie Cumulative

75 Programme de Gödel Programme de Gödel : chercher de nouveaux axiomes pour compléter les axiomes de ZFC. Intuitivement : tout ensemble qui peut exister existe déjà. Deux types de nouveaux axiomes : Axiomes de grands cardinaux : l univers de théorie des ensembles est grand. Axiomes de forcing : l univers de théorie des ensembles est large.

79 Les axiomes de grands cardinaux donnent une théorie très riche et satisfaisante, mais ils ne décident pas l Hypothèse du Continu. Les axiomes de forcing entrainent que l Hypothèse du Continu est fausse, en fait ils entrainent que R ℵ 2, c-à-d : le cardinal des réels est le second cardinal non dénombrable.

80 Les axiomes de grands cardinaux donnent une théorie très riche et satisfaisante, mais ils ne décident pas l Hypothèse du Continu. Les axiomes de forcing entrainent que l Hypothèse du Continu est fausse, en fait ils entrainent que R ℵ 2, c-à-d : le cardinal des réels est le second cardinal non dénombrable.

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82 Merci!