n-uplets de variables aléatoires réelles

Transcription

1 n-uplets de variables aléatoires réelles Table des matières 1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. 2 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. 2 3 Loi marginale. 2 4 Caractérisation de la loi d un vecteur aléatoire discret à valeurs dans n. 2 5 Espérance d une somme de variables aléatoires. 2 6 Croissance de l espérance. 3 7 Existence d une espérance par domination. 3 8 Indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles discrètes Lemme des coalitions Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes Variance d une somme de variables aléatoires indépendantes Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi γ Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale Indépendance mutuelle d une suite infinie de variables aléatoires réelles Complément : Variance de la somme de n variables aléatoires discrètes. 6 1

2 1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. Definition 1 Soient X 1,, X n n variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisable (Ω, ). Le vecteur aléatoire discret X = (X 1,, X n ) est l application : Ω n ω X (ω) = (X 1 (ω),, X n (ω)) 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. Definition 2 La loi d un vecteur (X 1,..., X n ) de variables aléatoires réelles est donné par la fonction F (X1,...,X n ) définie sur n par : n F (X1,...,X n )(x 1,..., x n ) = P X i x i. Théorème 3 Si deux vecteurs (X 1, X 2,..., X n ) et (Y 1, Y 2,..., Y n ) ont même loi et si g est une fonction continue sur n à valeurs dans, alors les variables aléatoires réelles g(x 1, X 2,..., X n ) et g(y 1, Y 2,..., Y n ) ont même loi. 3 Loi marginale. Definition 4 Soit X = (X 1,, X n ) un vecteur aléatoire définie sur (Ω, A, P) Pour tout k [1, n ], la loi de X k ( qui peut être obtenue à partir de la loi conjointe de (X 1,, X n )) est la loi marginale de X k. 4 Caractérisation de la loi d un vecteur aléatoire discret à valeurs dans n. Definition 5 On appelle loi de probabilité (ou loi conjointe) d un vecteur aléatoire discret X = (X 1,, X n ), l application X 1 (Ω) X n (Ω) [0, 1] n (x 1,, x n ) P [X 1 = x 1 ] [X n = x n ] = P [X i = x i ] = P X 1 = x 1 ; ; X n = x n Remarque 1 X (Ω) = {X (ω)/ω Ω} X 1 (Ω) X n (Ω). Lorsque (x 1,, x n ) X 1 (Ω) X n (Ω) \ X (Ω), P X 1 = x 1 ] [X n = x n = 0. Propriété (x 1,,x n ) X (Ω) P X 1 = x 1 ; ; X n = x n = 1. Remarque : Obtention des lois marginales x k X k (Ω), P [X k = x k ] = x 1 X 1 (Ω) x k 1 X k 1 (Ω) x k+1 X k+1 (Ω) x n X n (Ω) 5 Espérance d une somme de variables aléatoires. P X 1 = x 1 ; ; X n = x n. Théorème 6 Si X et Y admettent une espérance, X + Y admet une espérance et E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). Théorème 7 Généralisation à n variables aléatoires Soit X 1,..., X n n variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que, pour tout k [1, n ], X k admet une espérance. Alors la variable aléatoire X k admet une espérance et E X k = 2 E(X k ).

3 Exercice 1 : Utilisation de la linéarité de l espérance n souris (minimum 3) sont lâchées en direction de 3 cages, chaque cage pouvant contenir les n souris et chaque souris allant dans une cage au hasard. 1. Calculer la probabilité pour qu une cage au moins reste vide. 2. Soit X le variable aléatoire égale au nombre de cages restées vides. Calculer l espérance de X. 6 Croissance de l espérance. Théorème 8 Si X Y presque sûrement et si X et Y admettent une espérance, alors E(X ) E(Y ). 7 Existence d une espérance par domination. Théorème 9 Si X et Y sont deux variables aléatoires vérifiant 0 X Y presque sûrement, et si Y admet une espérance, alors X admet également une espérance. Dans ce cas, E(X ) E(Y ). Exercice 2 Pour x réel positif, on note [x] la partie entière de x, c est-à-dire l unique entier n tel que n x < n Soit X une variable aléatoire réelle de densité f, à valeurs positives définie sur un espace probabilisé (Ω,, P). On suppose que f est continue sur +. On pose Y = [X ]. Quelle est la loi de Y? 2. Trouver une majoration simple de la variable aléatoire X Y. En déduire que la variable aléatoire X Y admet une espérance. 3. Montrer que E(Y ) existe si et seulement si E(X ) existe. Montrer qu on a alors E(Y ) E(X ) E(Y ) Indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles.. Definition 10 X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si : F (X1,...,X n )(x 1,..., x n ) = F X k (x k ) pour tous réels x 1,..., x n. 9 Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles.. Théorème 11 X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si : n P X i I i = P([X i I i ]) pour tous intervalles I 1,..., I n de. X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si toute famille d événements (A 1,..., A n ), avec A k élément de X k, est une famille d événements mutuellement indépendants. Exercice 3 Soit (X 1,..., X n ) n variables aléatoires indépendantes. On suppose que Déterminer la loi de min(x 1,..., X n ). k [1, n ], X k (α k ). 10 Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles discrètes. Théorème 12 Les n variables aléatoires réelles discrètes X 1,, X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout (x 1,..., x n ) X 1 (Ω)... X n (Ω) : n P [X i = x i ] = P([X i = x i ]). 3

4 11 Lemme des coalitions. Théorème 13 Si X 1, X 2,..., X n, sont indépendantes, toute variable aléatoire fonction de X 1, X 2,..., X p est indépendante de toute variable aléatoire fonction de X p+1, X p+2,..., X n. Remarque Si les n variables aléatoires réelles X 1,, X n sont mutuellement indépendantes, alors X X n 1 et X n sont indépendantes X 1 X n 1 et X n sont indépendantes. X 1,, X n sont 2 à 2 indépendantes. Exercice 4 On lance 2 dés équilibrés : un rouge et un bleu. X est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si le dé rouge amène un numéro pair et 0 sinon. Y est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si le dé bleu amène un numéro pair et 0 sinon. Z est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si la somme des numéros obtenus est paire et 0 sinon. 1. Montrer que les variables aléatoires X, Y, Z sont 2 à 2 indépendantes. 2. Montrer que les variables aléatoires X, Y, Z ne sont pas mutuellement indépendantes. 12 Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes. Théorème 14 Si X et Y admettent une espérance et sont indépendantes, X Y admet une espérance et E(X Y ) = E(X )E(Y ) Théorème 15 Généralisation à n variables aléatoires mutuellement indépendantes Soit X 1,..., X n n variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P) et mutuellement indépendantes. On suppose que, pour tout k [1, n ], X k admet une espérance. Alors la variable aléatoire X k admet une espérance et E X k = E(X k ). Exercice 5 Soit X 1,..., X n n variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans. Pour tout k [1, n ], on note G X k la fonction génératrice de X k. On note G X1 + +X n la fonction génératrice de X k. Montrer que : t [0, 1], G X1 + +X n (t) = G X k (t). 13 Variance d une somme de variables aléatoires indépendantes.. Théorème 16 Si X et Y sont indépendantes et admettent une variance, X +Y admet une variance et V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ). Théorème 17 Généralisation à n variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soit X 1,..., X n n variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que les variables aléatoires X 1,, X n sont mutuellement indépendantes et que pour tout k [1, n ], X k admet une variance. Alors la variable aléatoire admet une variance et V X k = V (X k ). 14 Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre. Théorème 18 La somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même espérance p suit la loi binomiale (n, p). X k 4

5 15 Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales. Théorème 19 Soit X 1,..., X k k variables aléatoires réelles définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que les variables aléatoires X 1,, X k sont mutuellement indépendantes et que pour tout i [1, k ], X i suit la loi de Poisson (λ i ). Alors k k la variable aléatoire X i suit la loi de Poisson λ i. Théorème 20 Soit X 1,..., X k k variables aléatoires réelles définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que les variables aléatoires X 1,, X k sont mutuellement indépendantes et que pour tout i [1, k ], X i suit la loi binomiale (n i, p). k k Alors la variable aléatoire X i suit la loi binomiale n i, p. 16 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi γ. Théorème 21 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, α 1,..., α n des réels strictement positifs et (X 1,..., X n ) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que X i γ(α i ). Alors : En particulier, X X n γ(α α n ) Si pour tout i [1, n ], X i (1) = γ(1), alors : X X n γ(n) Exercice 6 Soit (X 1,..., X n ) une famille de n (n 3) variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que pour tout i [1, n ], X i (1). On pose S n = X X n. Montrer que 1 S n admet une espérance et une variance que l on calculera. Étude de la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (λ) Pour étudier la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (λ), on se ramènera après multiplication par λ à une somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (1). Résultat à savoir redémontrer Si pour tout i [1, n ], X i (λ) (où λ > 0) alors : S n = X X n admet pour densité f n définie par : 0 si t 0 t f n (t) = (λt)n 1 λt λe (n 1)! si t > 0 Exercice 7 (oral hec) On considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes N, X 1,..., X n,... définies sur le même espace de probabilité (Ω,, ). Soit p ]0, 1[, q = 1 p et λ un réel strictement positif. On suppose que N suit la loi géométrique de paramètre p et que les variables X i, i, suivent la loi exponentielle de paramètre λ. N On note S la variable aléatoire X i. 1. Déterminer la loi conditionnelle de S sachant que [N = n]. 2. En déduire la fonction de répartition puis la loi de S.(on admettra que l on peut intervertir la somme et l intégrale mises en jeu) Vérifier que : (S) = (X 1 )(N). 5

6 17 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale. Théorème 22 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, (m 1,..., m n ) une famille de réels, (σ 1,..., σ n ) une famille de réels strictement positifs et (X 1,..., X n ) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que X i (m i, σ 2 i ) pour tout i [1, n ]. Alors : X X n (m m n, σ σ2 n ) 18 Indépendance mutuelle d une suite infinie de variables aléatoires réelles. Definition 23 Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires réelles définies sur (Ω,, P). On dit que (X n ) n est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes lorsque pour tout n, X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes. Exercice 8 : Utilisation de la linéarité de l espérance Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi géométrique de paramètre a > 0. Pour tout n de, on pose S n = X 1 + X X n. 1. Montrer que la variable aléatoire 1 S n a une espérance, qu on note m. (on ne cherchera pas à calculer m) 2. Soit k un entier de. Calculer l espérance Sk S n en fonction de n, a, k et m. Exercice 9 : Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique Soit N, X 1,, X n, une suite de variables aléatoires à valeurs dans,mutuellement indépendantes, définies sur le même espace probabilisé. On suppose que pour tout n de, X n suit une loi géométrique de paramètre p et que N suit une loi géométrique de paramètre p. 1. Déterminer pour n la loi de X k. 2. Soit T la variable aléatoire réelle définie par : N(ω) ω Ω, T(ω) = X k (ω). (a) En utilisant la formule de l espérance totale, déterminer (T). (b) Déterminer la loi de T. 19 Complément : Variance de la somme de n variables aléatoires discrètes. Théorème 24 Soit X 1,..., X n n variables aléatoires discrètes définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que, pour tout k [1, n ], X k admet un moment d ordre 2. Alors la variable aléatoire discrète X k admet une variance et Remarque La somme 1i< jn V X k = V (X k ) + 2 Cov(X i, X j ) comporte exactement n 2 termes. 1i< jn Cov(X i, X j ). 6