Première S2 Chapitre 22 : Repérage dans l'espace. page n

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1 Première S2 Chapitre 22 : Repérage dans l'espace. page n 1 La notion de vecteurs de l'espace est la même que celle dans le plan. D'ailleurs, à la naissance du calcul vectoriel, ces deux notions se confondent. Les vecteurs sont principalement utilisés par les physiciens et les ingénieurs surtout dans la seconde moitié du 19 è siècle et au début du 20 è. Les vecteurs sont des forces, des déplacements, des vitesses, des champs électriques, des champs magnétiques Astronome de formation, Hamilton a grandement contribué au développement du calcul vectoriel. C'est lui qui emploie pour la première fois en 1843 le terme vecteur qui vient du latin vector, qui " transporte ". D'autres scientifiques ont travaillé à la théorie du calcul vectoriel : Grassmann ( ), Maxwell ( ) Gibbs ( ), Heaviside ( ). 1 Repérage dans l'espace. On appelle repère de l'espace tout quadruplet ( O ; i, j, Åk ) constitué d'un point O de l'espace et de trois vecteurs Åi, Åj, et Åk non coplanaires. La droite passant par O et de vecteur directeur Åi est l'axe des abscisses, noté ( O ; Åi ) ou ( Ox ). La droite passant par O et de vecteur directeur Åj est l'axe des ordonnées, noté ( O ; Åj ) ou ( Oy ). La droite passant par O et de vecteur directeur Åk est l'axe des cotes, noté ( O ; Åk ) ou ( Oz ). On dit que le triplet ( Åi, Åj, Åk ) est une base de l'espace. Cas particulier : Un repère orthonormal ( O ; i, j, Åk ) est défini par un point d'origine et trois vecteurs orthogonaux deux à deux et de norme 1. Remarque : Notons I le point tel que ÄOI = Åi Notons J le point tel que ÄOJ = Åj Notons K le point tel que ÄOK = Åk Alors les plans ( OIJ ), ( OJK ) et ( OIK ) sont appelés les plans de coordonnées ou plans de bases. Tout vecteur Åu admet dans ce repère trois coordonnées x ; y ; et z telles que Åu = x Åi + y Åj + z Åk. On note Åu ( x ; y ; z ). Les coordonnées d'un point de l'espace sont appelées abscisse, ordonnée, et cote. Exemple 1 : tracé d'un tétraèdre et d'un repère quelconque. Exemple 2 : tracé d'un pavé droit et d'un repère orthogonal. Exemple 3 : tracé d'un cube et d'un repère orthonormé.

2 Première S2 Chapitre 22 : Repérage dans l'espace. page n 2 Tous les résultats de la géométrie plane concernant les coordonnées s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisième coordonnée. Dans un repère ( O ; i, j, Åk ) donné, si Åu et Åv ont pour coordonnées ( x ; y ; z ) et ( x' ; y' ; z ' ) alors La somme des deux vecteurs est : voir feuille annexe. Le produit d'un vecteur par un réel k est : voir feuille annexe. Les coordonnées d'un point M sont : voir feuille annexe. Åu = Å0 x = y = z = 0 L'égalité de deux vecteurs se traduit par : voir feuille annexe. Les coordonnées d'un vecteur ÄAB sont : voir feuille annexe. Les coordonnées du milieu I du segment [ AB ] sont : voir feuille annexe. La norme d'un vecteur Åu dans un repère orthonormé est : voir feuille annexe. La distance entre deux points dans un repère orthonormé s'écrit : voir feuille annexe. E1 Savoir utiliser les coordonnées. P 257 n 30 et Equations cartésiennes de plans. On appelle équation cartésienne d'un ensemble E de points de l'espace une relation R vérifiée par les coordonnées ( x ; y ; z ) de tous les points de cet ensemble et seulement de ces points. Si un point M appartient à E alors ses coordonnées vérifient la relation R. Si les coordonnées d'un point M vérifient la relation R alors M appartient à l'ensemble E. Une équation du plan passant par le point C ( 0 ; 0 ; c ) et parallèle au plan ( x O y ) est z = c. Une équation du plan passant par le point B ( 0 ; b ; 0 ) et parallèle au plan ( x O z ) est y = b. Une équation du plan passant par le point A ( a ; 0 ; 0 ) et parallèle au plan ( y O z ) est x = a. Remarques : z = 0 est une équation cartésienne du plan ( OIJ ). y = 0 est une équation cartésienne du plan ( OIK ). x = 0 est une équation cartésienne du plan ( OJK ). Démonstrations : voir feuille annexe.

3 Première S2 Chapitre 22 : Repérage dans l'espace. page n 3 E2 Savoir travailler avec des équations cartésiennes de plans. N 1 Soit P le plan d'équation cartésienne y = 5. 1 ) Donner les coordonnées de trois points appartenant à P. 2 ) Combien existe-t-il de points appartenant à P : a ) dont l'abscisse est égale à -2? b ) dont l'ordonnée est égale à 3? c ) dont la cote est égale à 0? 3 ) Expliquer pourquoi les points du plan P dont l'abscisse est égale à 4 sont alignés. N 2 Soit ( O ; Åi, Åj, Åk ) un repère orthonormal de l'espace. Soit A le point de l'axe ( Ox ) tel que OA = 2. Soit C le point de l'axe ( Oy ) tel que OC = 5. Soit G le point de l'axe ( Oz ) tel que OG = 3. Soit OABCGDEF le parallélépipède rectangle défini à l'aide des points ci dessus. 1 ) Déterminer les coordonnées de chaque sommet. 2 ) Déterminer une équation cartésienne de chacun des plans contenant une face de ce parallélépipède. 3 ) a ) Quelle est l'intersection des plans ( ABE ) et ( DAO )? b ) En déduire un système d'équations cartésiennes caractérisant la droite ( AD ). 4 ) Déterminer de même un système d'équations cartésiennes caractérisant la droite ( DE ) puis la droite ( BC ). 3 Equation cartésienne d'une sphère. Soit O un point de l'espace. La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R. Soit O un point de l'espace. Une équation cartésienne de la sphère de centre O et de rayon R est : x² + y² + z² = R² E3 Savoir déterminer une équation d'une sphère. Soit S la sphère de centre O et de rayon 3 et soit B la boule de centre O et de rayon 3. 1 ) Déterminer une équation cartésienne de S. 2 ) Pour chacun des points A, B, C et D donnés ci dessous, indiquer s'il appartient à la sphère S et si ce n'est pas le cas, préciser s'il appartient à la boule B. A ( - 1 ; 2 ; - 2 ) B ( 1,5 ; 0,5, -0,2 ) C ( 5 ; 2 ; 0 ) D ( - 4 ; 2/3 ; 2 ). 3 ) Soit a un réel et E le point de coordonnées ( 3 ; 2 ; a ). Déterminer l'ensemble des réels a tels que : a ) le point E appartient à la sphère S. b ) le point E appartient à la boule B. c ) le point E n'appartient pas à la boule B.

4 Première S2 Chapitre 22 : Repérage dans l'espace. page n 4 4 Equation cartésienne d'un cylindre de révolution. Un cylindre de révolution d'axe D est une surface engendrée par la rotation d'une droite parallèle à l'axe D autour de cette droite. Cette droite est appelée génératrice du cylindre. La distance entre l'axe et la génératrice est le rayon du cylindre. Dessin : voir feuille annexe. ( 1 ) Une équation cartésienne d'un cylindre d'axe ( Oz ) et de rayon R est : x² + y² = R². ( 2 ) Une équation cartésienne d'un cylindre d'axe ( Oy ) et de rayon R est : x² + z² = R². ( 3 ) Une équation cartésienne d'un cylindre d'axe ( Ox ) et de rayon R est : y² + z² = R². Attention : dans l'espace, une relation de la forme x² + y² = R² n'est pas une équation cartésienne d'un cercle. E4 Savoir déterminer une équation d'un cylindre de révolution. P 257 n 35. Autre exercice. 1 ) a ) Soit C 1 le cylindre d'équation cartésienne : x² + z² = 6. Déterminer l'axe de révolution et le rayon de C 1. 1 ) b ) Vérifier que les points A ( -2 ; 8 ; 2 ) et B ( 5 ; 0 ; - 1 ) appartiennent au cylindre C 1. 2 ) Déterminer une équation cartésienne du cylindre C 2 d'axe ( Ox ) et passant par le point A. 3 ) Déterminer une équation cartésienne du cylindre C 3 d'axe ( Oz ) et passant par le point B. 5 Equation cartésienne d'un cône de révolution. Soit une droite passant par l'origine du repère. Un cône de révolution de sommet O et d'axe est une surface engendrée par la rotation, autour de l'axe, d'une droite passant par O et formant un angle aigu θ avec l'axe ( 0 < θ < 90 ). Cette droite est appelée génératrice du cône. Toute droite passant par O et formant en angle aigu θ avec l'axe du cône est aussi une génératrice du cône.

5 Première S2 Chapitre 22 : Repérage dans l'espace. page n 5 ( 1 ) Une équation cartésienne d'un cône de sommet O et d'axe ( Oz ) est : x² + y² = z² tan² θ ( 2 ) Une équation cartésienne d'un cône de sommet O et d'axe ( Oy ) est : x² + z² = y² tan² θ ( 3 ) Une équation cartésienne d'un cône de sommet O et d'axe ( Ox ) est : y² + z² = x² tan² θ. E5 Savoir déterminer des équations cartésiennes de cônes de révolution. 1 ) Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( O ; i, j, Åk ), on considère le point A ( 6 ; - 4 ; 2 ). Déterminer une équation cartésienne du cône de révolution K de sommet O et d'axe ( Oz ), qui passe par le point A. On précisera l'angle formé par l'axe et une génératrice de ce cône. 2 ) Soit K 1 le cône de sommet O dont les génératrices forment un angle θ 1 = π 3 avec l'axe ( Ox ). A ) Déterminer une équation du cône K 1. B ) Vérifier que les points A' ( -2 ; 3 ; 3 ) et B ( 6 ; 2 ; 4 ) appartiennent au cône K 1. 3 ) Déterminer une équation cartésienne du cône K 2 de sommet O et d'axe ( Oz ) et passant par le point A'. 4 ) Déterminer une équation cartésienne du cône K 3 de sommet O et d'axe ( Oy ) et passant par le point B. 5 ) a ) On considère le point A'' ( 1 ; 0 ; 1 ). Déterminer une équation du cône de révolution K de sommet O et d'axe ( Oz ) passant par le point A''. b ) Déterminer l'intersection du cône K et de la sphère S de centre O et passant par le point A''. 6 ) Le cylindre C a pour axe ( Oz ) et son cercle de base a pour rayon 3. Le cône K a pour axe ( Ox ) et ses génératrices font un angle de π avec ( Ox ) de sommet O. 3 Y a t il des points communs à C et à K situés dans le plan d'équation z = 1? E6 Exercice 4 du sujet du bac 2004 aux Antilles Guyane sur 5 points à faire en 40 min On considère le tétraèdre ABCD ; on note I le milieu du segment [ AB ] et J celui de [ CD ]. 1. a. Soit G 1 le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; - 1 ), ( D ; 1 ) }. Exprimer ÄIG 1 en fonction de ÄCD. Placer I, J et G 1 sur une figure. ( 0,75 point ). b. Soit G 2 le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( D ; 2 ) }. Démontrer que G 2 est le milieu du segment [ ID ]. Placer G 2. ( 0,5 point ). c. Démontrer que IG 1 DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G 2 par rapport aux points G 1 et J. ( 0,75 point ). 2. Soit m un réel. On note G m le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; m 2 ), ( D ; m ) }. a. Préciser l'ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentre G m existe. ( 0,5 point ). Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l'ensemble E. b. Démontrer que G m appartient au plan ( ICD ). ( 0,75 point ) c. Démontrer que le vecteur m ÄJG m est constant. ( 0,75 point ). d. En déduire l'ensemble F des points G m lorsque m décrit l'ensemble E. ( 1 point ).

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