2 )- Que peut-on en conclure dans chaque cas. 2

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1 F(N) L.M.D-ST Eercice 1 : Une particule de masse m=10 kg se déplaçant sur une trajectoire rectiligne, sans frottement, est soumise à la force F() représentée sur la figure ci-dessous (m) ) alculer le travail de la force, quand la particule se déplace depuis l origine jusqu à la position = 8 m. ) Sachant que la vitesse de la particule à l origine V 0 = 4 m/s. alculer la vitesse de la particule au point d abscisse = 8 m. Eercice : Un corps de masse m, soumis à une force décrit la trajectoire fermée OO formée d un arc de parabole et d un segment de droite, dans le sens indiquer par la flèche (voir figure) 1 )- alculer le travail effectuée par F n dans les deu cas suivants : a)- F yi j b)- F i yj 1 )- Que peut-on en conclure dans chaque cas. Fn 1 0 y(m) y= 1 y= / (m) Eercice 3 : On considère un point matériel de masse m situé à une distance r du centre 0 de la terre. Soient R le rayon de la terre et g 0 l accélération de la pesanteur à la surface de la terre. 1 )- Montrer que l énergie potentielle E P du point matériel peut s écrire sous la forme : E p = - mg 0 R² r -Préciser l origine des énergies potentielles. )- On désire mettre sur orbite un satellite que l on assimilera à un point matériel. -3-

2 a)- Déterminer le rayon «a» de l orbite du satellite en fonction de 0, g 0 et R ( 0 étant la vitesse angulaire du satellite). b)- Déterminer l énergie cinétique du satellite en fonction de m, g 0 et «a». En déduire l énergie mécanique totale en fonction des mêmes paramètres. 3 )- u cours de sa mise en orbite, le satellite possède au point D une vitesse V 1 perpendiculaire à OD. Il atteint son orbite finale au point avec une vitesse V perpendiculaire à O (figure). En supposant que la force résultante qui s eerce sur le satellite est centrale (a voisin de d) trouver une relation entre V 1, V,a et d. V a V 1 terre D d Eercice 4 : Soit un satellite de masse m tournant autour de la terre de masse M à distance r du centre de la terre. En supposant que sa trajectoire est circulaire : 1- Donner l epression de l énergie potentielle correspondant à la force de gravitation entre le satellite et la terre, préciser l origine choisie pour l énergie potentielle. - Donner l énergie mécanique totale en fonction de G, M, m et r 3- Montrer que les trajectoires circulaires vérifient la troisième loi de 3 Kepler r GM, où est la vitesse angulaire. 4- Si un satellite parait immobile dans le ciel, calculer sa hauteur, sa vitesse et son énergie totale. On donne : M = kg, R T = 6400 km, m = 68 kg et G = N m kg - Eercice 5: -Un corps de masse 0kg est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 30m/s. alculer : a)- Les valeurs initiales de E,E P,et E T. b)- Les valeurs de E et E P au bout de 3s, au bout de 5s, et 8s. c)- Les valeurs de E et E P à 100m d altitude ; à 150m. d)- L altitude du corps quand E est réduite à 80 % de sa valeur initiale. Utiliser des graphiques en négligeant la résistance de l air. Résoudre le même problème dans le cas où le corps est lancé dans une direction faisant un angle de 70 avec l horizontale. Quelles sont les valeurs de E et de E P au sommet de la trajectoire? -4-

3 Eercice 6 : Une particule de masse m tombe du point au point puis des marches d un escalier. La dénivellation de chaque marche est égale à h=0cm. On donne m=100g. 1 )- alculer son énergie potentielle en, et dans les différents cas : h a)- Origine des énergies potentielles au niveau. b)- Origine des énergies potentielles au niveau. c)- Origine des énergies potentielles au niveau. )- Quelle est la grandeur qui reste constante? h Eercice 7: Nous considérons une piste contenue dans un plan verticale.elle est constituée d une partie D en quart de cercle et d une partie horizontale linéaire DEF. u point E se trouve un ressort linéaire de constante de raideur k, dont une etrémité est fiée au mur (figure ci-dessous). 1 )- Les frottements étant négligeables, on lâche sans vitesse initiale, du point, un cube de masse m et de dimensions négligeables. u point situé au milieu de la partie circulaire, on demande de : a)- alculer la vitesse V b du cube et la force de contact qu eerce le sol sur le cube. b)- Représenter à l échelle : 1N cm, les forces eercées sur le cube. c)- alculer son accélération. )- alculer la compression maimale du ressort lorsque le cube vient le percuter. O R 45 R=1m m=0.kg k=10 4 N/m k m F E D -5-

4 Eercice 8 : Une particule de masse m=40g décrit un mouvement rectiligne suivant un ae o. Elle est soumise à une force conservative F F i. L énergie potentielle E p () varie en fonction de la position comme le montre le graphe ci-dessous E p (J) (m) 1 )- ette particule passe par l origine O avec une quantité de mouvement P 0 =0.8kg.m/s en se dirigeant vers les abscisses positives. a)- alculer son énergie mécanique totale. b)- Quel est le travail de la force F lorsque la masse se déplace de l origine O au point d abscisse =1m. c)- Tracer la courbe F () pour compris entre 0 et 1m. En utilisant le graphe de F (), retrouver le résultat de la question b). d)- Quelle est la vitesse de la masse m quand elle passe par le point d abscisse =3m. En quel autre point a-t-elle la même vitesse? )- Quelle est la quantité de mouvement P min qu elle doit avoir à l origine pour qu elle puisse atteindre le point d abscisse =1m. Eercice 9 : Une particule de masse m se déplace suivant l ae o sous l effet d une force qui dérive d un potentiel. La courbe de son énergie potentielle en fonction de est donnée sur la figure. 1- Déterminer les positions d équilibre en précisant leur nature. Justifier - En supposant que l énergie mécanique totale est égale à Joules, représenter le graphe de l énergie cinétique en fonction de. 3- Discuter le mouvement de la particule dans les différentes régions possibles de. -6-

5 16 E p ( j ) X( m ) Eercice 10: La figure ci-dessous représente une piste () de longueur =m, inclinée d un angle =5 par rapport à un tronçon horizontal D=0.m qui se termine par une piste demi-circulaire DE de rayon R=0.m. On donne :sin()= 0.4 et cos() =0.90. Une masse m=500g, assimilée à un point matériel, est placée en contact avec l etrémité libre d un ressort de constante de raideur k=15n/m et de longueur à vide l 0. On supposera dans tout le problème que les frottements entre la masse m et la piste (D) sont caractérisés par des coefficients µ s =0.6 et µ g =0.4. Par contre les frottements sont négligeables sur la partie demi-circulaire DE. 1 )- Déterminer la compression maimale Xo du ressort pour rompre l équilibre de la masse. )- Le ressort étant comprimé de 1 =10cm : a)- Déterminer la vitesse de la masse au point D. b)- Trouver l epression de la vitesse V M de la masse au point de la figure caractérisée par l angle =(OD,OM). c)- En déduire l angle de remontée ma atteint par la masse m. 3 )- Quelle doit-être la valeur minimale de la vitesse au point D pour qu elle arrive en E sans décoller. E O R M D -7-

6 Eercice 11 : Une boule de masse m, accrochée à un fil inetensible de longueur l, est écartée de sa position d équilibre d un angle et est abandonnée sans vitesse initiale. son passage par la position verticale, la boule percute un corps de même masse et s arrête. Le corps glisse sur une piste OD de la figure 1. La partie O = d est un plan horizontal rugueu de coefficient de frottement dynamique d. La portion D = L, parfaitement lisse, est inclinée d un angle = 30 par rapport à l horizontale. l On donne : m = 00 g, d = 1 m, l = 10 cm, L = 1 m, d = 0.1, g = 10 m/s et k = 140 N/m. O Figure 1 L D 1- Dessiner les forces eercées sur le corps en une position entre O et. - alculer l accélération du corps entre O et. Déduire la nature du mouvement. 3- Donner l epression de la vitesse de la boule juste avant de toucher le corps 4- En utilisant la conservation de la quantité de mouvement du système, déterminer la vitesse du corps après l interaction. 5- Eprimer la vitesse du corps au point en fonction de g, l, d, et d 6- De quel angle m doit on écarter la boule pour que le corps arrive en avec une vitesse nulle. 7- partir du point, le corps aborde la partie D avec une vitesse nulle. Il arrive sur un ressort parfait de longueur à vide l 0 et de constante de raideur k. - Représenter les forces eercées sur au cours de la compression du ressort. - Quelle est la valeur de la compression maimale du ressort. -8-

7 Eercice 1 : Un skieur que l on assimilera à un point matériel M, de masse m = 80 kg, part avec une vitesse nulle du point S, situé à une hauteur h s = 1540 m, pour arriver au point O, situé à une hauteur h o = 1440 m. 1 Sachant que le long de la piste SO, de longueur 150m, les frottements entre la piste est les skis sont caractérisés par une force = 400 N, dans la direction // de la vitesse : a Donner l epression de l énergie totale au points S et O, b - Déduire la vitesse V 0 du skieur au point O. - En O, le skieur quitte la piste avec une vitesse horizontalev O. En supposant les frottements dus à l air négligeables, déterminer l équation de la trajectoire suivie par le skieur. 3- quelle distance de O le skieur touchera- t - il le plan incliné, faisant un angle = 45 ave l horizontale? 4- Quelle est sa vitesse à cet endroit? S y h S O O=5 m h O -9-

8 Solution de quelques eercices type Eercice 4 : G M m La force entre la terre et le satellite s écrit : F u r 1- F est force qui dérive d un potentiel donc G M m dr G M m W F. dl u. dl G M m et W E E ( r ) E ( ) p p p r r r r r G M m En posant E ( ) 0 E ( r ) p p r GM m v GM m 1 GM m - Energie totale : omme F m mv E c r r r r 1 G M m donc: E E E T c p r G M m v 3 3- on a : F m m r r G M r r 4- Si le satellite ne bouge pas il a la même période que la terre T = 4 h = s 1 / 3 GM m 4 T ( ) T Or F mr mr r R h GM r T h m v r m / s T E T 1 G M m 3.10 r 8 J 4 = m -30-

9 E p ( j ) L.M.D-ST Eercice 9 : 1- Positions d équilibre : - Stable = 0 m car minimum de E p () - Instable = m car maimum de E p () - Si E T = Joules, l énergie cinétique E c = E T E p E (J) 4 E T (J) 0 X( m ) Discussion de la courbe, nn traçant le graphe de E () on constate que: - Si la particule se trouve dans le domaine m : elle oscille entre ces deu positions - Si elle se trouve en.8 m il ya deu cas : - si elle se déplace vers les positifs elle part vers l infini - si elle va vers les négatifs elle arrive jusqu à =.8 m et elle rebrousse chemin pour aller vers l infini. -31-

10 Eercice 11 : 1- Forces P o : ma - ccélération : P ma a g 1 m / s d oy : mg y 3- Pas de frottements : E ti =E tf 1 m v m gl (1 cos ) v gl (1 cos ) 4- onservation de la quantité de mvt : m v 0 0 m v v v gl (1 cos ) 5- Vitesse au point : 1 1 E W T m v m v O m gd c d donc : v gl (1 cos ) gd c d d 6- v 0 cos 1 c m m l 7- a- Forces d T b- compression maimale E mgh mg ( L ) sin et T 1 E T 1 k P Pas de frottements donc : E T1 = E T alors : 1 k m g sin m gl sin cm -3-

11 Eercice 1 : 1- a- au point S : E E E mgh ; au point O : TS c p S 1 E E E m v m gh TS c p o o 1 b- E W m v m g ( h h ) SO T // o s o // v ( mgh SO o //.36 m / s m // P - trajectoire : o : v v ( t ) v t o o g 1 1 y oy : v gt y ( t ) gt y v 100 y 0 o y v o g 3- Il touche le sol lorsque l équation du mouvement est égale à celle de la droite représentant le sol. Pour la droite on a : y a b 5.Elles se coupent si m OI y m y 109.8m 4- Sa vitesse à cet instant est : on a t 4.69 s v.36 m / s et v 46.9 m / s v m / s y -33-