V- UN EXEMPLE DE CHOIX DE FILTRE

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1 V- UN EXEMPLE DE CHOIX DE FILTRE L exemple que nous allons considérer est celui du filtrage par ARMA(p,q) du taux d épargne au Royaume-Uni sur la période trim à trim Le graphe de la série est donné ci-dessous. Précisons que nous limitons nos choix de filtres à la seule famille ARMA, on suppose en particulier a priori que la série est stationnaire V-A : SELON LA PROCEDURE BOX-JENKINS On commence par examiner les autocorrélations totales et partielles. Les résultats obtenus sont les suivants : Correlations of Series TSUK Quarterly Data From 1970:01 To 1996:03 Autocorrelations 1: : : : Partial Autocorrelations 1: : : : Les graphes de ces fonctions ainsi que l indication des bornes ± 2 / T = ± 2 / 107 =± sont donnés ci-après. On peut identifier une décroissance assez régulière sur les autocorrélations et ce qui ressemble à une rupture après l ordre deux sur les autocorrélations partielles. En d autres termes, on retiendrait un processus AR(2).

2 Autocorrélations Autocorrélations Partielles L estimation de ce processus sous RATS 4.31 à l aide de la commande Boxjenk donne les résultats suivants : Dependent Variable TSUK - Estimation by Box-Jenkins Iterations Taken 3 Quarterly Data From 1970:03 To 1996:03 Usable Observations 105 Degrees of Freedom 102 Centered R** R Bar ** Uncentered R** T x R** Mean of Dependent Variable Std Error of Dependent Variable Standard Error of Estimate Sum of Squared Residuals Durbin-Watson Statistic Q(26-2) Significance Level of Q Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 1. CONSTANT AR{1} AR{2} Les deux coefficients de la partie autorégressive sont significatifs. Précisons que la normalisation des écritures sous RATS conduit à l estimation non pas du terme constant du processus mais à celle de l espérance de la série. Ainsi, dans le cas présent, cette moyenne estimée est de Sous une forme plus habituelle, nous écririons : tsukt = tsukt tsukt u t, avec = ( ) Les racines du polynôme caractéristique de ce processus sont z 1 = et z 2 = La stationarité stricte exige qu elles soient de module supérieur à l unité. Cela est vérifié sur ces estimations et compte-tenu de la logique admise a priori ici, même si la valeur de la seconde indique qu une étude plus fine du problème mériterait d être effectuée, nous admettrons la conformité du modèle à l exigence de stationarité. Les matrices estimées de variance-covariance (sur et au-dessous de la diagonale principale) et de corrélation (audessus de la diagonale principale) des estimateurs sont : Covariance\Correlation Matrix of Coefficients CONSTANT AR{1} AR{2} CONSTANT AR{1} AR{2}

3 On notera une corrélation relativement élevée entre les deux coefficients autorégressifs, ce qui résulte naturellement des autocorrélations fortes observées précédemment entre tsuk t et tsuk t 1, et traduit un problème de colinéarité. La statistique de Box-Ljung ne détecte pas d autocorrélation dans la série résiduelle. De même, les tests de Lagrange réalisés à partir des régressions du type : p u = β + β tsuk + β tsuk + α u + v sur H t 0 1 t 1 2 t 2 i t i i= 1 0:α = = α = 0 au moyen de la statistique TR 2 mènent à : 1 p Chi-Squared(p=2)= with Significance Level Chi-Squared(p=4)= with Significance Level et ne détectent également pas de problème, ce que confirme aussi les représentations des autocorrélations partielles et totales sur la série résiduelle : t Autocorrélations Autocorrélations Partielles Nous avons également réalisé des tests d absence d effets ARCH de la forme TR 2 sur 2 2 u = α + α u + v t 0 p i= 1 i t i et on obtient pour p valant respectivement 2 et 4 : t Chi-Squared(p=2)= with Significance Level Chi-Squared(p=4)= with Significance Level Les résidus seraient donc exempts de tels effets. La variance résiduelle paraît toutefois être plus faible sur la fin de la période d observation comme on peut le voir sur le graphe de la série u 2 t ci-dessous. Si on coupe l échantillon en deux parties égales et que l on teste l égalité des deux variances (variance supposée constante au sein de chaque sous-échantillon), on obtient : F(52,53)= with Significance Level Graphe des résidus au carré

4 Dans cet exemple nous avons décidé d ignorer cette complication. En fait, un traitement plus complet de la série tsuk imposerait aussi que l on revienne, ainsi que déjà signalé auparavant, sur l hypothèse de stationnarité, or on se limite pour l instant à une recherche au sein de la seule classe ARMA(p,q). On peut encore estimer des processus surdimensionnés par rapport au processus de base, soit respectivement un AR(3) et un ARMA(2,1). Les résultats sont les suivants : - Processus AR(3) Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 1. CONSTANT AR{1} AR{2} AR{3} Covariance\Correlation Matrix of Coefficients CONSTANT AR{1} AR{2} AR{3} CONSTANT AR{1} AR{2} AR{3} Le symptôme de multicolinéarité s estompe mais le coefficient relatif à tsuk t 3 est non significatif, ce qui nous ramène à l AR(2). - Processus ARMA(2,1) Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 1. CONSTANT AR{1} AR{2} MA{1} Covariance\Correlation Matrix of Coefficients CONSTANT AR{1} AR{2} MA{1} CONSTANT AR{1} AR{2} MA{1} Ici, seul le coefficient de tsuk t 2 reste significatif (en dehors du terme constant), en particulier le premier coefficient autorégressif et le coefficient de la moyenne mobile ne le sont individuellement plus et dans le même temps on observe une augmentation des corrélations entre les estimateurs par rapport à celle révélée dans le modèle de référence. L exacerbation du problème de colinéarité conduit à ne pas privilégier ce dernier processus relativement à l AR(2) initial.

5 Pour finir, nous avons essayé d apprécier la qualité du processus AR(2) dans une utilisation en prévision. Pour cela on calcule la statistique U de Theil sur la base de prédicteurs construits pour des horizons de 1,2,3 et 4 trimestres, le modèle étant réestimé pour chaque sous-échantillon [1970 :I, date_fin] et date_fin allant de 1992 :4 à 1996 :2 par pas de un trimestre. On dispose donc d échantillons constitués d erreurs de prévisions pour chacun des quatre horizons considérés de tailles respectives 15, 14, 13 et 12 points. Les résultats sont : Forecast Statistics for Series TSUK Step Mean Error Mean Abs Error RMS Error Theil U N.Obs Sans être extraordinaires, les valeurs obtenues montrent que le processus AR(2) retenu fait mieux qu une marche au hasard, ce qui n est jamais acquis d avance. V-B : RECOURS AUX CRITERES DE SELECTION Nous utilisons les deux critères les plus populaires : AIC d Akaike d une part et BIC de Schwarz d autre part, avec : AIC = 2 l + 2k = n log( RSS ) + 2k à une constante près i i i i i BIC = 2 l + k log( n) = n log( RSS ) + k log( n) à une constante près i i i i i et : l i =log-vraisemblance du modèle i, k i = nombre de paramètres à estimer au sein du modèle i, RSS i = somme des carrés des résidus du modèle i n= nombre d observations utilisé dans les estimations des différents modèles, invariant avec i. Dans ce qui suit nous avons recherché le modèle ARMA(p,q) optimal, avec p q {,,2,,} {,,2,,} Les estimations ont toutes été effectuées sur la période 1971/1 1996/3, soit n = 103. Les résultats sont présentés dans les deux tableaux ci-après. On sait que le critère AIC conduit en moyenne à une surestimation des ordres vrais, ce qui n est pas le cas (asymptotiquement) pour le critère BIC. Dans le cas présent on peut voir que les deux techniques retiennent le même processus, à savoir un AR(2), confirmant ainsi le choix effectué selon la méthode de Box-Jenkins. On remarquera aussi la non convergence de l algorithme pour les processus les plus complexes à estimer (à la fois les moins parcimonieux et surtout possédant un nombre relativement élevé de paramètres MA), ce qui souligne la nécessité, pour de tels filtres, de disposer d un nombre d observations conséquent.

6 AIC i q p Non convergence BIC i q p Non convergence