1 ère L Repérage dans le plan et dans l espace

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1 ère L Repérage dans le plan et dans l espace Dans ce chapitre, il n y a pas de formule, en particulier, il n y aura pas de formules dans l espace. n va d abord reprendre le cas du plan à 2 dimensions (2D) puis on passera à l espace à dimensions (D).. Repérage cartésien des points du plan (rappels) ) Comment définir un repère du plan n doit se donner un point (origine du repère) et 2 axes passant par.. Repérage cartésien dans l espace ) Comment définir un repère du plan n doit se donner un point (origine du repère) et axes passant par. dimensions 2 ) Représentation conventionnelle Comment représenter un repère dans l espace 2 axes 2 ) Représentation conventionnelle 2 dimensions Changement par rapport à la 2D (axes x et y dans ce plan) y M n prend usuellement un axe horizontal et un axe vertical. Chaque axe est gradué (flèche d orientation positive). Les points et sont les points unités sur chaque axe. Le repère est noté (,, ). n peut repérer tous les nombres sur les axes. correspond à 0 ; et correspondent à. n peut repérer où sont les nombres positifs et où sont les nombres négatifs sur chaque axe. ) Repérage des points x Cf. boîte parallélépipédique : Angle droit dans la réalité. Angle de 0-20 (comme on veut) sur le dessin Eviter angle de 5 (tentant quand on a des carreaux) Chaque point M du plan est repéré par deux nombres x et y appelés coordonnées cartésiennes de M. x : abscisse de M ; y : ordonnée de M. n note M(x ; y) (qui se lit «le point M de coordonnées x et y»). L invention des coordonnées dans le plan est due à Descartes (mathématicien, physicien et philosophe du XV e siècle, célèbre entre autres pour son Discours de la méthode publié en 67). La légende raconte que l idée lui en serait venue en regardant se déplacer une mouche sur les carreaux d une vitre. Sa découverte eut un retentissement énorme en géométrie : elle est à l origine du développement de la géométrie analytique c est-à-dire avec les coordonnées. Les angles droits codés sur la figure sont droits dans la réalité (mais ne sont pas droits sur la figure). n trace un e axe perpendiculaire à () et à (). En hommage à Descartes, on parle de repère cartésien et de coordonnées cartésiennes. 2

2 Problème de la représentation en D ; on utilise la perspective cavalière. n va représenter un plan horizontal (représentation conventionnelle en parallélogramme). Dans ce plan, on représente deux axes orthogonaux. n représente ensuite un axe vertical. axe des cotes ) Repérage des points Chaque point M de l espace est repéré par nombres x, y, z appelés coordonnées de M. n note M(x ; y ; z) (qui se lit «le point M de coordonnées x, y, z»). x : abscisse de M y : ordonnée de M z : cote de M rdre de lecture des coordonnées : axe des abscisses K axe des ordonnées ) l abscisse ; 2) l ordonnée ; ) la cote. Pas de formule dans l espace au programme de ère L. Attention : Quand on a deux coordonnées nulles, le point est situé sur l un des axes de coordonnées. Le repère est noté (,,, K).. Comment placer des points dans un repère ) Dans le plan Chaque axe est gradué ; il y a des nombres positifs et des nombres négatifs. n peut repérer où sont les nombres positifs et où sont les nombres négatifs sur chaque axe grâce à l origine et aux flèches. L axe des abscisses est tracé «de travers» ; on fait une droite «de travers» «au hasard». Si on regarde au-dessus, voici ce que l on voit : ordonnée Vu au collège. 2 ) Dans l espace Exemple : Placer le point A de coordonnées ( ; 5 ; 4). Méthode : Pour placer le point A dans l espace, on effectue un trajet à partir du point. abscisse Plan (xy) auquel on est habitué. Autre vision car d ordinaire, on n a pas l habitude que les axes soient placés ainsi. L axe des abscisses en diagonale : on peut avoir des configurations un peu spéciales. 4

3 axe des cotes Exemple 2 : Placer le point A de coordonnées ( ; 5 ; 2). 4 A K axe des ordonnées 5 K 5 axe des abscisses 2 Explication : A ➀ n fait unités suivant l axe () dans le sens positif. n arrive en un point. ➁ n repart de ce point en effectuant 5 unités parallèlement à l axe () dans le sens positif. n arrive en un nouveau point. ➂ n repart de ce point en effectuant 4 unités parallèlement à l axe (K) dans le sens positif. n arrive au point A. Autre explication : V. Lignes de niveau ) Courbes d altitude N En horizontal, on compte unités selon l axe (). Ensuite, on compte 5 unités selon l axe (). Enfin, on monte à 4 unités. Attention : pas d addition des coordonnées. E Traces laissées pour la construction : - pointillés suivant les axes (éventuellement parallélogramme dans le plan horizontal). - valeurs des coordonnées suivant les axes. km S Tous les points qui sont sur une même ligne sont à la même altitude, du moment qu ils sont posés sur le sol (ce serait faux pour un avion ou pour un oiseau par exemple). 5 6

4 Exemple : Le point M est à l altitude 250 m. Le point M est à l altitude 00 m. Entre les deux points, il y a une différence d altitude de m = 50 m (dénivelé ou dénivellation). La distance MM peut être évaluée sur la carte à vol d oiseau en tenant compte de l échelle. Ce n est pas la distance réelle. L altitude du point M est comprise entre 50 m et 200 m. 2 ) Courbes de profondeur V. Le théorème de Pythagore ) Enoncé Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 2 ) Enoncé 2 ABC est un triangle Si ABC est rectangle en A, alors BC AB AC. 0 Terre N C hypoténuse (le côté le plus long) 50 E A B ) Utilisation dans un pavé droit (voir exercice) S Un voilier sur la mer est à l altitude 0. ) Liens avec les coordonnées cartésiennes dans l espace y V. Echelle sur une carte ) Définition L échelle d une carte est le rapport défini par : e exprimées dans la même unité. 2 ) Exemple Une carte est donnée à l échelle Sur une carte, la distance entre deux points mesure cm. Quelle est la distance réelle entre les deux points? distance sur la carte distance réelle, les deux distances étant x n peut écrire : distance réelle n effectue les produits en croix. L axe (z) est vu de dessus, ce qui explique qu on ne le voit pas ; on voit le plan (xy). Les altitudes et les profondeurs correspondent à la e coordonnée des points (avec l axe (z) non représenté). Les axes sont souvent donnés par axe Nord-Sud ; axe Est-uest. L axe qu on ne voit pas est l axe des altitudes. 7 distance réelle distance réelle cm distance réelle,5 km 8

5 V. Coupes de terrain Voir exercices. Appendices. Les grands domaines des mathématiques et le pont de Descartes. mages en D. Livre de seconde collection Math x page 287 Comment représenter le David de Michel Ange dans une application multi-média? Une technique très utilisée consiste à approcher la surface par un maillage formé de petits triangles. Plus le nombre de triangles est grand, plus la représentation est précise, mais les capacités d'un ordinateur, aussi puissant soit-il, sont limitées en stockage, mémoire et puissance de calcul. Une carte graphique moderne peut afficher 80 millions de triangles par seconde voire plusieurs millions pour des simulateurs de vols! Pour le David de Michel-Ange, triangles et sommets suffisent pour reconnaître la statue dans une application multimédia, mais il en faut près de 2 milliards si l'on souhaite retrouver les traces de l'outil utilisé par le sculpteur! Source : P. Alliez, NRA, Sophia Antipolis Méditerranée 2. Des atomes au ballon rond?. Synthèse d images D (images de synthèse) : voir article «nfographie D» sur Wikipedia 9 0

6 4. Dossier Pour la Science N 52 - juillet - septembre 2006 Détails du David sur silicium P.Alliez NRA Sophia-Antipolis 6. Des atomes au ballon rond (Math x seconde page 28) 5. THÈSE DE L'UNVERSTÉ DE LYN Algorithmes et structures de données... Découverts en 985, les fullerènes sont des molécules composées d atomes de carbone. Le fullerène C 60 représenté ici est composé de 60 atomes de carbone. l a la même structure qu un ballon de football avec 2 anneaux pentagonaux et 20 hexagonaux! Le ballon n a en effet de rond que le nom Voici un de ses patrons : Coordonnées dans l espace : figure animée de très bonne qualité sur le site de Daniel Mentrard Thème de recherche : Comment calculer des distances inaccessibles (distance de la Terre à la Lune, par exemple) Site : cinemath.chez-alice.fr beaucoup d activités sur Maths et astronomie. 2