Exercices sur la division euclidienne

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1 TS spé Exercices sur la division euclidienne 1 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur somme est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 8 et le reste 5 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur différence est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 10 et le reste 5 3 Déterminer tous les entiers naturels n tels que, dans la division euclidienne par 7, ils donnent un quotient égal au reste On raisonnera en deux parties : 1 ère partie : recherches des valeurs possibles de n ; e partie : vérification On n oubliera pas de conclure clairement 4 Dans cet exercice, on s intéresse au reste de la division euclidienne de 7n 15 par 3n pour n 1 ) À l aide de la calculatrice, conjecturer une expression du reste en fonction de n à partir d un entier naturel n 0 que l on précisera On rédigera une phrase sur le modèle suivant : D après la calculatrice, on peut conjecturer que pour n, le reste de la division euclidienne de 7n 15 par 3n est égal à Aide pour la calculatrice (modèles TI) : On se place en mode fonction (ou éventuellement en mode «suite») Dans Y1, on tape Y1 remainder 7X 15, 3X (calculatrice TI-83 Plus fr) ou Y1 7X 15 partent 7X 15 / 3X 3X (calcul TI-83 CE-Premium) On dresse le tableau de valeurs avec un pas de 1 ) Démontrer cette conjecture On ne demande pas d étudier le cas des entiers naturels n strictement inférieurs à n 0 5 Dans la division euclidienne de 31 par l entier naturel non nul b, le reste est 75 Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient 6 Le quotient de la division euclidienne de 1517 par l entier naturel b est 75 Déterminer la valeur de b et du reste 8 Démontrer que pour tout entier relatif n, nn n 4 est divisible par 3 Indications : Utiliser la propriété du cours : Tout nombre entier relatif n s écrit sous la forme 3k, 3k 1 ou 3k avec k Raisonner ensuite par disjonction de cas (en envisageant 3 cas) 9 1 ) Démontrer que, si a et b sont des entiers naturels tels que a b est impair, alors a et b sont de parité différente ) Démontrer qu un entier naturel impair qui s écrit comme somme de deux carrés est de la forme n 4k 1, avec k entier naturel 3 ) En déduire qu un entier naturel de la forme 4 k 1 avec k entier naturel non nul ne peut pas être la somme de deux carrés Dans cet exercice, le mot «carré» est employé au sens de «carré parfait» c est-à-dire carré d un entier naturel 10 On note q et r respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b avec a ; b Déterminer q sachant que q et r ne changent pas lorsqu on augmente a de 5 et b de 4 11 On fait correspondre à chaque lettre de l alphabet un nombre entier comme l indiquent les tableaux cidessous A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On définit un système de codage : - à chaque lettre de l alphabet, on associe l entier x correspondant, on associe ensuite à x l entier y qui est le reste de la division euclidienne de 15x 7 par 6, - on associe à y la lettre correspondante Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P Coder le mot MATHS 7 Déterminer les entiers naturels non nuls dont la division euclidienne par 43 donne un reste égal au carré du quotient

2 1 Le code INSEE, en France, est un code identifiant chaque individu, utilisé par l Institut national de la statistique et des études économiques (INSEE), pour différentes analyses statistiques Ce code s appelle également NIR (numéro d inscription au répertoire) et se retrouve sur les cartes de sécurité sociale (carte Vitale par exemple) Dès la naissance, en France, chaque personne est identifiée par un numéro composé de quinze chiffres C est le numéro INSEE ou Numéro de Sécurité Sociale Afin d éviter des erreurs lors des enregistrements (par exemple, lors des remboursements de la Sécurité Sociale), le nombre formé par les deux derniers chiffres est une clé de contrôle On considère le nombre formé des treize premiers chiffres Ce nombre est alors divisé par 97 (division euclidienne) Puis le reste obtenu est soustrait à 97 (97 reste) Le résultat est la clé de contrôle Calculer la clé de contrôle du numéro INSEE tel que le nombre formé des treize premiers chiffres est : On pourra : - soit poser la division euclidienne «à la main» ; - soit utiliser une calculatrice scientifique en ligne (par exemple, celle du site calcname) Indication pour la calculatrice scientifique du site calcname : On utilise la touche mod qui donne le reste de la division euclidienne On tape : mod( ,97) Les deux nombres sont séparés par une virgule On obtient 16

3 Corrigé 53 y 6 1 x 53 et y 6 Solution détaillée : Déterminons deux entiers naturels x et y sachant que leur somme est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 8 et le reste 5 On rappelle tout d abord le théorème de la division euclidienne dans : Pour tout couple a ; b d entiers naturels, avec 0 que a bq r et r b Il n est pas obligatoire de l écrire dans la version au propre x et y vérifient le système (I) Il s agit d un système linéaire y 59 y 8 5 On présente deux méthodes de résolution b, il existe un unique couple ; q r d entiers naturels tels On a : et 5 6 Cette égalité traduit donc la division euclidienne de x par y On peut donc valider x 53 et y 6 Autre façon : On a donc 8y 5 (1) y 59 () Avec (1), () donne 8y 5 y 59 (') (') 9y 54 y 6 On obtient alors x Donc le couple cherché est le couple 53 ; 6 x y 5 8 y 59 x (I) x 59 x 8 5 y 59 x 47 8x 5 y 59 x 9x 477 y 59 x y y y 5 y 59 (I) 8y 5 9y y 5 9y 54 8y 5 54 y 9 8y 5 y 6 53 x 65 et y 6 Solution détaillée : Déterminons deux entiers naturels x et y sachant que leur différence est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 10 et le reste 5 On a : x y x et y vérifient le système (I) y 59 y 10 5

4 y x 59 (I) 10y 5 y x 59 x 10 x 59 5 y x 59 10x y x 59 10x 585 y x 59 10x 585 y x 59 9x 585 y y 6 On a : et 5 6 Cette égalité traduit donc la division euclidienne de x par y On peut donc valider x 63 et y 6 Autre façon : On a donc 10y 5 (1) y 59 () Avec (1), () donne 10 y 5 y 59 (') (') 9y 54 y 6 x y Déterminons tous les entiers naturels n tels que, dans la division euclidienne par 7, ils donnent un quotient égal au reste On va raisonne en deux parties 1 ère partie : Soit n un enter naturel tel que, le quotient et le reste de n dans la division euclidienne par 7 soient égaux Notons q et r respectivement quotient et le reste de la division euclidienne de n par 7 On a : q et r L égalité de la division euclidienne de n par 7 s écrit : n 7q r avec 0 r 7 (1) Comme q r, on a alors n 7q q d où n 8q Or comme q r, (1) donne q 0 ;1; ; 3; 4 ; 5 ; 6 e partie : On examine une par une les valeurs de q obtenues dans la 1 ère partie Pour q 0, n 0 On a alors Pour q 1, n 8 On a alors Pour q, n 16 On a alors 16 7 Pour q 3, n 4 On a alors Pour q 4, n 3 On a alors Pour q 5, n 40 On a alors Pour q 6, n 48 On a alors Conclusion : Les valeurs de n cherchées sont 0, 8, 16, 4, 3, 40, 48 ou Les entiers naturels n cherchés sont tous les multiples de 8 compris entre 0 et 48 Autre façon : n 7r r n 8r etc On obtient alors x Donc le couple cherché est le couple (65 ; 6)

5 4 Déterminons le reste de la division euclidienne de 7n 15 par 3n avec n Solution : 1 ) À l aide de la calculatrice conjecturons le reste de la division euclidienne de 7n 15 par 3n avec n à partir d un entier n 0 Avec la calculatrice, on trouve une formule Cette formule ne «marche» pas pour n n0 On rédige ainsi : D après la calculatrice, on peut conjecturer que pour n 5, le reste de la division euclidienne de 7n 15 par 3n est égal à n 11 ) Démontrons la conjecture émise au 1 ) On se base sur l égalité de la division euclidienne d un entier naturel a par un entier naturel b non nul : Pour tout entier naturel n, on a : a bq r avec 0 r b 7n 15 3n n 11 Pour que cette égalité corresponde bien à la division euclidienne de 7n 15 par 3n, c est-à-dire que soit le quotient et n 11 le reste il faut et il suffit que n 11 3n (1) 5 On sait que le reste de la division euclidienne de 31 par l entier naturel b 0 est 75 Déterminons les valeurs possibles de b et du quotient Notons q le quotient de la division euclidienne de 31 par b (q ) On a donc 31 b q 75 (1) (1) donne bq 46 donc b 46 Les diviseurs positifs de 46 sont 1,, 3, 6, 41, 8, 13, 46 De plus 0 75 b Finalement, les seules valeurs possibles de b sont 46, 13 et 8 Pour b 46, on a : ( q 1) Pour b 13, on a : ( q ) Pour b 8, on a : ( q 3) eeee On aurait aussi pu dire que b et q sont des diviseurs associés de 46 (1) 9 n Donc on obtient b 8 q 3 ou b 13 ou q b 46 q 1 n 5 (puisque n est un entier naturel) Dans le cas où n 5, nous pouvons donc dire que le reste de la division euclidienne de 7n 15 par 3n est n 11 On a déterminé la division euclidienne de 7n 15 par 3n lorsque n 5 (on a le quotient et le reste) On ne doit regarder les cas où n 5 car l énoncé dit que l on s intéresse juste aux cas n 6 Variante : Notons q le quotient de la division euclidienne de 31 par b ( q ) On a donc 31 b q 75 (1) et 0 75 b (1) donne b q Or b 75 d où 75q bq soit 75q 46 ou q ou encore q 3 75 Les valeurs possibles de q sont donc 1, ou 3 Si q 1, alors b 46 Si q, alors b 13 Si q 3, alors b 8

6 6 Le quotient de la division euclidienne de par l entier naturel b est 75 Déterminons la valeur de b et du reste On a : 1517 b 75 r avec b, r, 0 r b On a : 75b 75b r 76b (inégalité de gauche : r 0 ; inégalité de droite : r b ) On obtient alors : 75b b On a alors deux conditions : b et b Or , 75 et ,96 76 Donc comme b, b 0 D où r Conclusion : b 0 et r 17 Il y a donc 6 valeurs possibles pour q Si q 1, a Si q, a Si q 3, a 138 Si q 4, a 188 Si q 5, a 40 Si q 6, a 94 e partie : On vérifie que les valeurs trouvées conviennent (à faire au brouillon) Conclusion : On a trouvé 6 entiers naturels : 44, 90, 138, 188, 40 et 94 Autre façon : 1517 b r 75 8 Démontrons que pour tout entier relatif n, nn n 4 est divisible par 3 D où b r avec 1517 b r Autre méthode : Conclusion : b 0 et r 17 C est un coup de «bol»! Exemple : Cette égalité exprime la division euclidienne de 0 par 7 mais elle n exprime pas la division euclidienne de 0 par 7 Déterminons les entiers naturels non nuls dont la division euclidienne par 43 donne un reste égal au carré du quotient On raisonne en deux parties 1 ère partie : Soit a On a : a 43 q r avec q, r, 0 r 43 On veut que r q d où a 43q q et q 43 q 43 donne 43 q donc q 6 (car 43 6,56) Ou donc On pose A n n n 4 Dans la division euclidienne par 3, il y a 3 restes possibles : 0 ; 1 ; Tout entier naturel n s écrit sous l une des formes 3k ; 3k 1 ; 3k (k étant un entier naturel) Nous avons donc 3 cas à étudier : Si n 3k Donc 3 A, alors A 3k 3k 3k 4, alors A 3k 13k 13k 1 4 3k 13k 33k 5 3k 13k 13k 5 Si n 3k 1 Donc 3 A, alors A 3k 3k 3k 4 3k 3k 43k 6 3k 3k 3k 4 Si n 3k Donc 3 A Conclusion : Dans tous les cas A est divisible par 3 (ou 3 A) La proposition est donc démontrée pour tout entier naturel n q 0 est exclu car on aurait alors a 0 ( a )

7 9 1 ) Démontrons que, si a et b sont des entiers naturels tels que a parité différente On raisonne par disjonction de cas On rappelle que si n est un entier naturel alors n a la même parité Donc a et b ont les mêmes parités respectives que a et b 1 er cas : a est pair et b est pair Dans ce cas, a est pair et b est pair Donc a b est pair e cas : a est pair et b est impair Dans ce cas, a est pair et b est impair Donc a b est impair 3 e cas : a est impair et b est impair Dans ce cas, a est impair et b est impair Donc a b est pair 4 e cas : a est impair et b est pair Dans ce cas, a est impair et b est pair Donc a b est impair On en déduit que si a b est impair, alors a et b sont de b est impair, alors a et b sont de parité différente Une autre façon de faire est de raisonner par contraposée c est-à-dire de démontrer que si a et b sont de même parité, alors a b est pair En fait, on vient de démontrer une équivalence On s appuie sur les lemmes de parité suivants qui sont très simples à démontrer : La somme de deux entiers pairs est un entier pair La somme de deux entiers impairs et un entier pair Le produit d un nombre pair par un entier quelconque est un entier pair Le produit de deux entiers impairs est un entier impair En fait, on a même démontré une équivalence On a démontré l équivalence suivante : a b impair a et b de parités différentes ) Démontrons qu un entier naturel impair qui s écrit comme somme de deux carrés est de la forme n 4k 1, avec k entier Si un entier naturel n impair est la somme de deux carrés a b, alors a et b sont de parité différente On a donc par exemple a p avec p et b q 1 avec q (on notera que les rôles de a et b sont interchangeables) D où n a b 4p 4q 4q 1 4 p q q 1 n est donc de la forme n 4k 1, avec k 3 ) Déduisons-en qu un entier naturel de la forme 4 k 1 ne peut pas être la somme de deux carrés Soit n un entier naturel de la forme 4 k 1 avec k 4 k 1 k 1 1 K 1 avec K n est impair car S il était somme de deux carrés, il devrait être de la forme 4k + 1 ce qui est impossible (car 4 k 1 4 k ' 1 4 k ' k ; or 4 ne divise pas ) La recherche des entiers qui peuvent s écrire comme somme de deux carrés est un problème d arithmétique très intéressant 10 a ; b q : quotient de la division euclidienne de a par b r : reste de la division euclidienne de a par b Déterminons q sachant que q et r ne changent pas lorsqu on augmente a de 5 et b de 4 On a : a bq r avec 0 r b et 5 4 On en déduit que a 5 bq 4q r On remplace a parbq r On obtient alors bq r 5 bq 4q r D où 5 4q 5 Donc q 13 4 a b q r avec 0 r b 4

8 11 Dans cet exercice, on étudie un exemple de codage affine Codons le mot MATHS M est associé à l entier 1 Or et Ainsi le reste de la division euclidienne est Donc 1 est transformé en 5 et 5 correspond à la lettre F La lettre M est codée par F A est associé à l entier 0 Or et Ainsi le reste de la division euclidienne est Donc 0 est transformé en 7 et 7 correspond à la lettre H La lettre A est codée par H T est associé à l entier 19 Or et Ainsi le reste de la division euclidienne est 9 86 = 6 Donc 19 est transformé en 6 et 6 correspond à la lettre G La lettre T est codée par G S est associé à l entier 18 Or et Ainsi le reste de la division euclidienne est Donc 118 est transformé en 17 et 17 correspond à la lettre R La lettre S est codée par R H est associé à l entier 7 Or et Ainsi le reste de la division euclidienne est Donc 7 est transformé en 8 et 8 correspond à la lettre I La lettre H est codée par I Pour aller plus vite, on peut utiliser la calculatrice et faire un tableau de correspondance : on utilise la commande de la calculatrice qui permet d obtenir le reste d une division euclidienne Y1 remainder 15X 7, 6 Y115X 7 partent 15X 7 / 6 6 On obtient le tableau de correspondance suivant (en rouge : chiffres et lettres codés) A B C D E F G H I J K L M H W L A P E T I X M B Q F N O P Q R S T U V W X Y Z U T Y N C R G V K Z O D S D après le tableau, on peut dire qu il s agit d un «bon» codage En effet, deux lettres distinctes sont bien codes 1 Utiliser une calculatrice en ligne Taper : calculatrice scientifique en ligne Référence : CALCNAME mode ,97 16 Le reste de la division euclidienne de par 97 est 16 Soustrayons ce reste 16 à Nous obtenons 81 La clé de ce numéro de Sécurité Sociale est 81