Mousse alors! fiche guide

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1 Mousse alors! fiche guide Notions abordées Mathématiques - Calculs d aires et de volumes - Polyèdres réguliers - Suites et dénombrements (nombres figurés et pyramidaux) - Vision dans l espace - Masse volumique Objectifs d apprentissage du PER MSN Poser et résoudre des problèmes pour modéliser le plan et l espace : - en représentant des solides en perspective et en faisant le développement. MSN Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres réels. Nombres : - Reconnaissance et utilisation de propriétés des nombres naturels. MSN 3-35 Mobiliser la mesure pour comparer des grandeurs : - en calculant des grandeurs (aires, volume, ) - en utilisant des procédures de calcul de longueur (théorèmes de Thalès, de Pythagore, etc.) MEP 3-31 MSN 35 Poser et résoudre des problèmes en mobilisant des notions, des concepts, des démarches et des raisonnements propres aux Mathématiques : - en utilisant les définitions et les propriétés des polygones et des polyèdres. Plan et espace : - Dénombrement des polyèdres réguliers avec justification. - Réalisation de développement et construction de polyèdres réguliers. - Description de polyèdres selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, relation d Euler, dual). - Détermination du volume ou d une grandeur manquante d un polyèdre en utilisant la formule de Pythagore ou le calcul algébrique. Nombres : - Analyse des nombres polygonaux, pyramidaux, - Identification d une suite de nombres de rangs consécutifs - Utilisation de procédures pour exprimer la loi de formation Disciplines et options concernées OS MEP : 10 e (résolution numérique) et 11 e (résolution littérale) Durée l activité Le problème B peut être un problème de recherche qui prend une période à lui seul. La durée de résolution des autres exercices nécessite une période. Le bricolage nécessite une dizaine de minute, mais on peut lui consacrer plus de temps si on procède à des assemblages. Mousse alors! fiche guide 1/5

2 Indications et solutions Un problème... des solutions A. L hexagone est composé de six triangles équilatéraux. Si AB = a, la hauteur d un triangle mesure : a OH = a ( ) = = 3a 3a A 90 H B 3a a aire AOB = = 3a O 3a aire hexagone = 6 = 3 3a La surface couverte par les disques représente 6 tiers de disques, soit trois disques dont la surface vaut : a 3 p r = 3 p ( ) = 3pa La densité surfacique vaut : 3pa 3 3a : p = 0, Valeurs intermédiaires en prenant 6 cm comme rayon : aire hexagone = 37,1 cm aire d un disque : 113,10 cm. La densité est identique. B. Comme Harriot, détermine le nombre de boulets qu il y a pour faire, 10 ou 1585 couches selon le type d empilement choisi. Pour t aider commence par déterminer combien il y a de boulets à la nième couche. Nb de couches Nb boules de la base Nb boulets de la pile n n n (n+1) (n+1) / 6 Nb de couches Nb boules de la base Nb boulets de la pile n n (n+1) / n (n+1) (n+) / 6 Le nb de boulets de la base du second empilement suit les nombres triangulaires. Les colonnes du total du nombre de boulets sont des nombres pyramidaux. /5 Mousse alors! fiche guide

3 On peut présenter aux élèves ces suites de manière graphique. Cela permet de justifier les formules ou de les aider à les découvrir. On peut représenter la suite des nombres triangulaires sous forme d escalier. Ci-contre, une illustration pour n =. Prendre deux «suites» et les emboîter pour former un rectangle. Le nombre de carrés sera de 5 = 0 ou, de manière générale : n (n+1). Le nombre correspondant pour une seule suite vaut pour n couche : n (n+1)/ n+1 = 5 n = On peut représenter les suites des nombres pyramidaux sous forme de rectangles qui forment un parallélépipède rectangle. Voici une illustration pour n = 5 et une pyramide à base carrée. Dans ce modèle une boule est représentée par un cube de 1 d arête. La couche de base qui compte 5 x 5 = 5 boules est représentée par un parallélépipède de 5 x 5 x 1. Prenons 6 pyramides de 5 couches. Avec ces 6 parallélépipèdes, on peut former la structure cicontre : n+1 = 11 n = 5 n+1 = 6 Le trou qu elle contient mesure : n x n-1 x n-1 (ici : 5 x x 9) soit exactement l espace pour réaliser la même structure avec les blocs de la couche n-1 des six pyramides. On va ainsi remplir exactement le parallélépipède avec les six pyramides. Le nombre de boules pour six pyramides correspond au volume du parallélépipède : = 330 Pour une seule pyramide, le nombre de boulets est donc de : soit 330 : 6 = 55 n (n+1) (n+1) 6 Mousse alors! fiche guide 3/5

4 Voici une illustration pour n = 5 et une pyramide à base triangulaire. Dans ce modèle une boule est représentée par un cube de 1 d arête. La couche de base qui compte 15 boules est représentée par un escalier de 5 marches, comme pour les nombres triangulaires. Prenons 6 pyramides de 5 couches. Avec ces 6 escaliers on peut former la structure ci-contre : n+ = 7 n+1 = 6 Le trou qu elle contient mesure : n n-1 n+1 (ici : 5 6) n = 5 soit exactement l espace pour réaliser la même structure avec les blocs de la couche n-1 des six pyramides. On va ainsi remplir exactement le parallélépipède avec les six pyramides. Le nombre de boules pour six pyramides correspond au volume du parallélépipède : = 10 Pour une seule pyramide, le nombre de boulets est donc de : soit 10 : 6 = 35 n (n+1) (n+) 6 C. Détermine le rapport entre le volume occupé par les boules et le volume des interstices dans le cas d un empilement de boules le plus compact possible. Les empilements les plus compacts comporteront toujours trois boules, qui forment un triangle équilatéral, surmontées par une quatrième boule. Les centres de ces boules forment un tétraèdre. La troisième couche hexagonale d un empilement compact peut être exactement superposée à la première couche. C est le cas des empilements «cubique face centrée» (à droite sur l illustration). Au contraire, les boules de la troisième couche peuvent être mises en regard des espaces vides de la première couche. Il s agit alors d un empilement «hexagonal compact» (à gauche). Nous allons calculer la compacité dans le cas d un empilement cubique face centrée. La maille du réseau est un cube dont les sommets sont les centres des sphères. Si r est le rayon d une boule, alors l arête diagonale d une face de cube mesure r. /5 Mousse alors! fiche guide

5 L arête du cube mesure : 16 r = r Le volume du cube est donc de : ( r) 3 = 16 r 3 Le cube contient 6 demi-boules et 8 huitièmes de boules, soit boules. Le volume occupé par des boules dans le cube vaut : pr3 3 16pr 3 = 3 La compacité est le rapport entre le volume occupé par les boules et le volume total. La compacité vaut donc : 16pr 3 p p 3 :(16 r3 ) = = 0,7 3 6 D. Utilise le facteur de compacité pour déterminer la masse volumique de la mousse syntactique dont les paramètres sont décrits à la page précédente. Les 7% du volume sont occupés par les boules et les 6% restants par la résine. La masse volumique vaut donc : 0, , = 78, [kg/m 3 ] Ces flotteurs sont relativement denses car on choisit des billes d épaisseur suffisante pour supporter 700 bars! Autre application pratique Vous pouvez télécharger la rubrique «Sésame, entasse-toi!» de l émission «impatience» de la RSR. On y développe comment des physiciens mènent des recherches commandées par des céréaliers sur le stockage et l écoulement des céréales dans les silos et la place qu elles y utilisent. impatience/?date= Quizz Combien compte-t-il de faces? Combien compte-t-il d arêtes et de sommets? 6 arêtes et sommets Relie les centres des faces deux à deux. Quel solide obtiens-tu? un tétraèdre. Le tétraèdre est son propre dual. Bricolage... prolongement Si on fait faire le bricolage à tous les élèves, on peut en profiter pour assembler 0 tétraèdres et former un icosaèdre : le solide platonicien qui compte le plus de faces. En passant, on aura formé deux bipyramides à base pentagonale. On peut se lancer dans des calculs de surface et de volume. Mousse alors! fiche guide 5/5