Objectifs du chapitre. 1. Principe du chiffrement. division euclidienne par 26, on obtient
|
|
- Didier Desjardins
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 3 Entiers A premiers entre eux Objectifs du chapitre En utilisant un nouveau système de chiffrement, nous allons étudier la notion d entiers premiers entre eux. B Pour débuter Activité 3 Chiffrement de Hill 1. Principe du chiffrement On fixe quatre entiers a, b, c et d qui constituent la clé du chiffrement. Les lettres du message sont regroupées par blocs de 2. Chaque lettre est ensuite codée par un nombre compris entre 0 et 25 suivant son ordre dans l alphabet (A 00, B 02, etc.). On obtient une suite de nombres P1, P2, P3, P4... On chiffre ensuite le bloc de deux nombres PP 12 par le bloc C 1 C 2 de la manière suivante : a b P on effectue le calcul matriciel c d 1 ; P2 en remplaçant chaque coordonnée du vecteur obtenu par son reste dans la C 1 division euclidienne par 26, on obtient C2. On procède de la même façon avec le bloc P P Le texte sera chiffré par le texte où les nombres C1C2C3C4... sont remplacés par les lettres correspondant à leur rang dans l alphabet. Exemple Prenons a = 3, b = 5, c = 6 et d = 17 et chiffrons le texte MATHEMATIQUE. Compléter le tableau suivant : Lettre M A T H E M A T I Q U E Rang P i 12 0
2 a) Le premier bloc est (12 0). Indiquer les autres blocs. b) Chiffrons ce bloc. C 1 Écrivons «C2 = (mod 26)» pour C1 = (mod 26) C2 = (mod 26) C1 = 10 On a alors :. C2 = 20 De la même façon, chiffrer les blocs suivants et compléter le tableau suivant : Rang C i Lettre K U 2. Principe du déchiffrement Le rang PP 12 P3P4... de chaque lettre du texte clair est obtenu par le calcul matriciel suivant : P 1 1 a b C1 «(mod 26). P2 = c d» C2 1 a b On sait calculer la matrice c d. Cette égalité «(mod 26)» signifie que l on doit donc chercher, si elle existe, une matrice à coefficients entiers dont le produit matriciel avec a b c d nous donne «modulo 26», la matrice I 2. Prenons un exemple. Calculer à l'aide d'une écriture utilisant des entiers. a) Compléter la table de multiplication par 21 modulo 26 ci-dessous : (mod 26) 21 11= (mod 26) 21 1= (mod 26) = (mod 26) 21 2 = (mod 26) = (mod 26) 21 3 = (mod 26) = (mod 26) 21 4 = (mod 26) = (mod 26) 21 5 = (mod 26) = (mod 26) 21 6 = (mod 26) = (mod 26) 21 7 = (mod 26) = (mod 26) 21 8 = (mod 26) = (mod26) 21 9 = (mod 26) = (mod 26) = (mod 26)
3 b) En déduire «un inverse de 21 modulo 26» (c est-à-dire un entier qui, multiplié par 21, est égal à 1 modulo 26 et une matrice « mod.» a) Compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous. Lettre chiffrée J W K T Rang C i 9 Rang P i 7 Lettre claire H P C1 b) En utilisant l égalité «5 26 P2 = 6 3 C2 (mod )», compléter la troisième ligne du tableau et déchiffrer le message JWKT. 3. À l aide du tableur pour chiffrer Préparer la feuille de calcul suivante : On utilise la fonction «=CODE» du tableur pour obtenir le code ASCII d une lettre puis on soustrait 65 pour obtenir son rang dans l alphabet. (Cf. Prérequis C de la séquence 1.) Compléter la ligne 5. Compléter les cellules B6 et C6. Compléter les cellules B7. On pourra utiliser la fonction «=MOD» du tableur. Compléter les cellules B8. On pourra utiliser la syntaxe «=CAR(B7+65)» pour obtenir : Copier-glisser les formules.
4 4. À l aide du tableur pour déchiffrer Sur la même feuille de calcul, ajouter les informations suivantes : Compléter la ligne 13. Calculer l inverse de 21 modulo 26. Pour cela, effectuer le produit modulo 26 de chacun des entiers de 1 à 25 par 21. Saisir en Q3 «= MOD(O3*$Q$1;26)» et copier-glisser jusqu en Q27. Retenir celui qui donne un produit égal à 1. Saisir en R3 «=SI(Q3=1;O3;»» )» et copier-glisser jusqu en R27. Afficher l inverse de 21 modulo 26 en faisant la somme des éléments de R3 à R27. Saisir en R28 «=SOMME(R3;R27)». On obtient : Compléter les cellules B14 et C14.
5 Compléter les cellules B15 puis B16. On obtient : Copier-glisser les formules. 5. Modification de la clé Modifier la feuille de calcul précédente en prenant successivement : a) a = 3, b = 9, c = 2 et d = 20. b) a = 7, b = 8, c = 4 et d = 6. c) a = 12, b = 8, c = 4 et d = 5. d) a = 10, b = 5, c = 3 et d = 5. En regardant dans chaque cas le nombre ad bc, conjecturer une condition nécessaire pour que le calcul de l inverse modulo 26 soit possible et, ainsi, le déchiffrement du message. Activité 4 Combinaison linéaire Pour stocker des matériaux, une entreprise dispose au maximum de 9 petits conteneurs et de 6 grands conteneurs. Un petit conteneur peut contenir 10 m 3 de matériaux et un grand 15 m 3. L entreprise veut stocker 120 m 3. On note x le nombre de petits conteneurs nécessaires et y celui de grands. Justifier que x et y vérifient le système suivant : x 0 x 9 y 0 y 6 2 y x
6 Représenter dans un repère la zone du plan définie par le système ci-dessus. Donner la liste de toutes les solutions possibles pour l entreprise. Quelle est celle qui nécessite le moins de conteneurs? C Cours 1. Définition Définition 2 Entiers premiers entre eux Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a, b) = 1. Remarque Il ne faut pas confondre nombres premiers et nombres premiers entre eux. Propriété 7 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On note PGCD (a, b) = d et a et b les entiers tels que a = da et b = db. Alors on a PGCD (a, b ) = 1. Démonstration Supposons que PGCD( a, b ) = d 1, alors a = d a et b = d b où a et b sont des entiers. Par conséquent, a = dd a et b = dd b et ainsi dd (qui est strictement supérieur à d) est un diviseur de a et de b, ce qui contredit PGCD (a, b) = d. Donc PGCD (a, b ) = Théorème de Bézout a) Le théorème Point historique Étienne Bézout ( ) Bézout est d une famille de magistrats de Nemours. La lecture d Euler décide Bézout à ne pas suivre la voie familiale ; ses premiers mémoires de mathématiques lui donnent accès à l Académie des sciences en C est en 1763 que la carrière de Bézout prend une nouvelle orientation. Bézout est chargé par le duc de Choiseul d être l examinateur des Gardes du pavillon et de la marine. Le poste est important : il décide de la carrière de nombreux
7 jeunes militaires. Il est lucratif : Bézout écrit son propre cours de mathématiques en 6 volumes (arithmétique, géométrie et trigonométrie, algèbre, mécanique, applications de la mécanique, traité de navigation). En 1768, Bézout accroît son influence en devenant examinateur des élèves de l artillerie. Il écrit un nouveau Cours complet de mathématiques à l usage de la marine et de l artillerie, qui aura un succès considérable. Napoléon Bonaparte a connu les livres de Bézout quand il était élève à l école de Brienne. Il continuait à les étudier dans son exil de Sainte-Hélène. Cned, revue Diagonales Théorème Théorème de Bézout Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On a PGCD (a, b) = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Remarque Démonstration La relation au + bv = 1 est appelée relation de Bézout. On rappelle que toute partie non vide de Nadmet un plus petit élément. Supposons que PGCD (a, b) = 1. Considérons l ensemble E des entiers naturels non nuls s écrivant sous la forme au + bv où U et V sont des entiers relatifs. L ensemble E est une partie non vide de N, il possède donc un plus petit élément. Notons n 0 le plus petit élément de E, n 0 est de la forme n0 = au+ bv. La division euclidienne de a par n 0 donne : a= n0 q+ r = ( au+ bv) q+ r avec 0 r < n 0. On a donc r = a ( au+ bv) q = a( 1 u) + b( vq) donc r est de la forme au + bv. Si r 0, comme r < n 0 et que r est de la forme au + bv, r est un élément de E strictement plus petit que n 0. Il y a contradiction, on en déduit que r = 0. Donc n 0 divise a. De la même façon, n 0 divise b. L entier n 0 est donc un entier naturel diviseur commun à a et à b. Ces entiers sont premiers entre eux donc n 0 = 1 et, ainsi, il existe des entiers relatifs u et v tels que 1= au + bv. Réciproque Supposons qu il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. Si d est le PGCD de a et b, il divise a et b donc d divise au + bv soit d divise 1. Ainsi d = 1 (car d est positif). On a donc PGCD (a, b) = 1, c est-à-dire que a et b sont premiers entre eux.
8 Point méthode Exemple 2 Solution Déterminer les coefficients de la relation de Bézout Par tâtonnements! Soit a = 4 et b = 7. Trouver trois couples (u, v) tels que au + bv = 1. On cherche un multiple de 4 et un multiple de 7 qui diffèrent de 1. On a 4 2= 8 et 7 1= 7donc 2 4+ ( 1) 7= 1. Ainsi, u = 2 et v = 1 conviennent. On a 4 9 = 36 et 7 5 = 35 donc 9 4+ ( 5) 7= 1. Ainsi, u = 9 et v = 5 conviennent. On a 4 5 = 20 et 7 3 = 21 donc = 1. Ainsi, u = 5 et v = 3 conviennent. Remarque Exemple 3 Solution Le couple (u, v) n est pas unique. À l aide d un algorithme En utilisant l algorithme d Euclide, démontrer que 392 et 33 sont premiers entre eux. En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 392u + 33v = 1. On écrit les divisions euclidiennes successives de l algorithme d Euclide : 392 = = donc PGCD(392, 33) = 1 et, ainsi, 392 et 33 sont 29 = premiers entre eux. 4= // Pour déterminer u et v, on écrit chaque reste en repartant de la fin : 29 = donc 1= , 33 = donc 4= , 392 = donc 29 = ; puis on reporte chaque reste : 1= ; on remplace 4 : 1= 29 7 ( ) = ; on remplace 29 : 1= 8 ( ) 7 33 = Ainsi, 1= donc u = 8 et v = 95 conviennent.
9 b) Coefficients de la relation de Bézout et TICE Soit a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux avec a > b. On souhaite écrire un algorithme donnant un couple d entiers relatifs (u ; v) tels que au + bv = 1. Langage naturel Entrées a ; b Initialisation u prend la valeur 1, v prend la valeur 0 Traitement Tant que b >0 x prend la valeur 0, y prend la valeur 1 c prend la valeur 0, d prend la valeur 0 Fin du Tant que q prend la valeur Partie Entière (a / b) ; r prend la valeur a bq ; c prend la valeur u ; d prend la valeur v ; u prend la valeur x ; v prend la valeur y ; x prend la valeur c xq ; y prend la valeur d yq ; a prend la valeur b ; b prend la valeur r ; Sortie Afficher a, u et v
10 Calculatrice Texas Instrument Casio Exemple : 3. Théorème de Gauss a) Théorème de Gauss Point historique Karl Friedrich Gauss ( ) Gauss naît dans une famille très pauvre à Brunswick [en Allemagne] à 150 kilomètres de Hambourg. Il aimait à raconter des histoires de son enfance à ses
11 proches. Il avait appris à lire et compter seul vers 3 ans, questionnant les adultes autour de lui. À 7 ans, il est remarqué par son instituteur pour avoir calculé instantanément la somme des nombres de 1 à 100, expliquant qu il suffisait de grouper les nombres en 50 paquets de somme 101 : 100+1, 99+2, 98+3, etc. Il a la chance de rencontrer un jeune mathématicien qui le guide (il a une dizaine d années) dans ses premières lectures mathématiques. Le soutien financier du duc de Brunswick lui permet de continuer ses études. Les découvertes de Gauss en arithmétique se succèdent alors rapidement et Gauss publie (il a 24 ans) en 1801 ses Recherches arithmétiques (en latin). Il est impossible de décrire l ensemble de l œuvre de Gauss. Toute sa vie, Gauss poursuivra ses travaux théoriques et pratiques en mathématiques (géométrie des surfaces, arithmétique, analyse numérique), en astronomie, en statistique (loi normale et courbe en cloche), en topographie (cartographie de Hanovre), en physique et géologie (magnétisme), en économie, etc. Dans tous ces domaines, la contribution de Gauss est exceptionnelle et c est à juste titre qu on l a appelé Prince des mathématiciens. Cned, revue Diagonales Théorème 2 Théorème de Gauss Soit a, b et c des entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c. Démonstration Si a est premier avec b, d après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. En multipliant par c, on obtient : acu + cbv = c. Or, a divise acu et, comme a divise bc, a divise bcu. Ainsi, a divise acu + cbv c est-à-dire a divise c. Conséquences Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c. Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b. Démonstration Comme c est divisible par a et b, il existe des entiers k et k tels que c = ka = k b. Comme a divise c, a divise k b. Comme a et b sont premiers entre eux, d après le théorème de Gauss, a divise k, donc il existe un entier n tel que k = na. On en déduit que c = k b = nab, donc que c est divisible par ab. Soit un nombre premier p divisant un produit ab. Si p divise a, la propriété est démontrée.
12 Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux. Comme p divise le produit ab, d après le théorème de Gauss, p divise b. b) Applications Résolution d équations diophantiennes Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Équation du type ax = by d inconnues x et y appartenant à Z Exemple 4 Solution Exemple 5 Solution Déterminer les entiers x et y tels que 4x = 3y. L entier 4 divise 3y et 4 est premier avec 3. D après le théorème de Gauss, 4 divise y. Ainsi, il existe un entier k tel que y = 4k. On a donc 4x = 3 4k d où x = 3k. Réciproquement, si x = 3k et y = 4k, 4x = 4 3k = 12k et 3y = 3 4k = 12k donc on a bien 4x = 3y. Les solutions de cette équation sont les couples (3k ; 4k) avec k Z. Équation du type ax + by = c d inconnues x et y appartenant à Z Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 1. Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 5. ( ) On remarque que 2 ( 1) + 3 1= 1 donc le couple 1; 1 est solution de cette équation. De plus, 2x + 3y = 1 équivaut à 2x + 3y = 2 ( 1) équivaut à 2( x + 1) = 3( y + 1). Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 1 alors 3 divise 2( x + 1). Comme 3 est premier avec 2, d après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 1). Donc il existe un entier k tel que x + 1 = 3k soit x = 1+ 3 k. En reportant la valeur de x dans 2( x + 1) = 3( y + 1), on obtient 2 3k = 3( y + 1)soit y + 1= 2 k,soit y = 1 2 k. Réciproquement, si x = 1+ 3 k et y = 1 2 k, 2x + 3y = 2( 1+ 3k) + 31 ( 2k) = 2+ 6k + 3 6k on a bien 2x + 3y = 1. ( ) Z Les solutions de cette équation sont les couples + 1 3k ; 1 2k avec k. Comme 2 ( 1) + 3 1= 1,en multipliant par 5 on a : 2 ( 5) + 3 5= 5, donc le couple ( 5 ; 5) est solution de cette équation. De plus, 2x + 3y = 5 équivaut à 2x + 3y = 2 ( 5) équivaut à 2( x + 5) = 3( y + 5).
13 Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 5 alors 3 divise 2( x + 5). Comme 3 est premier avec 2, d après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 5). Donc il existe un entier k tel que x + 5 = 3k soit x = 5+ 3 k. En reportant la valeur de x dans 2( x + 5) = 3( y + 5), on obtient 2 3k = 3( y + 5)soit y + 5= 2 k ou encore y = 5 2 k. Réciproquement, si x = 5+ 3 k et y = 5 2 k, 2x + 3y = 2( 5+ 3k) + 3( 5 2k) = k k on a bien 2x + 3y = 5. ( ) Les solutions de cette équation sont les couples 5+ 3k ; 5 2k avec k Z. Remarquons que l on aurait aussi pu raisonner comme au 1 en remarquant que (1 ; 1) était solution de cette équation diophantienne. Point historique Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat Il a vécu de 1601 à Originaire de la région de Toulouse, il a une brillante carrière de magistrat dans cette ville. Cela lui laisse peu de temps pour faire, en amateur, des recherches en mathématiques. La vie scientifique commence à s animer en France dans les années 1630 sous l impulsion du Père Mersenne qui écrit inlassablement aux uns et aux autres pour les informer de leurs recherches respectives. C est ainsi que Fermat prend contact avec les autres grands scientifiques de son époque : Descartes, Desargues, Pascal. Dans tous les domaines qu il étudie, il apporte des contributions importantes : il participe à la fondation des calculs différentiel et intégral en donnant, par exemple, une méthode nouvelle de recherche de maxima et minima et en 1654, un échange célèbre de lettres avec Blaise Pascal est à l origine du calcul des probabilités. Mais il est un domaine où personne n est capable de rivaliser avec Pierre de Fermat, c est celui de l arithmétique. Les questions qu il pose sont profondes et d une très grande difficulté. Il donnera heureusement, en 1659, un aperçu de ses méthodes. L un des problèmes que s est posé Fermat a une histoire extraordinaire : montrer qu un entier strictement positif qui est une puissance n-ième d entier ne peut être, pour n > 2, une somme de deux puissances n-ièmes d entiers strictement positifs, autrement dit, l équation a n + b n = c n n admet pas de solution en nombres entiers strictement positifs. Ce problème, Fermat a cru l avoir résolu, mais on en doute, tellement les mathématiciens des siècles suivants ont «séché» dessus. Ce n était pas toujours en pure perte, car de belles théories, utiles pour les mathématiques, ont été construites pour essayer de le résoudre. Mais le problème résistait toujours. Dans les années , le problème de Fermat a été réinterprété : on a montré que ce serait une conséquence d une propriété très générale. C est en que le mathématicien anglais Andrew Wiles a démontré cette propriété. Du coup, le théorème de Fermat était enfin prouvé. Pour une fois,
14 tous les journaux ont parlé de mathématiques. Ce théorème a un énoncé d une grande simplicité, compréhensible par tout lycéen. A-t-il un intérêt pratique? Pour le moment aucun, mais les mathématiques qu il a contribué à développer en ont certainement un! Cned, revue Diagonales Le théorème suivant n est pas une connaissance exigible du programme. Théorème 3 Soit n un entier. p 1 Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n 1[ p]. Corollaire p Si p est un entier naturel premier et n est un entier naturel alors n n [ p ]. Démonstration La démonstration du théorème et de son corollaire font l objet de l exercice I. D Exercice 6 Exercices d apprentissage Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? 171 et et Exercice 7 Déterminer les entiers x et y tels que 55x = 9y. Déterminer les entiers x et y tels que 21x = 56y. Exercice 8 Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 1. Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 78. Exercice 9 Exercice 10 7 À l aide du petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout entier n, n n est divisible par 21. On se propose de déterminer l ensemble des entiers relatifs n vérifiant le système :. n 917 [ ] n 35 [ ]
15 Recherche d un élément de On désigne par (u ; v) un couple d entiers relatifs tel que 17 u + 5 v = 1. a) Justifier l existence d un tel couple (u ; v). b) On pose n0 = 3 17u+ 9 5v. Démontrer que n 0 appartient à. c) Donner un exemple d entier n 0 appartenant à. Caractérisation des éléments de a) Soit n un entier relatif appartenant à. Démontrer que n n0 085 [ ]. b) En déduire qu un entier relatif n appartient à si, et seulement si, il peut s écrire sous la forme n = k où k est un entier relatif. Application Zoé sait qu elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons? Exercice 11 Le but de l exercice est d étudier certaines propriétés de divisibilité de l entier n 4 1, lorsque n est un entier naturel. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4 n est congru à 1 modulo Prouver, à l aide du petit théorème de Fermat, que 4 1 est divisible par 29. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4 n par 17. En déduire 4k que, pour tout entier k, le nombre 4 1 est divisible par 17. n Pour quels entiers naturels n le nombre 4 1 est-il divisible par 5? À l aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailCours d algorithmique pour la classe de 2nde
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailQuelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple
Quelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple Michel Habib habib@liafa.jussieu.fr http://www.liafa.jussieu.fr/~habib Algorithmique Avancée M1 Bioinformatique, Octobre 2008 Plan Histoire
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailConversion d un entier. Méthode par soustraction
Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailDécouverte du tableur CellSheet
Découverte du tableur CellSheet l application pour TI-83 Plus et TI-84 Plus. Réalisé par Guy Juge Professeur de mathématiques et formateur IUFM de l académie de Caen Pour l équipe des formateurs T 3 Teachers
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailVous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels.
Cette partie est consacrée aux nombres. Vous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels. L aperçu historique vous permettra
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailDEVOIR MAISON : THEME : LES CLES DE CONTROLE. I. La clé des codes barres
DEVOIR MAISON : THEME : LES CLES DE CONTROLE I. La clé des codes barres Le code U.P.C. (Universal Product Code) utilise des nombres de treize chiffres pour désigner un produit de consommation. Les douze
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détail= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailSéquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire
Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailFICHE UE Licence/Master Sciences, Technologies, Santé Mention Informatique
NOM DE L'UE : Algorithmique et programmation C++ LICENCE INFORMATIQUE Non Alt Alt S1 S2 S3 S4 S5 S6 Parcours : IL (Ingénierie Logicielle) SRI (Systèmes et Réseaux Informatiques) MASTER INFORMATIQUE Non
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailMPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques
MPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques I. Introduction De nombreux domaines font appel aux circuits logiques de commutation : non seulement l'informatique, mais aussi les technologies de l'asservissement
Plus en détail