Problèmes algébriques : résolution d équations, d inéquations, de systèmes

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1 Problèmes algébriques : résolution d équations, d inéquations, de systèmes Denis Vekemans 1 Équations linéaires On considère une équation en du type a + b = c + d. Sa solution est si a = c et b = d, tout est solution. si a = c et b d, aucun n est solution. si a c, = d b est l unique solution. a c Théorème 1.1 Soient a, b, c et d des réels tels que a c, alors : Soient a, b et c des réels, alors : a + b = c + d = d b a c. a + b = a + c b = c et est quelconque. 2 Systèmes d équations linéaires On considère un système 2 2 d équations (E) en et y a + b y = c a + b y = c 2.1 Méthode de résolution par substitution De la première équation, on tire, en multipliant par a, que a a + b a y = c a. Or, dans la seconde, on sait que a = b y + c. Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; Calais cede ; France 1

2 En substituant a, on obtient a ( b y + c ) + b a y = c a, on est ramené à une équation dont on a déjà vu la résolution qui nous permet d obtenir y. Dans le cas où a b = a b, il peut ne pas y avoir de solution ou y en avoir une infinité. Enfin, la valeur trouvée pour y réinjectée dans l une des deu équations de départ permet de déduire. 2.2 Méthode de résolution par opérations élémentaires sur les lignes Notons (1) la première équation et (2) la seconde. Le système [(1); (2)] équivaut à [a (1) a (2); (2)] et l équation a (1) a (2) se résout aisément car elle n a qu une indéterminée Au cas où a b = a b. Attention, ces méthodes traitent les équations linéaires (ou les systèmes linéaires), mais dans les problèmes algébriques, les équations ne sont pas toujours linéaires. Note Ces méthodes se généralisent au systèmes 3 3,... 3 Équations non linéaires Théorème 3.1 Soit a un réel positif ou nul, alors : Plus généralement, 2 = a 0 = a. Théorème 3.2 Soit a un réel positif ou nul et n un entier naturel, alors : n = a 0 = n a. Eercice 1 [Ai-Marseille, Corse, Montpellier, Nice (2000)] Les aires des faces d un parallélépipède rectangle sont 96, 160 et 20. Quel est le volume de ce polyèdre? Solution 1 Si on appelle, y et z les trois dimensions du parallélépipède rectangle avec y z, on obtient y = 96 z = 160 y z = 20 On déduit que ( y) ( z) (y z) = , puis ( y z) 2 =

3 Ensuite y z = = Le volume du parallélépipède rectangle est donc de On conclut Eercice 2 = y z = y z 20 = 8 y = y z = z 160 = 12 z = y z = y 96 = 20 [Rennes (2000)] Le but de cet eercice est d appliquer une présentation non familière utilisée par le mathématicien arabe Al khuwarizmi au IX ème siècle pour trouver une solution positive d une équation du second degré. Recherche d une solution positive d une équation du second degré. Eemple Soit = 39 une équation dont on recherche, si elle eiste, une solution positive. 2, 5 2, 5 2, 5 2, 5 2, 5 2, 5 = 10 Un petit carré de coin 2, 5 2 = 6, 25 L ensemble des quatre petits carrés de coin 6, 25 = = 6 =39 d après l équation Ainsi, le côté du grand carré mesure 8 = + 2 2, 5 = + 5, puis = 3. On vérifie aisément que 3 est bien solution de l équation de départ. 1. Reproduire le raisonnement pour l équation = Écrire sans justification la suite des calculs (un calcul par ligne) vous permettant de calculer l une des solutions de = Décrire en langage courant cet algorithme particulier indiquant une méthode générale dans le cas 2 + a = b, où a et b sont des entiers naturels, et où l équation possède au moins une solution positive. 3

4 Solution 2 1. Raisonnement pour l équation = 2. 0, 5 0, 5 = 2 Un petit carré de coin 0, 5 2 = 0, 25 L ensemble des quatre petits carrés de coin 0, 25 = = 25 =2 d après l équation Ainsi, le côté du grand carré mesure 5 = + 2 0, 5 = + 1, puis =. On vérifie aisément que est bien solution de l équation de départ. 2. Suite des calculs (un calcul par ligne) permettant de calculer l une des solutions de = 8. Je cherche le côté du petit carré : 5 = 1, 25. Je calcule l aire totale des quatre petits carrés : ( 5 )2 = 25 = 6, 25. Calcul de ( 5 )2. Je calcule également l aire totale des quatre rectangles : 5 = 5. Calcul de 5. J obtiens une epression de l aire totale du grand carré : , 25. J utilise le fait que = 8 pour donner une epression numérique de l aire totale du grand carré 8 + 6, 25 = 90, 25. Calcul de 8 + 6, 25.

5 Je déduis la longueur du côté du grand carré 90, 25 = 9, 5. Calcul de 90, 25. Enfin, je résouds l équation 9, 5 = + 2 1, 25 en calculant par 9, 5 2 1, 25 = 7. Calcul de 9, 5 2 1, 25. Pour la vérification, je calcule = 8. Calcul de Raisonnement pour l équation 2 + a = b. a/ a/ a/ a/ Un petit carré de coin L ensemble des quatre petits carrés de coin a a = a ( a )2 = a2 16 a2 = a2 16 Ainsi, le côté du grand carré mesure vérifie que = a + b + a2 est bien solution de l équation de départ : a =b d après l équation + a2 = b + a2 b + a2 = + 2 a = + a 2, puis = a 2 + b + a2 ( a 2 + b + a2 )2 + a ( a 2 + b + a2 ) = a2 + b + a2 a b + a2 a2 2 + a b + a2 = b.. On 5