Mes exercices "originaux"

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1 Mes exercices "originaux" Exercice : onnaissant ses 5 premières tables de multiplication, on peut retrouver les autres en procédant comme dans l exemple suivant : retrouvons le résultat de 6 8 sur la main gauche, on indique 6 5 = 1 sur la main droite, on indique 8 5 = 3 Le nombre de doigts tendus indiquent le nombre de dizaines : = 4 dizaines La multiplication des doigts pliés indiquent les unités : 4 2 = 8 On retrouve bien que 6 8 = 48 a ) Retrouver le résultat de 7 9 en procédant de la même manière (préciser les calculs qui permettent de trouver les dizaines et les unités). b ) Prouver qu on a l égalité suivante : x y = 10 ( x 5 ) + 10 ( y 5 ) + ( 10 x ) ( 10 y ) c ) On considère deux nombres entiers x et y compris entre 5 et 10. En trouvant à quoi correspondent les différentes parties de l égalité ci-dessus, expliquer pourquoi cette égalité permet de comprendre le fonctionnement de ce procédé. orrection : a ) pour trouver les dizaines, on fait = 6 et pour trouver les unités on fait 3 1 = 3 On retrouve bien que 7 9 = 63 b ) On a : 10 ( x 5 ) + 10 ( y 5 ) + ( 10 x ) ( 10 y ) = 10 x y y 10 x + x y = x y c ) x y : c est le résultat qu on cherche à retrouver x 5 indique le nombre de doigts tendus sur la main gauche y 5 indique le nombre de doigts tendus sur la main droite 10 x indique le nombre de doigts pliés sur la main gauche 10 y indique le nombre de doigts pliés sur la main droite Le procédé demande de faire : 10 ( x 5 ) + 10 ( y 5 ) + ( 10 x ) ( 10 y ) Le résultat correspond bien x y d après l égalité prouvée dans la question précédente.

2 Exercice 6 : 7 points Un cycliste descend la pente [] schématisée sur la figure ci-dessous où : A = H = 300 m, D = 375 m, AH = 100 m et A = Prouve que = 500 m. 2. Prouve que les droites (A) et (HD) sont parallèles. 3. Le cycliste s arrête au point D sur le chemin. alculer la hauteur DH qu il lui reste à descendre. 300 m D 375 m 4. Le dénivelé d une pente se calcule avec la formule : distance verticale parcourue dénivelé = et on donne le résultat en pourcentage. distance horizontale parcourue alculer le dénivelé de la pente [] A 100 m H 300 m orrection de l exercice 6 : 1. Dans le triangle A rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : ² = A² + A² On a A = = 400 m ² = 400² + 300² = donc = = 500 m. La longueur est égale à 500 m. M Dans le triangle A, on sait que : o D est un point de () et H est un point de (A), o D = et A H = = 4 3 o = et = o Les produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales : D = A H D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut dire que les droites (A) et (HD) sont parallèles. 3. Dans le triangle A, on sait que : o D est un point de () et H est un point de (A), o (A) // (HD). D'après le théorème de Thalès, on a : D = A H = A DH Ainsi, DH 300 = donc DH = = 225 m Il lui reste à descendre 225 m. 4. Le dénivelé de la pente [] est de = 3 = 0,75 = 75%. M2.2 4

3 Exercice 7 : 6 points 1. A Etretat en Normandie, Franck, qui a le compas dans l œil, observe du haut de la falaise : sa hauteur est de 85 m et à 12 h précise, il arrive à mesurer par des moyens dont lui seul a le secret que les rayons du soleil font un angle avec la falaise de 12 comme l illustre la figure 1 ci-dessous. alculer la longueur A au mètre près. 2. Au même moment à 1000 km plus à l Est, harlotte, qui a la bougeotte, est au pied de la Fernsehturn (tour le la TV) à erlin : incroyable, sa hauteur est de 365 m mais son ombre ne fait que 19 m comme l illustre la figure 2 ci-dessous. alculer la mesure de l angle GEF et donner le résultat au degré près. 3. Plus proche de nous, lara voudrait trouver une formule qui permettrait de calculer la longueur d un arc de cercle A de rayon r et d angle 9. En considérant la figure 3, aide lara en recopiant le tableau ci-dessous puis en le complétant avec les bonnes formules : x longueur de l arc A 2 π r Figure 1 A Figure 2 E Figure 3 12 A? 85 m 365 m O x r A 4. On considère la figure ci-dessous où les droites (A) et (GE) sont parallèles et l arc F fait 1000 km. a ) Prouve que AIG = 12 b ) En déduire que y = 9 G 19 m F c ) En utilisant la formule 1000 = π r, calcule le rayon r de la Terre au kilomètre près. 20 A D 12 I G 3 E F y r O Terre

4 orrection de l exercice 7 : 1. Dans le triangle A rectangle en, on utilise la trigonométrie : cos ( A ) = A 85 donc cos ( 12 ) = A A donc A = 85 cos ( 12 ) 87 m La valeur de A au mètre près est 87 m. 2. Dans le triangle GEF rectangle en F, on utilise la trigonométrie : tan ( E ) = GF EF = donc E = arctan ( ) 3 La mesure de l'angle au degré près est x longueur de l'arc AM2.1 2πr πr πr : 2 πr : a) On sait que : - (A) // (GE), - les angles A et IG et sont alternes-internes. Propriété : Si deux droites parallèles forment avec une même droite deux angles alternes-internes, alors ces deux angles ont la même mesure. onclusion : A = IG = 12 b) On a : GIO = = 168 Dans le triangle OIE, la somme des mesures des angles est égale à 180. M2.3 donc y = 180 ( ) = 9 π r c) on a : = 20 donc = π r donc r km 20 π π Le rayon de la Terre est d environ km.

5 Exercice 5 (5 points) : Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en mètre. On tire un boulet de canon avec un angle de tir de 30 comme l illustre la figure suivante : t secondes après le tir, le boulet se trouve à une hauteur H, et H se calcule grâce à la formule suivante H = 100 t 25 t ² 1. Quelle est l altitude maximale du boulet sachant qu il est au plus haut 2 s après le tir? 2. Factoriser H 3. Au bout de combien de temps le boulet retombe t-il sur par terre (c est-à-dire H = 0)? 4. La vitesse initiale du boulet était de v = 200 m/s. La formule qui permet de calculer la distance en mètre à laquelle le boulet a atterri est : D = v ² g sin ( 2 a ) où g 9,81 ; a est l angle de tir et v est la vitesse initiale. alculer cette distance et donner le résultat au mètre près. orrection de l exercice 5 : 1 ) Pour t = 2, H ( 2 ) = ² = = 100 L'altitude maximale du boulet est 100m. 2 ) H = 100 t 25 t² = t ( t ) 3 ) On cherche t tel que H = 0, donc : t ( t ) = 0 Or un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Donc t = 0 ou t = 0 donc t = 0 ou t = 4 Le boulet retombe par terre au bout de 4 secondes. 4 ) Le boulet atterrit à la distance D = v ² g sin ( 2 a ) 200² sin ( 2 30 ) m 9,81

6 Problème (12 points) Les deux parties sont indépendantes. On peut donc faire la partie 2 sans avoir fait la partie 1. Partie 1 : pression dans l eau (6 points) Plus on descend profond sous l eau, plus la pression est grande. La fonction f( x ) = 1 + 0,1 x permet de calculer la pression (en bar) à la profondeur x (en mètre). 1 ) Quelle est la pression à la surface de l eau (0 m de profondeur)? 2 ) Quelle est la pression à 50 m de profondeur? 3 ) Faire la représentation graphique de la fonction f sur la feuille et en respectant les consignes suivantes : en abscisse : 1 carreau pour 10 m avec des valeurs allant de 0 m à 110 m en ordonnée : 1 carreau pour 1 bar avec des valeurs allant de 0 bar à 12 bars 4 ) En utilisant la représentation graphique faite à la question 3, trouve en l indiquant par des lignes en pointillés : a ) Quelle est la pression à 100 m? b ) A quelle profondeur la pression est-elle de 7 bars? 5 ) Vérifier les résultats trouvés aux questions 4 ) a) et 4 ) b) en faisant des calculs. Partie 2 : pression dans l air (6 points) Plus l'altitude est grande, moins il y a de pression. Voici la représentation graphique de la pression en fonction de l altitude : pression en bar 0,5 0, altitude en mètre 1 ) A l aide de cette représentation graphique, trouver quelle est la pression au bord de la mer (altitude 0). 2 ) Le Mont lanc culmine à environ 4800 m. A l aide de cette représentation graphique, trouver quelle est la pression au sommet du Mont lanc. 3 ) A l aide de cette représentation graphique, trouver à quelle altitude la pression est de 0,6 bar. 4 ) Il est bien connu que l eau bout à 100. ependant, ceci n est réellement vrai qu au bord de la mer et il existe des endroits où l eau bout à 80. En fait, la température d ébullition de l eau dépend de la pression environnante et donc de l altitude. Voici une formule qui permet de calculer la pression P à laquelle l eau bout à la température t. P( t ) = 4 t 100 a ) alculer la pression pour laquelle l eau bout à t = 100. A l aide de la représentation graphique ci-dessus, trouver à quelle altitude correspond cette pression. b ) A quelle pression l eau bout-elle à t = 80? A l aide de la représentation graphique ci-dessus, trouver à quelle altitude correspond cette pression.

7 y x orrection du problème Première partie 1 ) La pression à la surface est f ( 0 ) = 1 + 0,1 0 = 1 bar 2 ) La pression à 50 m de profondeur est f ( 50 ) = 1 + 0,1 50 = = 6 bar 3 ) f est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite. x 0 50 pression y = f ( x ) ) a ) A 100 m de profondeur, on lit sur la représentation graphique 10 que la pression est de 11 bars. b ) La profondeur correspondant à une pression de 7 bars est 60 m. 5 ) On a bien : f ( 100 ) = 1 + 0,1 100 = = 11 7 et f ( 60 ) = 1 + 0,1 60 = = 7 bars 5 Deuxième partie 1 ) Au bord de la mer, la pression atmosphérique est de 1 bar. 2 ) En haut du Mont lanc, la pression atmosphérique est de 0,65 bar. 3 ) La pression atmosphérique est de 0,6 bar à 5500 m d altitude. 1 4 ) a ) La pression pour laquelle l eau bout à t = 100 est : P ( 100 ) = ( ) 4 = 1 4 = 1 bar. eci correspond bien 0 m d altitude donc au bord de la mer. b ) La pression pour laquelle l eau bout à t = 80 est : P ( 80 ) = ( 80 ette pression correspond à une altitude d environ m ) 4 = 0,8 4 = 0,4096 0,41 bar. profondeur

8 Problème (12 points) L Indice de Masse orporel (IM) est une grandeur qui informe sur la "grosseur" d une personne. La formule qui permet de calculer l IM est la suivante : IM = m où m est la masse de la personne en kilogrammes et t est la taille de la personne en mètres. t ² 52 Exemple : Olivier pèse 52 kg et mesure 1,60 m donc son IM est de 1,60 ² 20 Partie 1 1 ) Lucie mesure 1,50 m et pèse 50 kg. alculer son IM et donner le résultat arrondi à 0,1 près. 2 ) Voici la représentation graphique de l IM de David de 0 à 18 ans. IM a ) Quel est son IM à 1 an? b ) A quel âge a-t-il une IM égale à 20? c ) A 12,5 ans, David mesure 1,46 m. Quel est alors son IM? ombien pèse t-il alors à 0,1 kg près? d ) A 5 ans, David pèse 18 kg. Quel est son IM? ombien mesure t-il alors au centimètre près? ans Partie 2 On considère les fonctions suivantes : f ( x ) = x + 7 g ( x ) = 0,25 x + 14 h : x ẃ 0,5 x ) a ) Quel est l antécédent de 16 par la fonction f? b ) Quelles sont les images de 0 et de 16 par les fonctions f, g eαt h? 2 ) En utilisant les valeurs trouvées dans la dernière question, trace les représentations graphiques des fonctions f, g et h dans un même repère ayant pour unité «1 carreau = 1 unité» (pour les abscisses et les ordonnées) et pour des abscisses allant de 0 à ) L IM de Guillaume entre x = 8 ans et x = 17 ans est donné par la fonction g. Sur cette même période, les fonctions f et h sont les limites de surpoids pour f et de sous poids pour h. a ) En observant le graphique fait dans la question 2, trouve approximativement les périodes de surpoids et de sous poids de Guillaume. b ) Réponds à la question précédente par des calculs et en résolvant des inéquations.

9 y x orrection du problème (12 points) Partie ) L IM de Lucie est de 1,5² 22,2 a ) L IM de David à 1 an est de 18. b ) L IM de David est égale à 20 lorsque David a 15,5 ans c ) A 12,5 ans, l IM de David est de IM = 18,5. m Si m est alors sa masse, on a : 18,5 = 1,46² d où m = 18,5 1,46 ² 39,4 kg 15 d ) A 5 ans, l IM de David est de IM = 15,5. Si t est alors sa taille, on a : 15,5 = 18 t ² D où t ² = 18 15,5 et donc t = 18 15,5 1,08 m Partie 2 1 ) a ) f ( x ) = 16 donc x + 7 = 16 donc x = 9 : l antécédent de 16 est donc 9 b ) on a : f ( 16 ) = = 23 g ( 16 ) = 0, = 18 h ( 16 ) = 0, = 18 D où le tableau de valeurs suivant : x 0 16 f ( x ) 7 23 g ( x ) h ( x ) ) voir le graphique. 3 ) L IM de Guillaume entre x = 8 ans et x = 17 ans est donné par la fonction g. Sur cette même période, les fonctions f et g sont les limites de surpoids pour f et de sous poids pour h. a ) g ( x ) est plus grand que f ( x ) pour x < 9,5 : donc Guillaume est en surpoids avant 9,5 ans. g ( x ) est plus petite que h ( x ) pour x > 18 : donc Guillaume est en sous poids après 16 ans. b ) On cherche les années x pour lesquelles : g ( x ) > f ( x ) est-à-dire : 0,25 x + 14 > x + 7 donc 0,75 x > 7 donc x < donc approximativement x < 9, , On cherche les années x pour lesquelles : g ( x ) < h ( x ) est-à-dire : 0,25 x + 14 < 0,5 x + 10 donc 0,25 x < 4 donc x > 4 donc x > 16 0,25

10 Problème (12 points) Au billard américain ou anglais, le but est de mettre les "boules de couleur" dans des trous en les frappant avec une autre boule blanche. Lorsqu une "boule de couleur" est frappée par la boule blanche, la "boule de couleur" part dans la direction opposée à celle de l impact fait par la boule blanche, comme le montre la figure ci-dessous : trajectoire de la "boule de couleur" après I ' boule blanche en au moment de l impact impact I Partie 1 : Recherche de l angle de tir Sur cette figure, la boule blanche avant le tir est en puis est en au moment de l impact avec la "boule de couleur" en. Le but de cette partie est de déterminer la mesure de l angle P pour que la "boule de couleur" aille dans le trou T. Les boules sont disposées de la façon suivante : TS = 40 cm ; S = 30 cm ; TQ = 85 cm et Q = 70 cm Le rayon des boules est de r = 2,5 cm. 1 ) Démontrer que T = 50 cm puis que T = 55 cm. 2 ) Démontrer que les droites (S) et (R ) sont parallèles. 3 ) alculer les longueurs TR et R. 4 ) Démontrer que P = 41 cm et que P = 37 cm. 5 ) alculer la mesure de l angle P arrondie au degré près. 85 T 40 S R 30 boule blanche en avant ' Partie 2 : Recherche d une position Dans cette partie, on considère cette figure où : TS = 4 x cm ; S = 3 x cm ; T = 5 x cm, où x est un nombre positif. TQ = 85 cm ; Q = 70 cm ; P = 45 Nous savons aussi que P = RQ et R = QP. (Le rayon des boules est toujours de r = 2,5 cm) T Q 70 P Le but est de trouver le nombre x pour qu avec un tir d angle P = 45, la "boule de couleur" aille dans le trou T. 1 ) Démontrer que le triangle ST est rectangle en S. Les droites (S) et (R ) sont donc parallèles et T = 5 x + 5 cm x S R 3 x 5 x ' 2 ) Démontrer que TR = 4 x + 4 cm et que R = 3 x + 3 cm. 3 ) Démontrer que P = 81 4 x cm et que P = 67 3 x cm. 4 ) Démontrer que le triangle P est isocèle et en déduire que P = P. 5 ) En résolvant une équation, trouve la valeur de x pour laquelle la "boule de couleur" en ira dans le trou T. Q 70 P 45

11 orrection du problème (12 points) Partie 1 : Recherche de l angle de tir (7 points : questions 1 et 5 sur 1,5 ; 2 et 4 sur 1 ; 3 sur 2) 1 ) J applique le théorème de Pythagore dans le triangle TS rectangle en S. On a T² = ST² + S² = 40² + 30² = 250 donc T = 250 = 50 cm. Et on a aussi : T = T + 2 r = ,5 = 55 cm. 2 ) Les droites (S) et (R ) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (TQ). 3 ) Les droites (S) et (R ) sont parallèles, donc d après le théorème de Thalès dans le triangle TR on a : TR TS = T T = R TR donc S 40 = donc TR = = 44 cm et R = donc R = = 33 cm ) QR P est un rectangle car il a trois angles droits. Les cotés opposés de ce rectangle ayant la même longueur, on a : P = QR = TQ TR = = 41 cm et QP = R = 33 cm donc P = Q QP = = 37 cm. 5 ) Dans le triangle P rectangle en P, on a : tan( ) = P P = donc P = tan 1 ( ) 48. Partie 2 : Recherche d une position (5 points : 1 point par question) 1 ) T² = (5 x)² = 25 x ² et ST² + S² = (4x)² + (3x)² = 16 x ² + 9 x ² = 25 x ² donc T² = ST² + S² Le triangle ST est donc rectangle en S d après le théorème réciproque de Pythagore. Les droites (S) et (R ) sont donc parallèles et T = 5 x + 5 cm. 2 ) Les droites (S) et (R ) sont parallèles, donc d après le théorème de Thalès dans le triangle TR on a : TR TS = T T = R TR donc S 4 x = 5 x + 5 donc TR = 4 x ( 5 x + 5 ) 20 x + 20 = = 20 x 5 x 5 x = 4 x + 4 cm De même R 3 x = 5 x + 5 donc R = 3 x ( 5 x + 5 ) = 3 x + 3 cm 5 x 5 x 3 ) On a : P = QR = TQ TR = 85 ( 4 x + 4 ) = 85 4 x 4 = 81 4 x cm et P = Q QP = 70 ( 3 x + 3 ) = 70 3 x 3 = 67 3 x cm. 4 ) Dans le triangle P, on a : P = 180 ( ) = 45. Donc P = P = 45 : le triangle P est donc isocèle en P. D où P = P. 5 ) Puisque P = 67 3 x et P = 81 4 x et que P = P alors on a : 67 3 x = 81 4 x donc 67 3 x + 4 x 67 = 81 4 x + 4 x 67 donc x = 14. Pour que le boule aille dans le trou, il faut qu elle soit placée telle que : TS = 4 x = 4 14 = 56 cm et S = 3 x = 3 14 = 42 cm.

12 Exercice 7 (8,5 points) : Une voiture est équipée de pneus sur lesquels sont inscrits : 205/55 D 16 91H es informations désignent (voir l illustration) dans l ordre : largeur (en mm) : 205 hauteur (en % de la largeur) : 55 lettre indiquant le type de structure : D diamètre (en pouce*) : 16 charge : 91 lettre indiquant correspondant à une vitesse : H a ) alculer la hauteur h en centimètre de ces pneus. b ) alculer le diamètre d de ces pneus en centimètre. c ) En déduire que le rayon de la roue est R = 31,595 cm. d ) En déduire que le périmètre P de cette roue vaut P 198,5 cm. e ) Prouver que lorsque les roues de la voiture font 14 tours par seconde alors la vitesse de la voiture est d environ 100 km/h. Lorsqu on roule, les pneus s usent et leurs hauteurs diminuent. La zone d usure fait 7,6 mm et le pneu est hors d usage lorsque cette zone devient inférieure à 1,6 mm. f ) Prouver que le rayon de la roue lorsque le pneu est usé est r = 30,995 cm et que son périmètre est alors p 194,7 cm. g ) alculer la vitesse de la voiture lorsque ses roues sont usées et qu elles tournent à 14 tours par seconde. *On donne : 1 pouce = 2,54 cm largeur hauteur diamètre orrection de l exercice 7 : 7,5 points : ,5 a ) 55% de 205 mm fait h = 0, = 112,75 mm = 11,275 cm (1) b ) le diamètre d vaut d = 16 2,54 = 40,64 cm c ) le rayon r des roues est : R = h + d = 11,275 + = 31,595 cm 2 d ) le périmètre p vaut : P = 2 π R = 2 π 31, ,5 cm e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 P , cm donc la vitesse de la voiture est : v = d t = cm/s cm/h cm/h 100 km/h 1 f ) La différence de hauteur entre le pneu neuf et le pneu usé est 7,6,16 = 6 mm = 0,6 cm On a donc r = R 0,6 = 31,595 0,6 = 30,995 cm et p = 2 π r = 2 π 30, ,7 cm e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 p , cm donc la vitesse de la voiture est : v = d t = cm/s cm/h cm/h 98 km/h 1

13 Exercice 7 : (5 points) Le trapèze AD ci-dessous est un brouillon. A D 4 3,6 E 9 5 (AD) // () AE = 3,6 cm DE = 4 cm E = 9 cm = 5 cm Refaire cette figure en vraies grandeurs en laissant les traits de construction et en écrivant d éventuels calculs qui vous auraient permis sa réalisation. orrection de l exercice 7 : (5 points : 2,5 points le calcul de E ou AD, 2,5 points la construction) Il suffit de calculer E ou AD pour pouvoir faire cette figure : J utilise le théorème de Thalès. On a : E [A] E [D] (AD)//() donc AD = 5 3,6 9 donc EA E = ED E = AD d où E 4 = 9 3,6 = 2 cm donc E = 4 9 3,6 AD = 10 cm et 5 = 3,6 9