UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Statistiques Descriptives

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L1 Économie Cours de B. Desgraupes Statistiques Descriptives Séance 06: Taux de croissance et indices élémentaires Table des matières 1 Pourcentages et variations Calculs de taux Taux global et taux moyen Évolution des grandeurs composites Notion d indice 7 3 Propriétés des indices Circularité Réversibilité Indices élémentaires 9 5 Exercices complémentaires 10 1 Pourcentages et variations a L expression a% (lue a pour cent ) désigne, par convention, le rapport 100. On l utilise avec les fréquences, qui sont comprises entre 0 et 1, pour ramener l effectif total à la valeur 100, ce qui permet plus facilement de faire des comparaisons. Par exemple, si on a un effectif de 140 parmi 168 observations, ou un effectif de parmi observations, il n est pas facile de dire quelle est la proportion la plus forte. En l occurrence, c est la même! En effet: 1.1 Calculs de taux = = 5 = = 83, 33% 6 Dans l exemple précédent, on passe de 140 à 168 (ou de à 14814) en multipliant par 6/5=1,2. Il s agit d une progression de 20%. 1

2 De manière générale, si r est un taux de variation, une quantité Q est augmentée de Q = r Q et devient donc Q + Q = Q + r Q = (1 + r)q La quantité Q a finalement été multipliée par (1 + r). Le terme (1 + r) est appelé le coefficient multiplicateur associé au taux de variation r. Remarque : le nombre r est positif dans le cas d une grandeur qui croît et négatif dans le cas d une grandeur qui décroît. Appliquer n fois de suite un taux de variation r, revient à multiplier n fois par le coefficient multiplicateur m = 1 + r. Cela revient finalement à multiplier par (1 + r) n. Si on note Q n la valeur au temps n d une quantité qui augmente de r%, on a la formule : Q n = Q 0 (1 + r) n Exemple Si une quantité augmente au taux de 1% = 0, 01, elle est multipliée par 1,01. Au bout de 10 périodes, elle a été multipliée par 1, = 1, Son taux de variation au total est donc de 1, = 0, , 46%. En conclusion, les taux de variation ne sont pas additifs: 10 fois 1% ne font pas 10% mais 10, 46%! 1.2 Taux global et taux moyen Lorsqu une grandeur varie sur une période de t années, on peut calculer son taux de croissance global sur cette période. Si elle passe de la valeur à la valeur V t, ce taux global est de : τ = V t = V t 1 Le rapport V t apparaît donc comme le coefficient multiplicateur sur la période globale puisque : V t = 1 + τ Définition 1.1. Le taux d accroissement annuel moyen est le taux qui donnerait le même taux global au bout de la même période de t années. On le calcule selon la formule : α = t Vt 1 2

3 En effet, les coefficients multiplicateurs sont liés par la relation : 1 + τ = (1 + α) t (1 + α) = t 1 + τ α = t 1 + τ 1 α = t Vt 1 Exercice 1 Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0.5%. Quel est son taux annuel d accroissement? Si on note a le taux annuel, la valeur boursière a été multipliée par (1 + a) au bout d un an. Si on compte mensuellement, elle a été multipliée chaque mois par (1 + 0, 5/100), donc au bout de douze mois elle a été multipliée par (1 + 0, 5/100) 12. On a donc l égalité : 1 + a = (1 + 0, 5/100) 12 = 1, = 1, Par conséquent : a = 0, , 17% Exercice 2 Une grandeur Q augmente de 15% sur une année: calculer, en pourcentage, le taux mensuel qui donnerait le même accroissement. Si on note m le taux mensuel, la grandeur Q est multipliée par (1 + m) chaque mois et donc par (1 + m) 12 au bout de douze mois. Au taux annuel de 15%, elle a été multipliée par (1 + 15/100). On a donc l égalité : (1 + m) 12 = 1, 1 = 1 + m = 1, = Par conséquent : m = 0, , 17% Exercice 3 La taille d un arbuste a triplé en deux ans. 3-1 ) Quel est son taux de croissance global? 3-2 ) Quel est son taux de croissance moyen par trimestre? 3

4 Le taux de croissance global est τ = V 2 1 = 3 1 = 3 1 = 2 = 200% Il y a huit trimestres sur la période considérée. Si on note t le taux trimestriel moyen, on aura : V2 3V0 t = 8 1 = 8 1 = = 0, 1472 = 14, 72% Exercice 4 Une quantité a augmenté de 25% en un an. Quel taux faudrait-il appliquer l année suivante pour la ramener à sa valeur initiale? Appelons r le taux inconnu. Si Q est la quantité, elle est soumise successivement à un coefficient multiplicateur de 1,25 puis de (1 + r). On doit donc avoir : Q 1, 25 (1 + r) = Q 1, 25 (1 + r) = r = 1 1, 25 r = 1 1 = 0, 8 1 = 0, 2 1, 25 Le taux est négatif : la grandeur doit diminuer de 20% pour compenser l augmentation de 25%. Exercice 5 Un capital a perdu un tiers de sa valeur. augmenter pour retrouver sa valeur initiale? De quel pourcentage devrait-il Ce capital K a été multiplié par = 2 3. Il est devenu 2 3 K. Si r est le taux cherché, il doit faire en sorte que, en multipliant par (1 + r), on retrouve K : Par conséquent : Exercice 6 2 K (1 + r) = K 1 + r = 3/2 = 1, 5 3 r = 0, 5 = 50% 4

5 Une somme de 1000 euros a été placée à un taux d intérêt de 2% pendant 3 ans, puis 3% pendant 5 ans et 4,5% pendant 4 ans. 6-1 ) Calculer sa valeur au bout des 12 années. 6-2 ) Calculer le taux annuel moyen. La valeur au bout de 12 ans est : V 12 = 1000 (1 + 2/100) 3 (1 + 3/100) 5 (1 + 4, 5/100) 4 = 1000 (1, 02) 3 (1, 03) 5 (1, 045) 4 = , , , = 1467, 07 Le taux annuel moyen a est : V , 07 a = 12 1 = 12 1 = 12 1, = 0, , 25% 1000 Exercice 7 Les notes de conjoncture de l INSEE concernant le chiffre d affaires dans l industrie et la construction au premier semestre 2014 indiquent les résultats suivants : en janvier 2014, stable par rapport à décembre (0,0 %) en février 2014, progresse par rapport à janvier (+0,9 %) en mars 2014, diminue par rapport à février (-0,5 %) en avril 2014, quasi stable par rapport à mars (+0,1 %) en mai 2014, diminue par rapport à avril (-1,4 %) en juin 2014, progresse par rapport à mai (+1,9 %) 7-1 ) Calculer le taux de progression sur le semestre. 7-2 ) Calculer le taux mensuel moyen sur cette période. Les coefficients multiplicateurs se multiplient entre eux : (1 + 0) (1 + 0, 009) (1 0, 005) (1 + 0, 001) (1 0, 014) (1 + 0, 019) = 1, Le chiffre d affaires dans l industrie et la construction a donc progressé de 0, c est-à-dire 0, 97% de décembre à juin. 5

6 Pour avoir le taux mensuel moyen m correspondant, on écrit : (1 + m) 6 = 1, = 1 + m = (1, ) 1/6 = 1, donc m = 1, = 0, , 16%. On montre en analyse que la quantité (1 + x) n est équivalente à (1 + nx) lorsque x est proche de 0 : (1 + x) n nx On en déduit que, si x est petit, un taux de x% appliqué n fois est équivalent à un taux global de n x%. Ce résultat n est acceptable que pour des taux très faibles. Exemple Quel est le taux global correspondant à un taux mensuel de 0.12% appliqué pendant 10 mois? En toute rigueur, on a : τ = (1 + 0, 12/100) 10 1 = (1, 0012) 10 1 = = 1, 207% On constate en effet que 1, 207% 1.2% = %. 1.3 Évolution des grandeurs composites Lorsqu une grandeur est le produit de deux autres grandeurs qui subissent des variations, son taux de variation est le produit des coefficients multiplicateurs des deux grandeurs, diminué de 1. Autrement dit, si c = a b et si a a un taux de croissance α et b un taux de croissance β, alors le taux de variation γ de c est : γ = (1 + α)(1 + β) 1 Un cas typique d application de ce résultat concerne l évolution de la valeur d un bien quand à la fois les ventes et les prix varient. Exercice 8 Les ventes d un bien ont augmenté de 20% en un an tandis que le prix a diminué de 5%. Calculer le taux de variation de la recette totale. On a γ = ( )(1 5 ) 1 = 1, 2 0, 95 1 = 1, 14 1 = 0, 14 = 14% 100 La recette a augmenté de 14%. On a un résultat analogue avec les quotients. 6

7 Lorsqu une grandeur est le quotient de deux autres grandeurs qui subissent des variations, son taux de variation est le quotient des coefficients multiplicateurs des deux grandeurs, diminué de 1. Autrement dit, si c = a/b et si a a un taux de croissance α et b un taux de croissance β, alors le taux de variation γ de c est : γ = 1 + α 1 + β 1 Un cas typique d application de ce résultat concerne l évolution du pouvoir d achat quand à la fois les salaires et les prix varient. Exercice 9 Au cours d une période, les salaires ont augmenté de 10% et les prix ont augmenté de 15%. 7-3 ) De combien a varié le pouvoir d achat? 7-4 ) De combien devraient baisser les prix pour que le pouvoir d achat double? On a On obtient : γ = γ = 1, 1 1 = 0, = 0, 0435 = 4, 35% 1, 15 Le pouvoir d achat a baissé de 4,35%. Doubler signifie augmenter de 100%. Par conséquent, si π est le taux de variation des prix, on devra avoir : γ = / π 1, π = 2 1 = 100% = π = 1, 1 2 = 0.55 π = = 0.45 = 45% Il faudrait donc que les prix baissent de 45%. 7

8 2 Notion d indice Définition 2.1. L indice est le rapport de deux valeurs différentes d une même variable. La notion d indice permet de mesurer l évolution d une grandeur dans deux contextes différents : en général, on s intéresse à une grandeur à deux dates différentes, mais cela peut aussi correspondre à l observation de cette grandeur dans deux régions différentes. Dans le premier cas, on parle d indice temporel ou chronologique, dans le second cas d un indice spatial ou régional. Par exemple, si une grandeur vaut V t au temps t et V t au temps t, l indice sera I t/t = V t V t Les indices sont souvent exprimés (comme les pourcentages) sur une base de 100. Dans ce cas, on écrit : I t/t = V t 100 V t Exemple 1 Si le volume de ventes d une entreprise passe de 20 en 2012 à 24 en 2013 puis 27 en 2014, on aura I 2013/2012 = = I 2014/2012 = = On dit que l indice de l entreprise «base 100 en 2012» passe à 120 en 2013 et à 135 en Cela permet de voir plus facilement les pourcentages d accroissement (respectivement de 20% et de 35%). Exemple 2 La consommation annuelle d électricité par habitants était, en 2011, de 6847 kwh en France et de kwh aux États-Unis. On obtient un indice spatial I USA/F r = = 193, 46. On dit dans ce cas que la consommation «base 100 en France» est de 193,46 aux États-Unis. Les indices conviennent bien aux grandeurs simples. On dit alors qu on a un indice élémentaire. Dans les études d indices, on choisit en général une date initiale ou date de référence qualifiée de temps zéro et on établit les autres indices par rapport à cette date. L indice valeur 100 à la date initiale est : I t/0 = V t 100 8

9 Le choix de la base est arbitraire et on pourrait aussi bien prendre une base 1 ou une base La plupart des formules qui vont suivre seront souvent définies à un multiple de la base près, en général à un multiple de 100 près. Dans tout ce qui suit la base de la valeur de référence (qu elle soit temporelle ou spatiale) est fixée à 100. Dans le cas d une grandeur multiple, on souhaite définir une quantité qui joue un rôle comparable à celui des indices élémentaires. On procède en agrégeant les valeurs de chaque composante (en fonction de leur prix et de leur quantité) et en faisant ensuite le quotient des valeurs ainsi obtenues à des dates ou dans des régions différentes. On obtient ainsi un indice synthétique. 3 Propriétés des indices On s intéresse à deux types de propriétés que pourraient avoir les indices qu on définit : la circularité et la reversibilité. Nous allons définir ces deux notions et on cherchera par la suite à savoir si les indices classiquement utilisés en économie et en statistique ont ces propriétés ou pas. 3.1 Circularité Circularité Un indice est dit circulaire si, pour trois dates différentes t, t et t, on a la relation I t/t = I t/t I t /t Cette propriété s appelle aussi la transférabilité ou la transitivité. Si on a une date de référence, cette propriété implique que I t/0 = I t/t I t / I t/t = 100 I t/0 I t /0 Grâce à cette propriété, pour comparer deux grandeurs à deux dates différentes, il suffit de faire le quotient de leurs indices à ces deux dates. 3.2 Réversibilité Réversibilité On dit que l indice est réversible si, lorsque les dates sont interverties, les indices sont inversés (à 10 4 près si on est en base 100) : I t/t = 104 I t /t 9

10 On peut aussi écrire cette propriété sous la forme I t/t I t /t = Si les indices sont exprimés par rapport à une date de référence, on a : 4 Indices élémentaires I t/0 I 0/t = 10 4 Les indices élémentaires ont la propriété de circularité. En effet : I t/t I t /t = V t 100 V t V t V t 100 = V t V t = I t/t 100 Exemple Le prix d un bien a évolué de la manière suivante : Année Prix Indice , , , Calculer son évolution entre les années 2013 et On peut bien sûr calculer le taux de variation à partir des prix mais il est plus commode d utiliser les indices et de faire leur rapport : = 120 Le produit a augmenté de 20% entre 2013 et Un calcul direct donnerait : 159, , , 55 = 26, 51 = 0, 2 = 20% 132, 55 On vérifie facilement que les indices élémentaires sont réversibles. En effet : Exemple I t/t I t /t = V t 100 V t 100 = 10 4 V t V t Reprenons la consommation annuelle d électricité par habitants en France et aux États-Unis en

11 Puisque I USA/F r = 193, 46, on en déduit que I F r/usa = = 51, , 46 On dit dans ce cas que la consommation «base 100 aux États-Unis» est de 51,69 en France. 5 Exercices complémentaires Exercice 10 Une entreprise fabrique deux biens en quantités Q 1 et Q 2 qu elle vend au prix respectifs de P 1 et P 2. On sait que la recette procurée par le bien 2 est le double de celle procurée par le bien ) Au cours d une année, les prix P 1 et P 2 augmentent respectivement de 1.5% et de 2% tandis que les ventes des deux biens augmentent de 5% et 3% respectivement. Calculer le taux de variation de la recette totale de l entreprise. Notons R 1 et R 2 les recettes procurées par les deux biens. La recette totale au départ est de R = R 1 + R 2 et on a les relations : { R 1 = P 1 Q 1 R 2 = P 2 Q 2 La recette R 1 au bout d un an est multipliée par les produits des coefficients multiplicateurs des prix et des quantités du bien 1. De même pour la recette R 2 : { R 1 = R 1 (1 + 1, 5/100) (1 + 5/100) = 1, R 1 R 2 = R 2 (1 + 2/100) (1 + 3/100) = 1, 0506 R 2 11

12 ? La nouvelle recette est R = R 1 + R 2 = 1, R 1 + 1, 0506 R 2. Le taux de variation est τ = R R R = (1, R 1 + 1, 0506 R 2 ) (R 1 + R 2 ) R 1 + R 2 = 0, R 1 + 0, 0506 R 2 R 1 + R 2 = 0, R 1 + 0, R 1 R R 1 0, , = 3 0, = 3 = 0, , 57% La recette a finalement augmenté de 5,57%. 8-2 ) Quel est le rapport, au bout d un an, entre les recettes des deux biens On trouve : r = R 2 R 1 = 1, 0506 R 2 = 1, R 1 1, = 1, 97 1, R 1 1, R 1 1, Le rapport a un peu baissé : il est passé de 2 à 1, ) Au cours de l année suivante, les ventes du bien 2 ont chuté de 10% tandis que le prix P 2 augmentait de 5%. En même temps, les ventes du bien 1 ont progressé de 10%. Quelle variation du prix P 1 ferait en sorte que la recette totale reste inchangée? Notons π 1 le taux de variation du prix P 1. { R 1 = R 1 (1 + π 1 ) (1 + 10/100) = (1 + π 1 ) 1, 1 R 1 R 2 = R 2 (1 + 5/100) (1 10/100) = 0, 945 R 2 On a vu à la question précédente que R 2 = 1, 97 R 1. On a donc : On voudrait donc que : R 2 = 0, 945 1, 97 R 1 = 1, R 1 R 1 + R 2 = R 1 + R 2 1, 1 (1 + π 1 ) R 1 + 1, R 1 = R 1 + 1, 97 R 1 1, 1 (1 + π 1 ) + 1, = 1 + 1, , 97 1, π 1 = 1, 1 π 1 = 0, , 76% = 1, , 1 = 1,

13 8-4 ) Quel est, au bout des deux années, le rapport entre les recettes des deux biens? On trouve : r = R 2 R 1 = 1, R 1 1, 1 (1 + π 1 ) R 1 = 1, = 1, , 68 1, 1 1, ) Représenter graphiquement l évolution des recettes des deux biens. Recettes des deux biens R 1 R 2 13