Feuille n 2 Culte du corps (ni)

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1 UT2J Département Mathématiques et Informatique Année Licence 3 MIASHS, parcours informatique Mathématiques pour l'informatique 1 (UE MIC0502V) Feuille n 2 Culte du corps (ni) emmanuel bureau GS256 hallouin@univ-tlse2.fr hallouin/eh-l3-miashs.html hallouin Exercice 1 : Congruences modulo n Pour x, y, n trois entiers, on dit que x est congru à y modulo n si n divise la diérence x y ; dans ce cas, on note : x y (mod n) 1. Montrer que pour tout m Z et tout n N, il existe r N tel que : m r (mod n) et 0 r < n 2. Montrer que cette relation est réexive, symétrique et transitive, c'est-à-dire : x x (mod n) x y (mod n) = y x (mod n) x y (mod n) et y z (mod n) = x z (mod n) où x, y, z sont des entiers et n un modulus non nul. 3. Vérier que cette relation est compatible avec l'addition et la multiplication ; autrement dit, étant donnés x, y, x, y, n Z, montrer que l'on a les implications suivantes : si x y (mod n) et si x y (mod n) alors x + x y + y (mod n) ; si x y (mod n) et si x y (mod n) alors xx yy (mod n). 4. À votre avis, si xy xz (mod n), a-t-on y z (mod n)? Exercice 2 : Whouah quel beau corps! Le but de cet exercice est de vous apprendre à être à l'aise avec votre corps F p. Vaste programme n'est-ce pas? 1. Histoire de se faire la main, dresser les tables d'addition et multiplication de Z/5Z puis Z/6Z. 2. C'est quoi un inversible de Z/nZ? a. Quels sont les inversibles de Z/4Z, Z/5Z, puis ceux de Z/6Z. b. Donner une condition nécessaire et susante pour que la classe de x modulo n soit inversible dans Z/nZ. c. Montrer que 16 est inversible dans Z/105Z et calculer son inverse. d. De façon générale, montrer que le calcul de l'inverse d'un élément x Z/nZ revient à calculer un pgcd et des coecients de Bezout. 3. Soit p un nombre premier. La coutume veut que l'anneau Z/pZ soit noté F p. a. Vérier que tous les éléments de F p sauf 0 (euh 0 pour être rigoureux) sont inversibles. On dit que F p est un corps et on note F p l'ensemble de ses éléments non nuls (c-a-d inversibles). b. Vérier que F p est un groupe multiplicatif. c. Question à zéro dollar : combien F p compte-t-il d'éléments? Et F p? 4. Terminons par des considérations de complexité ; compléter le tableau suivant en donnant les ordres de grandeur en fonction de n des coûts des opérations élémentaires de Z/nZ : Opération l'addition la soustraction la multiplication l'inverse la puissance e avec e 0 Complexité

2 Exercice 3 : Expériences amusantes? On se place alternativement dans les corps nis F 7 et F a. Pour chaque x appartenant à l'un de ces deux corps, calculer la suite des premières puissances de x ; ne lésinez pas et allez au moins jusqu'à la puissance 10 dans le premier cas et 20 dans le second. b. Pour chaque x appartenant à l'un de ces deux corps, calculer la suite des premiers carrés, toujours sans trop lésiner. 2. a. Qu'en déduisez-vous sur les suites (x n ) n 0 et (x 2n ) n 0? b. Identier les phénomènes communs et diérents dans les deux contextes. Exercice 4 : À vos ordres (multiplicatifs)! On considère p un nombre premier et on se place dans le corps ni F p. 1. Montrer que pour tout x F p il existe α N tel que x α = 1. Nous sommes donc en mesure de dénir : Dénition 1. L'ordre (multiplicatif ) d'un élément x F p est le plus petit α N tel que x α = a. Calculer les ordres des éléments de F p pour p {2, 3, 5, 7, 11, 13}. b. Que remarquez-vous (hormis le fait que vous en avez marre des maths)? 3. Montrer que l'ordre de x est aussi le plus petit entier α 1 tel que les éléments x 0, x 1,..., x α 1 sont deux-à-deux distincts. un élément d'ordre m. 4. Soit x F p a. Pour α N, montrer que x α = 1 si et seulement si m α. b. En déduire que x α = x β si et seulement si m α β. 5. Pour a N, étabir la jolie formule : ordre (x a ) = ordre(x) pgcd (a, ordre(x)). Exercice 5 : Brêve rencontre entre Lagrange et Fermat Plaçons nous comme toujours dans le groupe F p où p est un nombre premier. Il s'agit ici de prouver le célèbre : Théorème 2 (Lagrange). Pour tout x F p, on a xp 1 = 1, en conséquence de quoi l'ordre de tout élément divise (p 1). 1. Pour montrer la première assertion, on peut procéder comme suit : a. Pourquoi l'application ϕ x : y xy dénit-elle une bijection de F p sur lui même? b. À l'aide de ϕ x, faites le produit de tous les éléments de F p de deux façons diérentes et conclure. 2. En déduire la conséquence. 3. Mine de rien, vous venez de démontrer le petit théorème de Fermat (mazette!) dont voici l'énoncé : Théorème 3 (Petit théorème de Fermat). Si p est premier, on a x p x (mod p) pour tout x Z et x p 1 1 (mod p) pour tout x Z premier à p. En êtes-vous convaincus? Exercice 6 : C'est cyclique! Cet exercice est dédié à la preuve du résultat suivant : Théorème 4. Le groupe (multiplicatif ) F p est cyclique, c-a-d qu'il contient un élément d'ordre (p 1). Une façon de prouver ce résultat est de faire intervenir l'exposant du groupe F p : Dénition 5. L'exposant de F p, noté ω, est le plus petit entier tel que xω = 1 pour tout x F p. 1. Vérier que ω est aussi ppcm des ordres des éléments de F p puis que ω (p 1). 2. Montrer qu'il existe toujours un élément de F p d'ordre ω. 3. En déduire que F p est cyclique si et seulement si p 1 = ω. 4. Revenons à la preuve du théorème. Essayer de le montrer en faisant intervenir le polynôme X ω 1. 2

3 Exercice 7 : Soyons discrets Comme nous venons de le voir, F p contient des éléments d'ordre p 1. Dénition 6. Un élément de F p d'ordre p 1 s'appelle une racine primitive de l'unité. 1. Trouver les racines primitives de F p pour p {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Soit g une des racines primitives d'un corps ni F p. 2. Montrer que F p = {g, g 2,..., g p 1 }. 3. En déduire que pour tout h F p, il existe un unique α [1..p 1] tel que h = gα. Cet α s'appelle le logarithme discret de h en base g ; on le note souvent log g (h). 4. Calculer les logarithmes discrets des éléments de F 11 en base 2 puis ceux de F 7 en base Montrer que : g, h, h F p, log g (hh ) log g (h) + log g (h ) (mod p 1) ; cela ne vous rappelle rien? 6. Exprimer l'ordre (multiplicatif) d'un élément h F p en fonction de son logarithme en base g. Exercice 8 : Petit corps à corps 1. Calculer l'inverse de 20 dans F a. Quel est l'ordre de 2 dans F 17. b. Que vaut 6 2 dans F 17. c. En déduire (avec pour ainsi dire aucun calcul) l'ordre de 6 dans F Soit p un premier de la forme 2 α + 1 avec α 0 (par exemple 17 est un premier de cette forme) ; on désigne par g une racine primitive de l'unité de F p. a. Quelle est la liste des ordres des éléments de F p. b. À quelle condition sur β Z, l'élément g β est-il encore une racine primitive de l'unité dans F p. c. Combien F p compte-t-il de racines primitives de l'unité? Exercice 9 : Petit corps à corps 1. Calculer l'inverse de 30 dans F a. Quel est l'ordre de 15 dans F 17. b. Que vaut 7 2 dans F 17. c. En déduire (avec pour ainsi dire aucun calcul) l'ordre de 7 dans F Soit p un premier de la forme 2 α + 1 avec α 0 (par exemple 17 est un premier de cette forme) ; on désigne par g une racine primitive de l'unité de F p. a. Quelle est la liste des ordres des éléments de F p. b. À quelle condition sur β Z, l'élément g β est-il encore une racine primitive de l'unité dans F p? c. Combien F p compte-t-il de racines primitives de l'unité? Exercice 10 : À corps perdu 1. Calculer l'inverse de 30 dans F Plaçons nous dans F 23. a. Calculer 5 11 au moyen de la dichotomie. b. Quel est l'ordre de 5 dans F 23? En déduire celui de 2. c. Soit 1 α 22. Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que 5 α soit d'ordre 22. En déduire le nombre d'éléments d'ordre 22 dans F Soit p un nombre premier dont l'écriture binaire comporte 1024 bits. a. En négligeant les constantes, donner l'ordre de grandeur du nombre d'opérations bit-à-bit que requiert l'addition de deux éléments de F p. b. Même question en remplaçant l'addition par le produit. c. Combien de produits faut-il eectuer pour calculer la puissance 126-ème d'un élément de F p en utilisant l'exponentiation dichotomique? Expliquez. 3

4 Exercice 11 : Question de lisibilité L'entier 401 est premier et on se place dans le corps ni F Calculer l'inverse de Donner la liste des ordres des éléments de F Justier le fait que pour x F 401, on a toujours ordre(x) = ordre(x 1 ) (c'est un fait général qui n'a rien à voir avec le premier 401). Voici une table de puissances dans F 401 : i i i Par simple lecture de cette table : a. déterminer l'inverse de 153 = ; b. déterminer un élément d'ordre 4 et un d'ordre 25 ; c. déterminer une racine primitive de l'unité autre que 3 ; d. déterminer log 3 (102) et log 3 (39) ; e. sachant que le quotient de log 3 (11) par 20 vaut 9, déterminer ce logarithme. Exercice 12 : Petit corps à corps 1. Calculer l'inverse de 30 dans F a. Quel est l'ordre de 15 dans F 17. b. Que vaut 7 2 dans F 17. c. En déduire (avec pour ainsi dire aucun calcul) l'ordre de 7 dans F 17. d. Sans aucun calcul, déterminer 5 16 puis Justier. Exercice 13 : Petit corps à corps 1. Calculer l'inverse de 31 dans F Combien de carrés et de produits doivent être calculés pour élever un élément de F 101 à la puissance 51 grâce à la dichotomie? 3. On se place désormais dans F 19. a. Quel est l'ordre de 3. b. Déterminer l'ordre de 3 12 puis celui de Justier (très peu de calculs sont nécesaires). c. Donner la liste des ordres possibles dans F 19, puis fournir, pour chaque ordre, un élément qui a l'ordre correspondant. Exercice 14 : Petit corps à corps On considère le premier 107 et on se place dans F Calculer l'inverse de 30 dans F a. Quels sont les ordres possibles dans F 107?. b. Sachant que 2 53 = 106 et que 3 53 = 1, quels sont les ordres de 2 et 3 dans F 107? c. En déduire les ordres de 4 et 9 toujours dans F 107? d. Soit x F 107 \ {±1}. Montrer qu'il sut de calculer une seule puissance xα pour vérier que x est un élément d'ordre maximal dans F 107 ; quelle est cette puissance? 3. Combien de carrés et de produits doivent être eectués pour calculer x 45 pour x F 107 grâce à la dichotomie? Exercice 15 : À vos ordres! Plaçons nous dans F Quels sont les ordres possibles dans F Quel est l'ordre d'une racine primitive de l'unité dans F 23? 4

5 3. Étant donné g F 23, donner un critère qui permet de savoir si g est une racine primitive de l'unité. Indication faire intervenir les puissances g 2 et g Mettre en pratique le précédent critère pour trouver, parmi 2, 5, les éléments qui sont des racines primitives de l'unité. Exercice 16 : Question de lisibilité L'entier 257 est premier (puisque je vous le dis!) et on se place dans le corps ni F a. Donner la liste des ordres des éléments de F 257. b. Pourquoi sut-il de calculer des carrés pour déterminer l'ordre d'un élément de F 257? Combien de carrés, au maximum, sont-ils nécessaires pour déterminer un ordre? 2. Dans F 257, la classe 3 est d'ordre 256 ; voici un extrait de la table de ses puissances : i i Par simple lecture de cette table : a. déterminer log 3 (151) ; b. déterminer log 3 (233), sachant que 233 = ; c. déterminer l'inverse de 93 = ; d. déterminer x F 257 tel que log 9 (x) = 7 ; Exercice 17 : Toujours aussi discret Mr logarithme 1. Plaçons nous dans F 13 où 2 est une racine primitive de l'unité (ne pas le vérier). a. Combien l'ensemble {2 α, α N} compte-t-il d'éléments? b. Dresser la table des logarithmes en base 2 des éléments de F Plaçons nous dans F 101 où 2 est encore une racine primitive de l'unité (ne pas le vérier). a. Quelles sont les valeurs prises par la fonction x log 2 (x) quand x parcourt F 101? b. Que vaut log 2 (16) (surtout ne faites aucun calcul!). c. Sachant que 2 50 = 100 que vaut log 2 (100)? d. En déduire log 2 (10) et log 2 (99). Exercice 18 : Toujours aussi discret Mr logarithme 1. Plaçons nous dans F 11 où 7 est une racine primitive de l'unité (ne pas le vérier). Dresser la table des logarithmes en base 7 des éléments de F Dans F 13, où 6 est un racine primitive, calculer x = 6 9 grâce à la dichotomie. En déduire log 6 (x). 3. Plaçons nous dans F 211 où 2 est une racine primitive de l'unité (ne pas le vérier). a. Sachant que log 2 (10) = 133, déterminer log 2 (100) puis log 2 (20). b. Sachant que log 2 (50) = 55 quel est l'ordre de 50 dans F 211. Exercice 19 : Jeu de Log Oh! 1. Compléter la table des logarithmes en base 6 dans F 11 x log 6 (x) 2. Plaçons dans F 61 où 2 est une racine primitive de l'unité (ne pas le vérier). a. Donner un intervalle complet de valeurs prises par la fonction x log 2 (x) sur F 61. b. Sachant que log 2 (23) = 57 calculer log 2 (46). c. Sachant que log 2 (5) = 22 calculer log 2 (25), puis log 2 (3). d. Déterminer x F 61 tel que log 2 (x) = 7. Combien en existe-t'il? 5

6 Exercice 20 : Une bonne table On se place dans F Montrer que la classe 7 est une racine primitive de l'unité. 2. Compléter la table des logarithmes en base 7 dans F 11 x log 7 (x) 6