Logique et Langage des ensembles

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1 1 Logique et Langage des ensembles Les notions abordées dans ce module sont des notions de base qui interviennent dans tous les domaines des mathématiques. Souvent considérées comme acquises par les étudiants après un cours d introduction rapide, elles sont susceptibles de causer des difficultés dans tout le travail ultérieur, en cas de maîtrise insuffisante. C est pourquoi ce module est très détaillé sur les questions qui posent problème aux étudiants. Il est conseillé de travailler de façon approfondie ce module au début de l année, puis de revenir ensuite revoir les points qui sont source de difficulté.

2 2 Contenu du module "Logique et théorie des ensembles" 1. Connecteurs Négation Conjonction Disjonction Lois de Morgan Distributivité Cours et cinq exercices interactifs avec correction. 2. Langage des ensembles Notion d ensemble Inclusion et égalité Ensembles particuliers Réunion d ensembles Intersection d ensemble Propriétés de distributivité Complémentaire d un ensemble Autres opérations Correspondance Ensembles/Propriétés Cours et trente neuf exercices interactifs. 3. Quantificateurs Quantificateur universel Quantificateur existentiel Règles d usage Négation des quantificateurs Cours, quatorze exercices interactifs, un test d auto-évaluation avec quarante questions 4. Implication Sens de l implication Condition nécessaire, suffisante Contraposée Réciproque Négation de l implication Équivalence logique Cours, trois exercices interactifs, deux tests d auto-évaluation avec cinquante questions 5. Applications Définition Images Composition Propriétés Cours, quarante exercices interactifs, deux tests d auto-évaluation avec quatrevingt questions 6. Relations Définition Relation d équivalence Relation d ordre Application croissante entre ensembles ordonnés Cours et vingt six exercices interactifs. 7. Démonstrations Implication Conjonction Disjonction Négation Démonstration par l absurde Quantificateurs et démonstration Cours et dix-sept exercices interactifs. 8. Rédaction Directives générales Connecteurs logiques Quantificateurs Remarques finales Cours et neuf exercices interactifs. 9. Cardinal d un ensemble Les ensembles infinis Cardinal d un ensemble Le dénombrable Le continu : les réels Le continu : les nombres complexes Les cardinaux infinis Cours

3 3 Connecteurs logiques En mathématiques, on se situe dans le cadre d une logique à deux valeurs. Une proposition mathématique "P " est soit vraie soit fausse. Si elle est vraie, nous lui attribuons la valeur 1, (ou V) ; si elle est fausse, nous lui attribuons la valeur logique 0, (ou F). On peut trouver des propositions toujours vraies, par exemple "x 2 0" pour x réel, ou "0 = 0" qu on appelle des tautologies, des propositions toujours fausses, par exemple "0 = 1" et des propositions tantôt vraies, tantôt fausses, par exemple "x 2 = 1" qui est vraie pour "x = 1" ou "x = 1", et fausse sinon. But de ce chapitre On examine comment, à partir de propositions données en former de nouvelles, à l aide de connecteurs logiques : la négation le "non" la conjonction le "et" et la disjonction logique le "ou". Négation Notation de la négation d une proposition On note "non P " le contraire de la proposition "P ", c est-à-dire la proposition qui est vraie quand "P " est fausse et qui est fausse quand "P " est vraie. Par exemple si "P " est la proposition "x = 0", "non P " est la proposition "x 0". Remarque Une notation des logiciens pour "non P " est la notation " P ". On se contentera de la notation avec le mot non, car nous ne développons pas un cours de logique. Table de vérité de la négation p non p Négation de la négation Une propriété immédiate est que "non (non P )" est équivalente à "P ", (cela se voit aussi sur la table de vérité.) (non (non P )) P Sens du symbole "équivaut" Le sens du symbole qui se lit équivaut, et qui signifie ici que les deux propositions ont toujours la même valeur sera revu par la suite.

4 4 Conjonction Notation de la conjonction de deux propositions Lorsque l on a deux propositions "P ", "Q", on peut former une nouvelle proposition appelée la conjonction de ces deux propositions, que l on notera "P et Q". La proposition "P et Q" vraie signifie que les deux propositions sont vraies en même temps. Par exemple pour deux nombres x et y réels, la proposition "x 2 + y 2 = 0" équivaut à "x = 0 et y = 0". Il est clair que : (P et Q) (Q et P ) Remarque Une notation des logiciens pour "P et Q" est "P Q", que nous n emploierons pas dans ce cours. Commutativité Il est clair que (P et Q) (Q et P ) Table de vérité de la conjonction p q p et q Disjonction Lorsque l on a deux propositions "P ", "Q", on peut former une proposition que l on appelle la disjonction de ces deux propositions, et que l on note "P ou Q". La proposition "P ou Q" est vraie si l une au moins des deux propositions "P " ou "Q" est vraie. Attention Ce point diffère du langage courant. En mathématiques, le ou est nonexclusif, c est à dire qu il comprend la possibilité que les deux propositions soient vraies. Ainsi la proposition "xy = 0" équivaut à la proposition "x = 0 ou y = 0", elle est vraie quand l un des deux nombres est nul, elle est aussi vraie quand les deux sont nuls. Remarque Une notation des logiciens pour "P ou Q" est "P Q", que nous n emploierons pas dans ce cours. Commutativité Il est clair que (P ou Q) (Q ou P )

5 5 Table de vérité de la disjonction p q p ou q Lois de Morgan Elles indiquent comment prendre la négation d une disjonction, ou la négation d une conjonction. Négation de la disjonction D après l inventaire des trois cas possibles pour la proposition "P ou Q", la proposition "non (P ou Q)" signifie que l on a "P " faux et "Q" faux, c est-à-dire que l on a la proposition "(non P ) et (non Q)" : non (P ou Q) ((non P ) et (non Q)) Négation de la conjonction De même la proposition "non (P et Q)" signifie que l on est dans l un des trois cas : "P " faux et "Q" vrai, "P " faux et "Q" faux, "P " vrai et "Q" faux, c est-à-dire que l une au moins des propriétés "P ", "Q" est fausse, et que l on a la proposition "(non P ) ou (non Q)" : Lois de distributivité non (P et Q) ((non P ) ou (non Q)) On va démontrer deux lois de distributivité par les tables de vérité. La conjonction est distributive par rapport à la disjonction (P et (Q ou R)) ((P et Q) ou (P et R)) p q r q ou r p et q p et r (p et q) ou (p et r) p et (q ou r)

6 6 La disjonction est distributive par rapport à la conjonction (P ou (Q et R)) ((P ou Q)et (P ou R)) p q r q et r p ou q p ou r (p ou q) et (p ou r) p ou (q et r) Travail à faire sur ordinateur Les cinq exercices interactifs du chapitre "Connecteurs logiques"

7 7 Notion d ensemble Depuis le début du vingtième siècle, tous les objets mathématiques sont décrits en utilisant le langage des ensembles. Ensembles de nombres, ensembles de points, ensembles de fonctions, etc. On ne définit pas la notion d ensemble. Sinon, si l on dit qu un ensemble est une collection, il faudrait définir ce qu est une collection, etc. Nous allons simplement préciser les notations et les règles pour utiliser ce langage de façon sûre. Exemples Vous-même avez commencé à utiliser ce langage. N ensemble des entiers naturels, {0, 1, 2, 3,...} Z ensemble des entiers relatifs, {0, 1, 1, 2, 2,...} D ensemble des décimaux, c est-à-dire des nombres qui peuvent s écrire sous la forme n, n et p entiers relatifs. Les décimaux comportent les entiers et 10 p les nombres qui peuvent s écrire sous une forme décimale avec un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule. On prendra garde que les nombres décimaux ont deux écritures décimales illimitées : l une avec des zéros indéfiniment à partir d un certain rang, l autre avec des 9 indéfiniment à partir d un certain rang. Par exemple : 14, 452 = 14, = 14, Q ensemble des rationnels, c est-à-dire des nombres qui peuvent s écrire comme le quotient de deux entiers n et m, (m 0). On admet qu à tout nombre rationnel on associe un développement décimal périodique, unique si le nombre n est pas un décimal. R les nombres réels. Ils n ont jusqu à présent pas été définis. Cette année on donnera très précisément les propriétés des nombres réels utilisables dans les démonstrations. À tout nombre réel on associe un développement décimal illimité, unique si le nombre n est pas un décimal. C les nombres complexes qui peuvent s écrire sous la forme a + ib, avec a et b réels. En géométrie, vous avez aussi utilisé ce langage en parlant de la droite comme un ensemble de points, etc. Notion d appartenance x E : x est élément de l ensemble E x E : x appartient à l ensemble E x E : est la négation de x E x E : x n est pas élément de l ensemble E x E : x n appartient pas à l ensemble E

8 8 Ensemble vide On considère en mathématiques, qu il y a un unique ensemble, appelé ensemble vide, qui ne contient aucun élément, et qui est noté. Si on considère un élément x quelconque, on a forcément x. Ensembles infinis Les ensembles ont été inventés pour manipuler des ensembles infinis. Lorsque, à la fin du dix-neuvième siècle, les mathématiciens ont commencé à manipuler des ensembles, ils se sont aperçus que la notion d " ensemble de tous les ensembles" conduisait à des contradictions. Afin de limiter les ensembles utilisés, ils se sont fixé la règle suivante de formation des ensembles. Règle de formation Si on se donne un ensemble E et une propriété "P ", on peut former un nouvel ensemble F constitué des éléments de E qui vérifient la propriété "P ". Cela s écrit : Écriture d un ensemble F = {x E P (x)} Pour écrire un ensemble, on a deux possibilités : Écriture en extension On énumère ses éléments. On dit qu on définit l ensemble en extension. Cette définition n est pas toujours utilisable : comment écrire ainsi des ensembles tels que l ensemble des points d un segment par exemple? Exemples : E = {0, 1, 5, 10} Z = {0, 1, 1, 2, 2,...} Écriture en compréhension On se donne une propriété qui caractérise ses éléments. On dit qu on définit l ensemble en compréhension. C est l écriture des ensembles la plus utilisée. Exemples : [a, b] = {x R a x b} 2N = {p p " entier pair" } Q = { p q p Z et q Z et q 0} C = {a + ib a R et b R}, avec (i 2 = 1)

9 9 Remarque importante Il y a deux parties dans l écriture d un ensemble, séparées par une barre verticale. E = {x U P (x)} La première x U indique où sont pris les éléments de l ensemble, la deuxième P (x) indique une propriété caractéristique des éléments de l ensemble E. Les signes logiques ne peuvent donc intervenir éventuellement qu au niveau de l écriture de la propriété "P " et en aucun cas dans la première partie de l écriture. Inclusion et égalité Inclusion d ensembles On dit qu un ensemble F est inclus dans un ensemble E, si tout élément de F appartient à E. F E F est inclus dans l ensemble E F E F est contenu dans l ensemble E F E F est un sous-ensemble de l ensemble E F E F est une partie de l ensemble E F E est la négation de F E F E F n est pas inclus dans l ensemble E F E signifie "il existe au moins un élément de F n appartenant pas à E" D après la définition précédente, tout en- L inclusion est une inclusion large semble E est inclus dans lui même. E E Inclusion stricte Lorsque le sous-ensemble F est strictement inclus dans l ensemble E, on dit que F est un sous-ensemble propre de E. On doit alors le préciser par la conjonction des deux propriétés : Ensemble vide et inclusion E. F E et F E L ensemble vide est contenu dans tout ensemble E Un ensemble E non vide a donc toujours au moins deux sous-ensembles, l ensemble vide et lui même. Par contre, l ensemble a un seul sous-ensemble, luimême.

10 10 Exemples d inclusion d ensembles N Z, Z D, D Q, Q R, R C Soit l ensemble E = {a, b, c}. Ses sous-ensembles sont les ensembles :, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} Transitivité de l inclusion A, B, C étant trois ensembles, si le premier ensemble A est contenu dans le second B, si le deuxième ensemble B est contenu dans le troisième C, alors le premier ensemble A est contenu dans le troisième C ; on dit que l inclusion est transitive ; cette propriété s énonce : Si (A B et B C), alors A C et s écrit en langage formalisé où se lit " implique" et sera revu dans la suite : (A B et B C) A C Justification Soit x un élément de A, d après l hypothèse A B, on peut affirmer que x est élément de B. D après l hypothèse B C, on peut affirmer que x est élément de C. On a donc montré que tout élément de A est élément de C et donc que A est inclus dans C. Abus d écriture On peut écrire une série d inclusions qui met en évidence la transitivité de l inclusion : Égalité d ensembles N Z D Q R C Deux ensembles sont égaux s ils ont exactement les mêmes éléments. Cela se traduit par deux inclusions simultanées. Comment démontrer E = F (F E et E F ) Une inclusion Pour démontrer qu un ensemble F est inclus dans un ensemble E, on prend un élément x quelconque de F, on utilise les hypothèses qui définissent l ensemble F, et on démontre que x vérifie les propriétés qui définissent l ensemble E. La démonstration prend donc la structure suivante :

11 11 Soit x un élément de l ensemble F... (raisonnement)... donc x est un élément de l ensemble E Conclusion : F E Une non-inclusion Comment prouver F E? Il suffit de trouver un élément de F qui n est pas dans l ensemble E, (un contre-exemple suffit). Une égalité d ensembles Deux ensembles sont égaux s ils ont exactement les mêmes éléments. Cela se traduit par deux inclusions simultanées. E = F (F E et E F ) Pour démontrer l égalité de deux ensembles E et F, il faudra faire deux démonstrations d inclusion, d une part pour démontrer F E, d autre part pour démontrer E F. Utiliser dans une démonstration Une inclusion Comment utiliser une hypothèse F E dans une démonstration? On utilise que tout élément qui appartient à F appartient aussi à E et donc vérifie les propriétés qui définissent E. Une non-inclusion Comment utiliser une hypothèse F E? On affirme : on sait qu il y a au moins un élément de F qui n est pas élément de E, on dit qu on en prend un et on utilise l élément ainsi défini dans la démonstration qui suit. Exemple Reprenons la démonstration faite précédemment de la propriété : Si (A B et B C), alors A C La justification a suivi les schémas "Démontrer une inclusion" et "utiliser une inclusion". "Démontrer une inclusion" L objectif est de montrer que A C. On a donc pris un élément x de A, et nous avons pour but de montrer que x est élément de C.

12 12 "Raisonnement" Il consiste à utiliser deux inclusions données en hypothèse, (A B et B C). "Utiliser une inclusion" : en utilisant l inclusion A B donnée par hypothèse, on peut affirmer que x est élément de B. "Utiliser une inclusion" : comme x B, en utilisant l inclusion B C donnée par hypothèse, on peut affirmer que x est élément de C, ce qui est notre but. "Conclure" On a donc montré que tout élément de A est élément de C et donc que A est inclus dans C. Ensembles particuliers Ensemble des parties d un ensemble Pour tout ensemble E, on peut former un ensemble que l on note P(E), dont les éléments sont les sous-ensembles de E. Exemple 1 P(E) = {F F E} F P(E) F E Pour l ensemble E = {a, b, c}, l ensemble des parties est P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Attention à bien distinguer a qui désigne un élément de E, et {a} qui désigne le sous-ensemble de E, appelé singleton, qui ne contient que l élément a. On écrira : a E ; {a} E ; {a} P(E) Exemple 2 a {a} ; a {a} ; a {a}... P( ) = { }, P( ) est un singleton. Donc P(P( )) = {, { }}

13 13 Produit d ensembles L ensemble R 2, représentant les points du plan lorsque l on a choisi un repère est un ensemble produit ; c est l ensemble des couples d éléments de réels (x, y), x premier élément du couple, y deuxième élément du couple. On peut généraliser au produit de deux ensembles E et F quelconques : E F = {(x, y) x E et y F } Ceci se généralise au produit d un nombre fini d ensembles E 1, E 2,..., E n quelconques : E 1 E 2 E n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 E 1 et x 2 E 2 et et x n E n } Réunion d ensembles Si E et F sont des ensembles, E F est l ensemble constitué des éléments qui appartiennent à au moins l un des deux ensembles E ou à F, (on admet qu il existe). E F = {x x E ou x F } On a donc : x E F (x E ou x F ) Le "ou" est non-exclusif, c est-à-dire qu il regroupe les trois cas : x E F (x E et x F ) ou (x E et x F ) ou (x E et x F ) Lien avec les lois de Morgan Propriétés de la réunion x E F (x E et x F ) La réunion de deux ensembles A et B est le plus petit ensemble qui contienne à la fois ces deux ensembles Ce qui se traduit en langage formalisé par la conjonction de deux propriétés. [A A B et B A B] et [(A C et B C) A B C] On peut à titre d exercice, démontrer ces propriétés, ainsi que les suivantes. Idempotence Pour tout ensemble E, E E = E

14 14 Commutativité Pour tous les ensembles E et F, E F = F E Associativité (E F ) G = E (F G) pour tous les ensembles E, F et G. Cela permet de définir la réunion de trois ensembles, d un nombre fini d ensembles. E 1 E 2 E 3 = {x x E 1 ou x E 2 ou x E 3 } E 1 E 2 E n = {x x E 1 ou x E 2 ou ou x E n } Généralisation La réunion se généralise à la réunion d une famille d ensembles (dont on admet l existence). E i = {x i I, x E i } i I signifie il existe au moins un et sera revu plus tard. Réunion, lien avec le connecteur "ou" Supposons l ensemble E défini par une propriété "P " et l ensemble F défini par une propriété "Q", alors on remarque que l ensemble E F est défini par la propriété "P ou Q" : Intersection d ensembles E = {x U P (x)} F = {x U Q(x)} E F = {x U P (x) ou Q(x)} Si E et F sont des ensembles, E F est l ensemble constitué des éléments qui appartiennent à la fois aux deux ensembles E et F. E F = {x x E et x F } x E F (x E et x F ) On peut à titre d exercice, démontrer ces propriétés, ainsi que les suivantes. Lien avec les lois de Morgan x / E F (x E ou x F ) autrement dit : x E F (x E et x F ) ou (x E et x F ) ou (x E et x F ))

15 15 Propriétés de l intersection L intersection de deux ensembles A et B est le plus grand ensemble qui est contenu à la fois dans ces deux ensembles Ce qui se traduit en langage formalisé par la conjonction de deux propriétés. [A B A et A B B] et [(C A et C B) C A B] Idempotence Pour tout ensemble E, on a E E = E. Commutativité E F = F E, pour tous les ensembles E et F. Associativité (E F ) G = E (F G), pour tous les ensembles E, F et G. Cela permet de définir l intersection de trois ensembles, d un nombre fini d ensembles. E 1 E 2 E 3 = {x x E 1 et x E 2 et x E 3 } E 1 E 2 E n = {x x E 1 et x E 2 et et x E n } Généralisation L intersection se généralise à une intersection quelconque d une famille d ensembles indexée par un ensemble non vide I. E i = {x E i I, x E i } i I (Le sens du symbole qui veut dire "pour tout" sera revu ensuite.) Lien avec le connecteur "et" Supposons l ensemble E défini par une propriété "P " et l ensemble F défini par une propriété "Q", alors on remarque que l ensemble E F est défini par la propriété "P et Q" : E = {x U P (x)} F = {x U Q(x)} E F = {x U P (x) et Q(x)} Propriétés de distributivité L intersection est distributive par rapport à la réunion distributivité de la conjonction par rapport à la disjonction. E (F G) = (E F ) (E G) Cela résulte de la

16 16 La réunion est distributive par rapport à l intersection distributivité de la disjonction par rapport à la conjonction. Cela résulte de la E (F G) = (E F ) (E G) Complémentaire d un ensemble On suppose E U. On définit un ensemble noté U E, appelé complémentaire de E dans U : U E = {x U x E} x U E (x U et x E) Lien avec le connecteur "non" Si le sous-ensemble E de U est défini par la propriété "P ", alors son complémentaire est défini par la propriété "non P ". E = {x U P (x)} U E = {x U non P (x)} Propriétés E et F sont deux sous-ensembles de U. En utilisant les lois de Morgan et les autres propriétés logiques, démontrer que : 1. U (E F ) = ( U E) ( U F ) 2. U (E F ) = ( U E) ( U F ) 3. U ( U E) = E 4. E ( U E) = U 5. E ( U E) = 6. E F U F U E Autres opérations En mathématiques, on utilise aussi les notions suivantes : Différence d ensembles Si E et F sont des sous-ensembles de U, on définit la différence de ces deux ensembles, et on note E \ F, l ensemble : E \ F = {x U x E et x F } = E U F Remarque : certains notent la différence de deux ensembles E F, mais cette notation est dangereuse, en algèbre linéaire par exemple.

17 17 Différence symétrique Si E et F sont des sous-ensembles de U, on définit la différence symétrique de ces deux ensembles, et on note E F, l ensemble E F = (E \ F ) (F \ E) E F = {x U ((x E et x F ) ou (x E et x F )} Correspondance entre propriétés et ensembles On se donne un ensemble E et trois propriétés "P ", "Q", "R" susceptibles d être vérifiées par des éléments de l ensemble E. À chacune des propriétés, on associe un sous ensemble de E. A = {x E P (x)}, B = {x E Q(x)}, C = {x E R(x)}. A B x A B A B x A B P et Q P (x) et Q(x) P ou Q P (x) ou Q(x) E A = {x E nonp (x)} nonp E E A = A non(non(p )) P E (A B) = ( E A) ( E B) non(p et Q) ((nonp ) ou (nonq)) E (A B) = ( E A) ( E B) non(p ou Q) ((nonp ) et (nonq)) A ( E A) = E P ou (nonp ) A ( E A) = P et (nonp ) impossible Travail à faire sur ordinateur Les trente neuf exercices interactifs du chapitre "Langage des ensembles"

18 18 Quantificateurs Le langage courant (français) est facilement ambigu : la phrase "tous les guichets sont fermés certains jours", qui est grammaticalement irréprochable, signifiet-elle "certains jours tous les guichets sont fermés", ou bien signifie-t-elle "chaque guichet est fermé certains jours", ce qui est tout différent? Les mathématiques, qui ont la prétention de pouvoir affirmer avec certitude que telle propriété est vraie, que telle autre est fausse, ne peuvent s accommoder d un tel risque de flou, même s il doit être artistique. C est la raison de la nécessité d un langage précis spécifique aux mathématiques. L objet de ce cours est de présenter les signes qui dans le langage mathématique expriment la quantification, c est à dire la quantité d objets (aucun, certains, tous) pour lesquels une propriété est vraie, signes que l on appelle des quantificateurs. Le quantificateur se lit : pour tout, quelque soit, pour chaque pour n importe quel Quantificateur universel Quantificateur existentiel Le quantificateur se lit : il existe L usage de ces quantificateurs est très précis et diffère de l usage intuitif du langage ordinaire. Cette précision est nécessaire pour que les formules écrites avec des quantificateurs aient un sens précis et non ambigu. C est pourquoi il importe de prendre conscience des règles d utilisation de ces quantificateurs. Quantificateur universel x E, P (x) Cette phrase formelle affirme que la propriété "P " est vraie pour tous les éléments x de l ensemble E, ou encore qu il n y a pas dans E de contre-exemple à la propriété "P ".

19 19 On remarquera que le quantificateur est placé avant la propriété qu il quantifie. En français, pour traduire le caractère universel d une propriété dans l ensemble E, on utilisera des expressions comme pour tout x, pour n importe quel x, quelque soit x, pour chaque x, pour un x quelconque. Cependant, alors que le quantificateur en mathématiques doit figurer explicitement dans l expression, il arrive en français qu une phrase exprime une propriété universelle sans qu un mot particulier comme tout, n importe quel... ne figure. Exemple de phrases universelles en français Tout homme est mortel. N importe quel homme est mortel. L homme est mortel. Ces phrases françaises sont rigoureusement équivalentes. Pourtant dans la dernière, il n y a pas de marque explicite pour le caractère universel de la propriété énoncée. C est l article défini qui joue ce rôle, et on doit d après le sens de la phrase, rétablir le quantificateur manquant pour traduire cette phrase en une phrase formalisée en mathématiques. On écrira : x H, M(x) où H désigne l ensemble des hommes et "M(x)" la propriété "x est mortel". Exemples mathématiques de phrases universelles Ce même phénomène se présente aussi en mathématiques, dans la mesure où les propriétés mathématiques sont énoncées en utilisant la langue naturelle. Lorsqu on dit "un entier positif est plus grand qu un entier négatif ", il est évident que le sens est "n importe quel entier positif est plus grand que n importe quel entier négatif ", et donc que cette phrase se traduit par : p N, n N, p n.

20 20 "L addition des entiers est commutative" : on sait que cela veut dire que le résultat de la somme de deux entiers (quelconques) ne dépend pas de l ordre des termes. Si on veut formaliser cette phrase, il faudra donc faire intervenir deux quantificateurs universels : Attention : x Z, y Z, x + y = y + x. La propriété " x, P (x)" est vraie pour n importe quelle propriété "P ", puisqu il n y a aucun élément dans l ensemble vide, et qu une propriété est vraie dans un ensemble s il n y a pas de contre-exemple. Remarque : La propriété " x E, P (x)" ne dépend pas de x, elle signifie exactement la même chose que " y E, P (y)". On dit que la variable x est muette. Exemple : Les deux formules suivantes sont équivalentes : x Z, y Z, x + y = y + x a Z, z Z, a + z = z + a En effet, les deux formules signifient : "l addition dans Z est commutative", et dans cette phrase, il n y a ni x, ni y, ni a, ni z... Quantificateur existentiel x E, P (x) Cette phrase formelle affirme que dans E il existe au moins un élément x qui vérifie la propriété "P ". Attention, il peut aussi en exister plusieurs. La seule affirmation faite est la suivante : l ensemble des éléments de E qui vérifie la propriété "P " est non vide. Ceci est différent du langage courant souvent plus ambigu. Dans certains contextes, l affirmation Il y a un x qui vérifie "P " peut vouloir dire un seul x, alors que dans le langage mathématique le sens est précis : au moins un x, éventuellement plusieurs.

21 21 Un exemple pour illustrer Si a Z, étudions la propriété "l équation 2x 2 (a + 2)x + a = 0 a une solution entière". L équation a deux racines, x = 1 et x = a ; si a est pair, elles sont entières toutes les deux, sinon, seule la première est entière. La propriété est donc 2 vraie, bien qu il y ait quelquefois deux solutions entières ; elle doit être comprise comme : x Z, 2x 2 (a + 2)x + a = 0 Souvent on précise quand même : "l équation 2x 2 (a + 2)x + a = 0 a au moins une solution entière", mais ce n est pas obligatoire. Attention La propriété " x, P (x)" est fausse quelle que soit la propriété "P ", puisque l ensemble vide ne contient aucun élément. Remarque La propriété " x E, P (x)" ne dépend pas de x. Les expressions " x E, P (x)" et " y E, P (y)" signifient exactement la même chose. Les variables x et y sont ici des variables muettes. Règles d usage des quantificateurs Pas de mélange Quand on écrit une phrase formelle avec des symboles logiques, on ne mélange pas des mots et des signes logiques : ou bien on écrit des phrases complètes en français, ou bien on écrit des phrases formelles. En particulier, il est incorrect d utiliser ces signes comme des abréviations et cela conduit à des erreurs. L ordre d écriture L ordre d écriture des quantificateurs est fondamental pour le sens d une phrase formelle.

22 22 Quand deux quantificateurs existentiels se suivent, on peut les échanger sans changer le sens. Quand deux quantificateurs universels se suivent, on peut les échanger sans changer le sens. Quand on inverse l ordre de deux quantificateurs différents, le sens change. Sens d une phrase formelle Considérons la propriété "P (x, y)" voulant dire x aime y. Si nous écrivons les deux phrases formelles suivantes, leur sens est très différent. phrase 1 x E, y E, P (x, y) phrase 2 y E, x E, P (x, y) Pour mieux saisir cette différence, il faut comprendre qu un système de parenthèses est sous entendu lorsque plusieurs quantificateurs se suivent. Si nous les rétablissons, cela donne : phrase 1 x E, ( y E, P (x, y)) ou encore : phrase 1 x E, Q(x) où "Q(x)" est la propriété " y E, P (x, y)". La propriété "Q(x)" signifie x aime au moins une personne. La phrase 1 affirme pour chaque élément x de l ensemble E l existence d une personne aimée y, y pouvant dépendre de x. ou encore : phrase 2 y E, ( x E, P (x, y)) phrase 2 y E, R(y) avec pour "R(y)" la propriété " x E, P (x, y)". La propriété "R(y)" signifiant y est aimé par tout le monde. La phrase 2 affirme donc l existence d une personne y au moins, qui est aimée par toutes les personnes (y compris par elle-même).

23 23 Exemple mathématique Interpréter les phrases formelles suivantes obtenues en inversant l ordre des quantificateurs : phrase 3 n N, p N, p n phrase 4 p N, n N, p n Rétablissons des parenthèses sous-entendues : phrase 3 n N, ( p N, p n) La propriété " p N, p n" veut dire que n est plus grand que tous les entiers. La phrase 3 signifie donc qu il existe un entier n plus grand que tous les autres. Ce qui est évidemment faux. phrase 4 p N, ( n N, p n) La propriété " n N, p n" veut dire qu étant donné p entier, on peut trouver un entier n plus grand que p. La phrase 4 signifie donc que pour chaque entier p, on peut trouver un entier plus grand, ce qui est vrai (par exemple p + 1 ou p + 15, ou encore p lui-même... ). Récapitulation : x E, y F, P (x, y) pour chaque x il y a un y, fonction de cet x, tel que... y F, x E, P (x, y) il y a un y, le même pour tous les x, tel que... On comprend pourquoi il faut mettre les quantificateurs devant la propriété qu ils quantifient : si on se permettait d écrire : y F, P (x, y), x E on ne saurait jamais laquelle des deux formules précédentes on veut exprimer. Négation d une phrase avec quantificateurs Comment prendre la négation d une phrase formelle écrite avec des quantificateurs?

24 24 Négation d une phrase universelle : x E, P (x). Comme on affirme qu une propriété "P " est universelle sur E, pour nier cette propriété, il suffit de trouver un contre-exemple. Autrement dit : (non ( x E, P (x))) ( x E, nonp (x)). Remarque sur la phrase précédente. Nous avons mis des parenthèses car sinon nous avons deux interprétations possibles. "non P Q" veut-il dire : "non (P Q)" ou "(non P ) Q"? ce qui n est pas la même chose. L usage est plutôt "(non P ) Q", mais il vaut mieux expliciter comme nous l avons fait. Négation d une phrase existentielle : x E, P (x) On affirme ici que pour un x au moins, "P " est vrai, ou encore que l ensemble des x pour lesquels "P " est vrai n est pas vide. Le contraire est évidemment que l ensemble des x pour lesquels "P " est vrai est vide ou encore que "(nonp )" est universelle : (non( x E, P (x))) ( x E, nonp (x)) Négation d une phrase comportant plusieurs quantificateurs Il suffit de se souvenir que ces phrases admettent un parenthésage implicite et d appliquer progressivement les propriétés précédentes. x E, y F, z G, t T, P (x, y, z, t)

25 25 Rétablissons un parenthésage : prenons la négation : x E, ( y F, ( z G, ( t T, P (x, y, z, t)))) non( x E, ( y F, ( z G, ( t T, P (x, y, z, t))))) appliquons la première propriété : x E, non( y F, ( z G, ( t T, P (x, y, z, t)))) appliquons la deuxième propriété : x E, y F, non( z G, ( t T, P (x, y, z, t))) appliquons la première propriété : x E, y F, z G, non( t T, P (x, y, z, t)) appliquons la deuxième propriété : Récapitulation x E, y F, z G, t T, nonp (x, y, z, t). Pour nier une phrase formelle commençant par plusieurs quantificateurs, conserve l ordre d écriture des variables, on change les " " en " ", et les " " en " ", puis on remplace la propriété "P " par sa négation, "nonp ". Attention Lorsqu on veut écrire la négation d une propriété mathématique, on commence par écrire soigneusement de façon formelle, sans oublier de quantificateurs et de signes logiques, ("et", "ou", "non", "implique", etc) la propriété directe. Puis on en prend la négation avec les règles précédentes. Exemple Pour écrire qu "un ensemble A, (A R), n est pas majoré", on commence par écrire la propriété "A est majoré ; (il existe un élément x qui est un majorant de A)" : x R, y A, y x. Ensuite on en prend la négation : x R, y A, y > x. Si on veut, on retraduit en français : "pour chaque réel, on peut trouver dans A un réel strictement plus grand."

26 26 Travail à faire sur ordinateur Les quatorze exercices interactifs du chapitre "Quantificateurs" Ensuite, testez vos connaissances Faites les quarante questions du test d auto-évaluation.

27 27 Sens de l implication On peut considérer que les phrases suivantes ont le même sens : si la proposition "P " est vraie, alors la proposition "Q" est vraie, si "P " alors "Q", "P implique Q", "P Q". Le sens de la phrase formelle "P Q", est celui-ci : ou bien "P " est faux, ou bien "P " et "Q" sont vrais en même temps. Attention : La proposition Si "P " alors "Q" ne dit pas que l hypothèse "P " est vraie ; elle dit seulement que si l hypothèse "P " est vraie, alors la conclusion "Q" l est aussi. Ceci s exprime donc à l aide des symboles de conjonction et de disjonction par l une ou l autre des phrases suivantes : "(non P ) ou Q" "non (P et (non Q))" Les formules suivantes sont donc équivalentes : "P Q" "(non P ) ou Q" "non (P et (non Q))" Condition nécessaire, condition suffisante Il s agit d une autre façon d exprimer les implications. Les phrases suivantes ont le même sens : "P Q" ; pour que "P " soit vraie, il faut que "Q" soit vraie ; "Q" est une condition nécessaire pour que "P " ; pour que "Q" soit vraie, il suffit que "P " soit vraie ; "P " est une condition suffisante pour que "Q". La même implication peut donc s écrire soit comme une condition suffisante, "pour que la conclusion soit vraie, il suffit que l hypothèse soit vraie", soit comme une condition nécessaire, "pour que l hypothèse soit vraie, il faut que la conclusion soit vraie".

28 28 Contraposée d une implication On a vu que les phrases suivantes sont équivalentes : P Q (non P ) ou Q L implication "P Q" est donc aussi équivalente à c est-à-dire à La proposition (non (non Q)) ou (non P ) (non Q) (non P ) (non Q) (non P ) s appelle la contraposée de l application "P Q" ; elle lui est équivalente. On a donc toujours "P Q " équivaut à " (non Q) (non P )". Attention L implication contraposée de "P Q" n a pas la même signification que l implication réciproque de "P Q" qui est "Q P ". Exemple d implication contraposée L implication : "ab = 0 (a = 0 ou b = 0)" sa contraposée : "(a 0 et b 0) ab 0" ; l implication "x = 1 x 2 = 1" est vraie (x supposé réel), ainsi bien sûr que l implication contraposée "x 2 1 x 1", tandis que l implication réciproque "x 2 = 1 x = 1" est fausse. Réciproque Pour toute proposition "P implique Q", on peut associer une application réciproque "Q implique P" où l hypothèse de la première est devenue la conclusion de la seconde et la conclusion de la première est devenue l hypothèse de la seconde. Attention, comme vous le savez déjà l une des propositions peut être vraie et l autre fausse.

29 29 Négation d une implication D après le sens même de l implication on voit tout de suite que non (P Q) est équivalente à P et (non Q) Equivalence logique Les phrases suivantes ont le même sens : les propriétés "P " et "Q" sont équivalentes ; "(P Q) et (Q P )" ; "P Q" ; "P ", "Q" sont simultanément vraies, ou simultanément fausses ; "(P et Q) ou ((non P ) et (non Q))" ; pour que "P " il faut et il suffit que "Q" ; "P " est vraie si et seulement si "Q" est vraie ; "P " est une condition nécessaire et suffisante pour que "Q". Bien entendu, dans toutes ces phrases, on peut échanger les rôles de "P " et de "Q". Travail à faire sur ordinateur Les trois exercices interactifs du chapitre "Implication" Ensuite, testez vos connaissances Faites les cinquante questions des deux tests d auto-évaluation.

30 30 Notion d application Le but est de généraliser la notion de fonction numérique y = f(x) étudiée au lycée. Habituellement, on se donne une fonction numérique en se donnant une partie non vide de R où varie la variable x (le domaine de définition de la fonction f), et une loi, un moyen de calcul qui, à une valeur du nombre x, associe une unique valeur de y dans R. Par exemple, y = 3x Quelquefois, par exemple quand on parle de la " fonction logarithme", le premier travail à faire est de préciser l ensemble de définition, ici R +. Jusqu à présent, à l étude d une fonction f, on a associé son graphe G f, un dessin du plan ainsi défini : G f = {(x, y) y = f(x)}. Une propriété caractéristique du graphe d une fonction est que tout élément x de l ensemble de définition est l abscisse d un point et d un seul du graphe. Nous voulons généraliser cette notion de fonction à des relations entre ensembles. Nous ne parlerons plus alors de fonction, mais plutôt d application (ou d application ponctuelle). Nous définirons une application à l aide de son graphe. Définition On définit une application f d un ensemble E dans un ensemble F en se donnant son graphe G, G E F ; ce sous-ensemble possède la propriété suivante : pour tout x de E, il y a un couple unique (x, y) appartenant à G. Pour tout x de E, soit f(x) l unique point y de F tel que (x, y) G. Notation On note l application f : E F, x f(x) = y E est l ensemble de définition (ou ensemble de départ), F est l ensemble d arrivée ; si y = f(x), y est l image de l élément x de E et x est un antécédent de l élément y de F. N oubliez pas À un élément de l ensemble de définition est associée une image et une seule. Par contre un élément de l ensemble d arrivée peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

31 31 Exemples Les fonctions numériques étudiées au lycée. Les transformations géométriques que vous avez étudiées au lycée sont suivant les cas, des applications du plan dans le plan, (par exemple une translation ou une rotation autour d un point, etc), ou des applications de l espace dans l espace, (par exemple une symétrie orthogonale par rapport à un plan), ou des applications de l espace dans un plan, (par exemple une projection orthogonale sur ce plan). A tout produit de deux ensembles E et F, on peut associer deux applications appelées ses deux projections canoniques : première projection pr 1 : E F E, (x, y) x deuxième projection pr 2 : E F F, (x, y) y A tout ensemble E est associée une application appelée application identique de E, notée Id E : E E, x x. On a donc : x E Id E (x) = x Le graphe de Id E est la diagonale de E E, c est à dire le sous-ensemble {(x, x) x E}. Voici une fonction très bizarre appelée fonction de Dirichlet, qu on ne peut pas représenter, (essayez!) : Φ : R R avec Φ(x) = 1 si x Q et Φ(x) = 0 sinon. Ces différents exemples doivent vous montrer que la notion d application est une notion très générale qui intervient dans tous les secteurs des mathématiques. Images et images réciproques Image d un ensemble par une application Soit une application f : E F, x f(x). A tout sous ensemble A de E, on associe un sous ensemble de F appelé image de A et noté f(a) : f(a) = {y F x A, f(x) = y} Exemples : f(e) est une partie de F. On s intéressera plus loin au cas f(e) = F. On a toujours f( ) =.

32 32 Image réciproque d un ensemble par une application On a une application f : E F, x f(x). A tout sous ensemble B de F, on associe un sous ensemble de E appelé image réciproque de B et noté f 1 (B) : f 1 (B) = {x E f(x) B} Faire très attention : Cette notation est mauvaise, mais elle est toujours utilisée dans les livres. En effet, ici, f 1 n est pas une application réciproque, au sens des applications usuelles : en général f n a pas d application réciproque. C est une application qui à un ensemble B F, fait correspondre un ensemble f 1 (B), f 1 (B) E, c est à dire une application de P (F ) P (E) Composition d applications. Lorsque l on a deux applications f : E F et g : F G, on peut définir une troisième application appelée composée des deux applications f et g et notée g f, (attention à l ordre d écriture!) : g f : E G, x (g f)(x) = g(f(x)) Attention : Ce produit n est en général pas commutatif. Par exemple, si on considère les fonctions numériques f(x) = sin x et g(x) = x 2, on a : (g f)(x) = sin 2 (x) et (f g)(x) = sin(x 2 ) Et si f(x) = x 2 et g(x) = ln(x), alors f g(x) = (ln(x)) 2, alors que g f n est pas définie! Propriétés Nous avons vu que dans une application, tout élément de l ensemble de départ avait une image et une seule. Si nous cherchons à savoir si la correspondance qui à y F associe x E est une application, nous sommes amenés à nous poser la question : combien un élément de F a-t-il d antécédents? Si chaque y a un et un seul antécédent, on pourra définir ce qu on appelle l application réciproque de l application donnée. Toutefois il est intéressant de décomposer la propriété : chaque y a un et un seul antécédent en deux propriétés : chaque y a au moins un antécédent dans E chaque y a au plus un antécédent dans E et nous distinguerons certaines applications suivant la réponse qu elles apportent à ces questions.

33 33 Surjection Définition Une application f : E F est surjective si tout élément de l ensemble d arrivée a au moins un antécédent, (peut-être plusieurs) : (f surjective ) ( y F, x E, y = f(x)) Si on considère l application numérique, (f surjective ) (f(e) = F ) f : E R, x f(x) fonction d une variable réelle x, définie sur un sous-ensemble E de R, les propriétés suivantes sont équivalentes et traduisent la surjectivité : 1. tout élément de l ensemble d arrivée est l image d au moins un point de l ensemble de départ, (peut-être de plusieurs) ; 2. toute parallèle à Ox coupe le graphe en au moins un point, (peut-être en plusieurs points) ; 3. toute équation f(x) = α a au moins une solution. Si f est surjective, on dit parfois que f est une application de E sur F. Toute application f : E F définit une application surjective f : E f(e) Injection Définition Une application f : E F est injective si tout élément de l ensemble d arrivée a au plus un antécédent, (peut-être aucun) : (f injective ) x E, x E, (x x f(x) f(x )) Cette propriété peut aussi s écrire (par contraposition) : (f injective ) x E, x E, (f(x) = f(x ) x = x ) Si on considère l applications numérique f : E R, x f(x) fonction d une variable réelle x, définie sur un sous-ensemble E de R, les propriétés suivantes sont équivalentes et traduisent l injectivité :

34 34 1. tout élément de l ensemble d arrivée est l image d au plus un point de l ensemble de départ, (peut-être d aucun) ; 2. toute parallèle à Ox coupe le graphe en au plus un point, (peut-être ne le coupe pas) ; 3. toute équation f(x) = α a au plus une solution, (peut-être aucune). Bijection Définition Une application f de E dans F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Tout élément de l espace d arrivée F a un antécédent et un seul dans E. Alors, et seulement dans ce cas, on peut définir une application de F dans E, qu on appelle application réciproque de f et qu on note f 1 qui vérifie les propriétés suivantes : x E, y F, [y = f(x) x = f 1 (y)] f 1 f = Id E et f f 1 = Id F f 1 est elle même une bijection. En effet, chaque élément x de E a un et un seul antécédent par f 1, puisqu il a une et une seule image par f par définition de l application f. Travail à faire sur ordinateur Les quarante exercices interactifs du chapitre "Applications" Ensuite, testez vos connaissances Faites les quatre-vingt questions des deux tests d auto-évaluation.

35 35 Relations Définition Soit un ensemble E, on dit qu on a défini une relation R sur l ensemble E, si on s est donné un ensemble G E E appelé graphe de la relation. Cette définition revient à dire que pour définir une relation, on se donne l ensemble des couples (x, y) d éléments de E qui vérifient la relation. On constate que l on a ici le même mode de définition que pour une application, qui est un cas particulier de relation, appelée relation fonctionnelle. Au lieu de noter (x, y) G nous noterons xry. Dans ce chapitre, nous étudions deux autres type classiques de relations : les relations d équivalence les relations d ordre Relation d équivalence Définition On dit qu une relation est une relation d équivalence si elle est : symétrique : x E, y E, xry yrx, réflexive : x E, xrx, transitive : x E, y E, z E, (xry et yrz) xrz. Exemples : a) Sur tout ensemble, l égalité de deux éléments. b) Sur l ensemble des droites (du plan ou de l espace), la relation " droites parallèles ou confondues ". c) Sur l ensemble des bipoints du plan (ou de l espace), la relation d équipollence. d) Pour les angles du plan, la relation de congruence modulo 2π. e) Dans Z, la relation x y mod(n), si x y est divisible par l entier n. f) Dans E = N N, (a, b)r(a, b ) a + b = a + b. g) Dans E = Z Z, (p, q)r(p, q ) pq = p q.

36 36 Classe d équivalence Étant donné un ensemble E muni d une relation d équivalence R, on appelle classe d un élément x l ensemble : Propriété C x = {y E xry}. Toute classe d équivalence contient au moins un élément. En effet, puisque tout élément x est équivalent à lui-même, la classe C x de x contient au moins l élément x. Théorème Soient les classes C x et C y de deux éléments x et y. Ces classes sont disjointes ou sont confondues. Démonstration 1 er cas : C x C y =. Les deux classes sont disjointes. 2 e cas : C x C y. Soit z C x C y. On a xrz et yrz, donc on a xrz et zry, et par transitivité xry. On en conclut que y est dans la classe de x : y C x. Montrons que la classe de y est contenue dans celle de x. Soit z 1 C y. On a yrz 1 et xry, et donc xrz 1 par transitivité. C est-à-dire z 1 C x et donc C y C x. De la même façon, on montre C x C y. Donc les deux classes C x et C y sont confondues. Définition C x est la classe d équivalence de tout élément z de C x. En effet, si y et z appartiennent à la classe de x, alors leurs classes sont confondues avec celle de x. Ceci justifie d appeler tout élément d une classe représentant de cette classe. Partition d un ensemble L ensemble E est partagé en une réunion disjointe de classes. E = x E C x On dit qu on a une partition de l ensemble E : Chaque élément de E appartient à une classe au moins Chaque élément de E appartient à une seule classe.

37 37 Exemples : a) x E, C x = {x} pour l égalité. b) Relation de parallélisme sur les droites du plan : si d est une droite, sa classe d équivalence C d est par définition la direction de d. c) Relation d équipollence sur les bipoints (A, B) : la classe d équivalence C AB est par définition le vecteur libre AB. d) Un angle modulo 2π. e) Pour la congruence modulo n, les classes d équivalence sont représentées par 0, 1, 2,..., n 1, où ī = {x k Z, x i = kn}. f) E = N N, (a, b)r(a, b ) a + b = a + b. La classe de (a, b) est par définition le nombre relatif a b. g) E = Z Z, (p, q)r(p, q ) pq = p q. La classe de (p, q) est par définition le nombre rationnel p q. Relation d ordre Définition Soit E un ensemble. Une relation binaire R dans E est une relation d ordre si elle est : réflexive : x E, xrx antisymétrique : x E, y E, (xry et yrx) x = y transitive : x E, y E, z E, (xry et yrz) xrz Exemples La relation d ordre x y sur les nombres réels. La relation d ordre x y sur les nombres réels. La relation d inclusion sur les parties d un ensemble.

38 38 Remarques Notation : Par analogie avec la relation d ordre sur les nombres, on note souvent les relations d ordre avec le symbole. Attention La relation x < y sur R n est pas une relation d ordre car elle n est pas réflexive. x < y pour x y et x y On dit cependant quelquefois que c est une relation d ordre strict, ce qui est dangereux puisque ce n est pas une relation d ordre. Même problème pour l inclusion stricte des ensembles. Ordre total La relation d ordre sur les nombres est une relation d ordre total. En effet deux éléments sont toujours comparables. Étant donnés deux nombres réels x et y, on a toujours x y ou x y. x R, y R, (x y ou x y) La relation d inclusion entre sous-ensembles d un ensemble E n est pas une relation d ordre total sur P(E). Il existe des ensembles tel que le premier ne soit pas inclus dans le second, ni le second inclus dans le premier. Par exemple [1, 3] [0, 2] et [0, 2] [1, 3] pour des intervalles de R. Majorant, minorant Définition : majorant Soit E un ensemble muni d une relation d ordre notée et F un sous-ensemble de E. On dit qu un élément M E est un majorant de F s il est plus grand que tous les éléments de F. x F, x M Si M est un majorant de F, tout élément plus grand que M est aussi un majorant.

39 39 Définition : minorant On dit qu un élément m E est un minorant de F s il est plus petit que tous les éléments de F. x F, m x Si m est un minorant de F, tout élément plus petit que m est aussi un minorant. Définition : ensemble majoré On dit qu un sous-ensemble F de E ensemble ordonné est majoré s il possède un majorant. Ce qui d après les règles d usage des quantificateurs se traduit par la phrase formelle : M E, x F, x M Définition : ensemble minoré Un sous-ensemble F d un ensemble ordonné E est minoré s il possède un minorant. m E, x F, m x Définition : ensemble borné Un sous-ensemble F d un ensemble ordonné E est borné si il possède à la fois un majorant et un minorant, c est-à-dire s il est à la fois majoré et minoré. m E, M F, x F, m x M Définition : plus grand élément Soit E un ensemble muni d une relation d ordre notée et F un sous-ensemble de E. On dit qu un élément M F est le plus grand élément de F, si c est un majorant de F, c est-à-dire si il est plus grand que tous les éléments de F. Cela se traduit formellement par : M F et ( x F, x M) On définit de la même façon la notion de plus petit élément m de F. m F et ( x F, m x)

40 40 Unicité du plus grand élément Nous avons mis le plus grand élément de F, car il est facile de voir que si nous supposons dans F deux tels éléments M et M, on a M M et M M, et donc d après l antisymétrie de la relation d ordre, M = M. Si un majorant de F appartient à F, alors c est le plus grand élément de F. Un sous-ensemble F majoré peut ne pas avoir de plus grand élément. Par exemple, l ensemble des nombres rationnels inférieurs à 2 est majoré par exemple par 2, mais il n a pas de plus grand élément. Définition Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E. On suppose que F est majoré. Si l ensemble des majorants de F admet un plus petit élément, il est appelé borne supérieure de F et noté sup F. Définition On définit de même la borne inférieure d un ensemble F minoré, comme le plus grand des minorants de cet ensemble et on le note inf F. Si F a une borne supérieure qui appartient à F, alors c est aussi le plus grand élément de F. Il est facile de montrer les implications suivantes qui résultent simplement des définitions. Propriétés Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E. Si F admet un plus grand élément M, alors M est la borne supérieure de F. Si F admet une borne supérieure a, alors a est un majorant de F. Application croissante Soient E et F deux ensembles ordonnés et f une application de E dans F. Définition f est croissante si deux éléments et leurs images sont rangés dans le même ordre. Cela se traduit formellement par x E, x E, (x x f(x) f(x ))