Théorie de Fourier. Guillaume Obozinski. Traitement de l information et vision par ordinateur Ecole des Ponts. LIGM/Ecole des Ponts - ParisTech

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1 Théorie de Fourier Guillaume Obozinski LIGM/Ecole des Ponts - ParisTech Traitement de l information et vision par ordinateur Ecole des Ponts

2 Une image

3 Image numérique Une image numérique est une une application f : Ω C, où Ω R 2 est le domaine de définition de l image et C est l ensemble de couleurs possibles. On s intéressera dans ce cours au cas Ω = [0, a] [0, b] d un domaine rectangulaire. Pour une image couleur, l ensemble C est [0, 1[ 3. Pour une image monochrome, C = [0, 1[. Une image couleur s obtient donc comme une superposition de trois images monochromes.

4 Discrétisation D un point de vu pratique et informatique, il est nécessaire de remplacer la fonction f qui prend une infinité de valeurs en un nombre infini de points, par une fonction définie sur un ensemble fini à valeurs dans un ensemble fini. Discrétisation : On définit une partition de Ω = [0, a] [0, b], généralement engendrée par une grille régulière, et on remplace la fonction f par ses valeurs moyennes : Ω = i,j Ω ij, f (i, j) = 1 Ω ij Ω ij f (x) dx.

5 Quantification Quantification : On a également besoin de remplacer C par un ensemble fini, ce qui équivaut à utiliser un nombre fini de couleurs. Si C = [0, 1[, on choisit un entier N et on remplace f (i, j) par où [x] désigne la partie entière de x. f Q (i, j) = [K f (i, j)], Pour des images monochromes, on utilise typiquement une quantification avec K = 256, ce qui implique que les valeurs prises par une image sont 0, 1,..., 255.

6 Problématiques Restauration des images dégradées : Débruitage, Deblurring (défloutage?), Inpainting. Compression : Sans perte, Avec perte. Segmentation. Détection de contour.

7 Théorie de Fourier

8 Définition de la transformée de Fourier F La transformée de Fourier en pulsation F ou F ω : f (ω) = fω (ω) = + f (t) e iωt dt F 1 ω (f ) = 1 2π F ω(f ) La transformée de Fourier en fréquence F ν : fν (ν) = + f (t) e 2iπνt dt F 1 ν (f ) = F ν (f ) La pulsation ou vitesse angulaire est mesurée en radian par seconde (rad s 1 ) La fréquence est mesurée en Hertz (1Hz = 1s 1 ). 1Hz 2πrad s 1. Les résultats sont plus simples et plus élégants en Hz.

9 Operateurs linéaires stationnaires Pour une fonction f on note f τ : t f (t τ) la fonction avec un retard de τ. Un opérateur est linéaire stationnaire s il est linéaire et si f, [Lf ](t) = g(t) g τ (t) = [Lf τ ](t). On peut écrire f (t) = + f (u)δ(t u)du. Mais alors si L est continu on a (Lf )(t) = + f (u)lδ u (t) = (f h)(t), où h est la réponse impulsionnelle de L. Conclusion : un filtre linéaire stationaire est une convolution.

10 Pourquoi les convolutions? Le floutage est une convolution Donc le défloutage est une déconvolution. Le calcul des gradients lisses est obtenu par convolution.

11 Fonctions propres des opérateurs de convolution Le iωt = + h(u) e iω(t u) du + = e iωt h(u) e iωu du = e iωt ĥ(ω). Les exponentielles complexes sont les vecteurs propres des opérateurs de convolution. (t e iωt ) est la fonction propre associée à la valeur propre ĥ(ω).

12 Transformée de Fourier dans L 1 (R) En effet est convergente avec + f (ω) = f (t) e iωt dt f (ω) + f (t) dt = f L 1. De plus on a alors f est continue (exercice).

13 Reconstruction quand f L 1 (R) et f L 1 (R) Théorème: Si f L 1 (R) et f L 1 (R) alors f (t) = Voir cours d analyse spectrale. + f (ω) e iωt dω.

14 Théorème de convolution Théorème: Soit f, h L 1 (R). La fonction g = f h est dans L 1 (R) et ĝ(ω) = f (ω) ĥ(ω). A quoi sert la transformation de Fourier? La transformation de Fourier transforme la convolution en multiplication. Théorème: F : ( L 1 ( ) (R), +,, L 1) C0 (R), +,, L est un morphisme continu d algèbres de Banach.

15 Pourquoi la transformation de Fourier? Equations aux dérivées partielles f (n) (ω) = (iω) n f (ω) Télécommunications (modulation/démodulation d un signal en fréquence) Imagerie biomédicale : techniques IRM Traitement de données audio Traitement d image

16 TF de L 1 (R) dans C 0 (R) F : L 1 (R n ) C 0 (R n ) f f F est une injection de L 1 (R) dans C 0 Si ˆf L 1 (R) alors f (x) = f (ω)e iω t dω

17 Classe de Schwartz Fonctions : lisses { S(R) := à décroissance rapide f C α, β, M, sup x R } x α f (β) (x) M Les formes linéaires sur la classe de Schwartz sont les distribution tempérées qui constitue la classe de distributions qui hérite par dualité des bonnes propriétés de la classe de Schwartz vis-à-vis de la transformation de Fourier.

18 TF de S dans S F : S(R) S(R) f f F est un isomorphisme topologique

19 La transformation de Fourier dans L 2 (R) Théorème: est F : ( L 2 ( (R), +,, L 2) L 2 ) (R), +,, L 2 un automorphisme continu de L 2 (R). une isométrie de L 2 (R) dans lui-même.

20 TF de L 2 (R) vers L 2 (R) F : L 2 (R n ) L 2 (R n ) f f F est une isométrie de L 2 Attention : la transformée de Fourier est définie au sens de la convergence dans L 2 (R). La fonction n est pas nécessairement définie ponctuellement.

21 Formule de Parseval et théorème de Plancherel Soient f et h dans L 2 (R), on a Formule de Parseval : f, h L 2 (R) = fν, L ĥν 2 (R) = 1 2π f ω, ĥω L 2 (R) Théorème de Plancherel : f (t) 2 dλ(t) = f ν (ν) 2 dλ(ν) = 1 2π f ω (ω) 2 dλ(ω)

22 Phénomène de Gibbs

23 Oscillations de Gibbs Soit f une fonction avec un discontinuité en t 0 de sorte que f (t) = f c (t) + [ { f (t 0 + ) f (t 0 )] 1 si t 0, u(t t 0 ) pour u(t) = 0 sinon. Si on applique à f un filtre passe-bas idéal de TF ĥξ(ω) = 1 [ ξ,ξ] (ω), on obtient f ξ (t) = (f c h ξ )(t) + [ f (t + 0 ) f (t 0 )] ( u h ξ ) (t t0 ). Or (u h ξ )(t) = 1 π = 1 π = 1 π + + ξt u(τ)h ξ (t τ)dτ u(τ) sin(v) dv v sin(ξ (t τ)) dτ ξ (t τ)

24 Comportement du Sinus Integral On a 1 π + sin(x) x = 1 lim x Si(x) = 1, π Si(x) atteint un maximum local en x = π. Or, pour t ξ = π ξ, (u h ξ )(t ξ ) = 1 π π sin(x) x = Si(π) = 1, π 0, est la constante de Gibbs-Wilbraham. Ce pic ne décroit pas lorsque ξ +

25 Diracs, peignes et échantillonnage...

26 Transformée de Fourier d une fonction de Dirac δ(ω) = 1 δ t0 (ω) = e iωt 0 F (e iω 0 ) = 2π δ ω0

27 Transformée de Fourier sur le tore et séries de Fourier Si f est périodique alors f est une somme pondéré de Diracs dont les poids sont les coefficient de la série de Fourier : f (t) = a n e 2iπnT alors f (ω) = 2π a n δ 2πnT. n Z n Z Inversement, si f est une somme de fonctions de Dirac alors f est périodique.

28 Transformée de Fourier d un peigne de Dirac {Peignes de Dirac} {Distrib. périodiques} {Distrib. tempérées} ( ) F ν δ kt = 1 T k Z k Z δk T F ω ( k Z ) δ kt (ω) = e iωkt = 2π T k Z k Z La transformée de Fourier en fréquence d un peigne de Dirac de période T et d amplitude 1 est un peigne de Dirac de période 1 T et d amplitude 1 T. Théorème: (Formule sommatoire de Poisson) f (kt ) = 1 f T k Z m Z ( 2πm ) T δ2πk (ω) T

29 Échantillonnage régulier d une fonction Interprétation comme distribution... f (t) ( f (nt ) ) n Z On peut interpréter la fonction échantillonnée comme une distribution f d (t) = T f (nt ) δ(t nt ) n Z En effet f d converge vers f au sens des distributions.... une distribution dont la transformée est périodique! On a en effet fd (ω) = f (nt ) e iωnt n Z qui montre que f est périodique de période 2π T en pulsation (ou 1 T en fréquence).

30 Interprétation de l échantillonnage en Fourier f d (t) = T n Z f (nt ) δ(t nt ) = T f (t) n Z δ(t nt ) = T f (t) c(t) avec c(t) = n Z δ(t nt ) le peigne de Dirac. fd = T 1 2π f ĉ = T ( 2π f 2π ) δ 2πn T T n Z ( = f ( δ 2πn ) ) T n Z = ( f 2πn ) T n Z fd est donc la périodisée de f de période 2π T en pulsation.

31 Théorème d échantillonnage (Whittaker-Kotel nikov-(nyquist)-shannon) On note supp(f ) le support 1 de la fonction f Théorème: Soit une fonction f telle que f L 1 loc (R). Soit (f (nt )) n Z un échantillonnage de f à la fréquence 1 T. Si supp( f ω ) ] π T, π T [ (i.e. si supp( f ν ) ] 1 2T, 1 2T [ ), alors f peut être reconstruit exactement à partir de l échantillon et f (t) = f (nt ) h T (t nt ) avec h T (t) = sin( πt/t ) πt/t. n Z 1. i.e. le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel f = 0 p.p.

32 Le théorème d échantillonage graphiquement...

33 Preuve du théorème d échantillonnage On a F h T = ĥt avec ĥt = T 1 ] π T, π [. T Par hypothèse on a ] π ω T, π [, fd (ω) = T f (ω). Et comme f est nulle hors de cet intervalle, on a f = 1 T f d ĥ T. D où f (t) = 1 T (f d h T )(t) = 1 (( T T R k Z = k Z R ) ) f (nt ) δ( nt ) h T (t) 1 T T f (nt ) ( δ( nt ) h T ) (t) = f (nt ) h T (t nt ). k Z

34 Fréquence d échantillonnage et aliasing Echantillonnage de Nyquist Si ν max est la fréquence maximale présente dans un signal, il faut l échantillonner à une fréquence ν strictement supérieure à 2ν max pour reconstruire le signal exactement. fréquence de Nyquist : ν/2 taux d échantillonnage de Nyquist : 2 ν max

35 Repliement de spectre (Aliasing) Les signaux réels ne sont pas à spectre borné. Il y a repliement du spectre : un alias des hautes fréquences est recopié sur les basses fréquences. Il peut se traduire par du crénelage sur des bords ou contour francs ou par la présence de moires.

36 Anti-aliasing Un filtre anti-aliasing est un filtre passe-bas analogique qui supprime ou atténue les fréquences supérieures à ν/2 avant l échantillonnage à la fréquence ν. Aliasing discret Le phénomène d aliasing se produit également lorsqu on sous-échantillonne un signal.

37 Vers les images : Fourier dans Rn

38 Transformée de Fourier dans R n Pour une fonction f R 2, on a f (ω1, ω 2 ) = + + f (x 1, x 2 )e i(ω1x1+ω2x2) dx 1 dx 2 f (ω) = R 2 f (x) e i ω,x dx Si ρ = ω 2 et u = 1 ρ ω, alors x e i ω,x est une onde plane qui se déplace dans la direction u à la pulsation ρ Cas des fonctions séparables : Si f (x 1, x 2 ) = g(x 1 ) h(x 2 ), alors f (ω1, ω 2 ) = ĝ(ω 1 ) ĥ(ω 2).

39 Les propriétés de la TF se généralisent à R n Transformée de Fourier inverse si f, f L 1 (R n ) f (x) = 1 f (ω)e i ω,x (2π) n dω R n Produit de convolution : g(x 1, x 2 ) = f (u 1, u 2 )h(x 1 u 1, x 2 u 2 )du 1 du 2 TF de la convolution : ĝ(ω 1, ω 2 ) = f (ω 1, ω 2 ) ĥ(ω 1, ω 2 ) Parseval et Pancherel f ḡ = 1 f ĝ R (2π) n n R n et R n f 2 = 1 (2π) n R n f 2.

40 Le théorème d échantillonnage en dimension 2 L image discrète peut se représenter comme une somme de Diracs f d (x 1, x 2 ) = T 1 T 2 f (n 1 T 1, n 2 T 2 ) δ(x 1 n 1 T 1 ) δ(x 2 n 2 T 2 ) n1,n2 Z On montre que fd (ω 1, ω 2 ) = k 1,k 2 Z ( f ω 1 2k 1π T 1, ω 2 2k 2π T 2 ). Théorème: (Echantillonnage sur une grille 2D) Si f est à support dans ] π T 1, π T 1 [ ] π T 2, π T 2 [ alors f peut-être reconstruit exactement à partir des échantillons pris sur une grille régulière de pas T 1 et T 2, et f (x 1, x 2 ) = f (n 1 T 1, n 2 T 2 ) h T1 (x 1 n 1 T 1 ) h T2 (x 2 n 2 T 2 ), n 1,n 2 Z pour h T (t) = sin(πt/t ) πt/t.

41 Signaux finis et tore discret...

42 Convolution pour les signaux finis Soient f, h des signaux discrets f, h R Z. On peut définir la convolution : (f h)[n] = k Z f [p] h[n p] Pour des signaux finis f, h R N, on périodise : f [n] = f [n mod N], h[n] = h[n mod N] On définit la convolution circulaire : N 1 (f h)[n] = f [n] h[p n]. p=0

43 Vecteur propres de la convolution circulaire Soit L un operateur de convolution circulaire : Lf [n] = (f h)[n] Les exponentielles complexes discrètes e k [n] = exp ( 2iπk n N sont les vecteurs propres de la convolution circulaire puisque : ( (L e k )[n] = exp 2iπk n N ) N 1 p=0 ). ( h[p] exp 2iπk p ) N N 1 = ĥ[k] e ( k[n] pour ĥ[k] = h[p] exp 2iπk p ). N p=0

44 Transformation de Fourier discrete (TFD/DFT) Les (e k ) k {0,...,N 1} forment une base orthogonale de C n. Par conséquent Par définition f = N 1 k=0 n=0 f, e k e k 2 e k. 2 N 1 ( f [k] = f, ek = f [n] exp 2iπk n ). N On a e k 2 2 = N, ce qui donne la formule de reconstruction. Théorème: (Convolution) La TFD de g = f h est la fonction ĝ telle que ĝ[k] = f [k]ĥ[k].

45 Fourier : cas discret vs continu A quoi nous servent les résultats sur la transformée de Fourier continue si les images sont discrètes et finies? Notion de continuité d une fonction disparait en discret Phénomène de Gibbs bien réel Utiliser une recopie mirroir de l image pour la rendre plus continue. Utile pour penser le zoom par Fourier Il existe une image à résolution infinie sous-jacente

46 La transformée de Fourier rapide (FFT) Complexité naïve de la TFD : N 2. Un algorithme simple pour N = 2 m Termes pairs : N/2 1 f [2k] = Termes impairs : N/2 1 f [2k + 1] = n=0 n=0 ( exp ( ) ( f [n] + f [n + N/2] exp 2iπ n N/2 2iπk n ) N/2 )( ) ( f [n] f [n + N/2] exp 2iπk n ) N/2 La TFD peut donc être calculée à partir de 2 TFD de taille N/2. C(N) = 2C(N/2) + KN d où une complexité en O(N log(n)).

47 De nombreux algorithmes pour la FFT... Un grand nombre d algorithmes ont été proposé pour la FFT, basé sur le théorème des restes chinois, les polynômes cyclotomiques etc. Algorithme de Cooley-Tucker, algorithme de Brunn, QFT, de Winograd, de Rader, de Bluestein, + des algorithmes plus spécialisés. L algorithme le plus utilisé est la méthode split-radix. Lorsque le signal d entrée est réel on a f [ k] = f [k]. La FFT donne aussi une transformée de Fourier inverse rapide

48 Convolutions rapides via FFT Une des applications principales de la FFT est le calcul de convolution rapides. La complexité naïve de la convolution est N(N + 1) pour deux signaux de longueur N. Pour calculer g = f h On calcule f et ĥ par FFT Puis ĝ[k] = f [k]ĥ[k] Finalement on calcule g par FFT inverse. La complexité est en O(N log(n)). Dans le cas de la convolution avec un signal plus court de longueur L, on peut utiliser des convolutions par bloc. La complexité est alors en O(N log(l))

49 Fourier pour l image : le bilan La théorie de Fourier permet de comprendre le phénomène d aliasing de calculer des convolutions rapides avec la FFT de faire des zoom et rotations en sub-pixellique. Cependant Approcher un signal avec Fourier donne lieu à des oscillations de Gibbs au niveau des bords et discontinuités. Les images ne sont pas stationnaires Les images on une structure multi -échelle La transformée de Fourier est globale. Besoin d un technique d analyse locale de l image. Idem en audio et dans d autres domaines pause Nous verrons que les ondelettes permettent dans une certaine mesure de répondre à ces questions.