Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme

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1 Université Catholique de Louvain-La-Neuve Ecole Polytechnique de Louvain Travail de fin d étude présenté par Christophe Pochet sous la direction du Professeur Pierre Devolder en vue de l obtention du grade d Ingénieur Civil en Mathématiques Appliquées Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Date : 23 juin 2010 Promoteur : Lecteurs : Pierre Devolder Michel Denuit et Yves Smeers Travail réalisé par : Christophe Pochet christophe.pochet@student.uclouvain.be Année académique

2 Je remercie mon promoteur, le Professeur Pierre Devolder, pour m avoir confié un sujet de mémoire qui m a intéressé dès le début du travail et qui continuera à m intéresser encore longtemps. Je remercie aussi mon prmoteur ainsi que mes lecteurs, les Professeurs Yves Smeers et Michel Denuit, pour l intérêt qu ils ont manifesté à mon travail et le temps qu ils y ont consacré. Je remercie mes cokoteuses, le QG, mon staff scout et mes amis qui m ont soutenu et encouragé tout au long de ce travail. Je remercie enfin ma famille pour le soutien et la motivation qu ils m ont communiqués.

3 Table des matières Introduction 4 1 Mesures de risque statiques Mesure de risque cohérente Value-at-Risk : VaR Tail Value-at-Risk : TVaR Compte à terme sans sorties intermédiaires Despciption du problème Détermination de la réserve Calcul de la réserve Application numérique Mesures de risque multipériodes Exemple de motivation Mesures de risque conditionnelles Mesures de risque multipériodes cohérentes Consistance dans le temps Information monotone Mesures multipériodes Mesure récursive conditionnelle Mesure indépendante Compte à terme avec sorties intermédiaires Description du problème Mécanisme de pénalités Détermination de la réserve Mesure indépendante Mesure récursive conditionnelle Analyse des mesures multipériodes Calcul de la réserve Critique des mesures Extensions 68 Conclusion 71 A Code de référence 73 3

4 Introduction Les mesures de risque sont des outils mathématiques qui permettent de quantifier le risque associé à une variable aléatoire. Elles sont utilisées dans de nombreuses sphères du monde financier et industriel, que ce soit pour mesurer le risque d un investissement par exemple, ou encore optimiser la gestion de stocks. Dans ce mémoire, nous allons les utiliser dans le but de quantifier les réserves financières dont une banque a besoin afin d assurer la solvabilité d un compte à terme. Un compte à terme est un placement bancaire de long terme pour lequel les clients s engagent à ne pas récupérer leur investissement avant le terme du contrat. En contre partie, ils reçoivent un taux d intérêt très avantageux i supérieur au taux sans risque du marché r en guise de prime de liquidité. Une illustration est donnée à la figure 1. On y compte L 0 personnes devant rester T années. Au terme du contrat, les clients disposent de leur capital investi capitalisé au taux avantageux i. t=0 L = T t=t (1+i) T L 0 1 L 0 Fig. 1: Compte à terme sans sorties intermédiaires Pour offrir un tel rendement, la banque n a d autre choix que de réaliser des placements risqués. Selon les principes de finance stochastique, les actifs risqués seront modélisés à l aide de browniens géométriques S(t). Vu le rendement incertain des actifs risqués, la banque n est pas sûre de rencontrer ses engagements à terme. Une de ses obligations légales est alors de devoir constituer une réserve financière, c est-à-dire un matelas de sécurité, qui lui servira en cas de rendement insuffisant des actifs risqués. Reprenons le cas d étude donné à la figure 1. Si L 0 clients achètent le produit 1e en t = 0, ils repartent avec (1 + i) T e en t = T. Le bilan actif passif en t = T est donné par F(T) = L 0 ( (1 + i) T S(T) ) où F(T) est la variable aléatoire décrivant les pertes du processus dues à l incertitude sur la valeur de l actif S(t) en t = T. Ce sont les mesures de risque qui vont déterminer les réserves financières que la banque doit légalement constituer afin de garantir la solvabilité en fin d horizon. 4

5 INTRODUCTION Les mesures de risque actuellement utilisées dans les textes légaux sont dites statiques dans le sens qu elles ne s appliquent qu en un point de l horizon. Pour le problème du compte à terme ayant un unique cash flow en fin d horizon et ne comportant donc qu un seul instant de risque de solvabilité, elles constituent la solution. Les mesures de risque les plus populaires pour ce type d application sont la VaR et la TVaR. Leur particularité est de se fixer sur la fonction de répartition de la variable aléatoire dont elles calculent le risque pour assurer un niveau de solvabilité à un certain niveau de confiance. Le calcul de la réserve financière se complique lorsque des clients décident de quitter le compte à terme avant la fin de l horizon, voir figure 2. Naturellement, vu que le rendement du compte à terme est plus élevé que celui d un compte classique, ils ne disposeraient en cas de sortie anticipée que d une fraction de ce qu ils auraient capitalisé jusqu à leur instant de sortie. Les départs constituent des cash flows intermédiaires P i pour la banque, ce qui en des temps de faible rendement de leur actif génère un risque financier. La réserve financière devrait dès lors être réévaluée après chaque cash flow afin de maintenir un certain niveau de solvabilité. Nous obtenons donc un problème dynamique. 1 t=0 N1 Nt NT t=t P1 Pt PT = (1+i) T L 0 Fig. 2: Compte à terme avec sorties intermédiaires L objet de ce mémoire est de trouver des mesures de risque multipériodes qui nous permettront de déterminer la réserve financière à constituer en t = 0 afin de se prémunir face aux divers risques financiers ayant lieu aux divers instants de cash flows du processus. Il est important de faire la distinction entre le problème dynamique et la mesure de risque multipériode. Pour un problème dynamique, la question est de déterminer la réévaluation de la réserve lorsqu un cash flow a lieu et ce, pour chaque état du monde. L idée des mesures de risque multipériodes est de prévoir à l avance le capital nécessaire qu il faudrait mettre en réserve si des cash flows ont lieu dans le futur et ce en considérant l ensemble des états du monde possibles. Dans ce travail, nous commencerons par rappeler le contexte théorique des mesures de risque statiques de VaR et TVaR. Nous les utiliserons en vue de déterminer la réserve financière du compte à terme sans sorties intermédiaires. Nous passerons ensuite à l élaboration des mesures de risque multipériodes. Nous développerons deux approches différentes : une indépendante et une récursive conditionnelle qui représentent deux manières différentes et à la fois complémentaires d apréhender le risque en multipériodes. Nous les appliquerons alors au compte à terme avec sorties intermédiaires. Pour terminer, nous exposerons quelques extensions au travail. 5

6 Chapitre 1 Mesures de risque statiques Ce chapitre a pour but de synthétiser les connaissances principales sur les mesures de risque statiques utilisées pour le calcul de réserves de solvabilité, qui sont par excellence la Value-at-Risk (VaR) et la Tail Value-at-Risk (TVaR). Afin d étudier ces mesures de risque à proprement parler, nous commençons par aborder le concept de mesure de risque cohérente. L essentiel des développements présentés dans ce chapitre proviennent du livre de Shapiro et Ruszczyński, voir [14]. Certains ajouts sont néanmoins personnels. 1.1 Mesure de risque cohérente Le concept de mesure de risque cohérente a été abordé pour la première fois par Artzner et al. dans [1]. Ce concept a été reformulé par la suite par différents auteurs. Nous utilisons la formulation proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14] pour des variables aléatoires mesurant des pertes. Ainsi, plus la variable aléatoire est grande, plus la mesure de risque est grande, plus le risque financier est important. Avant de développer mathématiquement ce concept, nous donnons une formulation intuitive de ce qu est une mesure de risque destinée au calcul de réserves de solvabilité. Formulation intuitive des mesures de risque Soit une fonction F : Ω R, ω F(ω). A chaque scénario ω Ω est associé une réalisation F(ω). On suppose que les F(ω) représentent des coûts ou plus particulièrement des pertes. Soit une mesure de risque ρ( ). Cette mesure est appliquée aux réalisations F(ω) dans le but de déterminer le capital de réserve à constituer de manière à ce qu il contrebalance les pertes des F(ω) pour un maximum d états du monde ω. Formulation mathématique Soit un espace (Ω, F) muni d une sigma-algèbre F. Soit la mesure P telle que (Ω, F,P) est un espace mesuré 1. Soit une variable aléatoire F mesurant des pertes définie sur L p (Ω, F, P) avec p [1, + ) 2. Pour F, F L p (Ω, F, P), la relation d ordre partiel est notée par F l F et est définie par P(F > x) P(F > x), x R. Définition 1.1. La fonction ρ(f) est appelée mesure de risque, associée à F, si elle est définie par ρ(f) : L p (Ω, F, P) R = R {± } et qu elle est propre : ρ(f) > F L p (Ω, F, P) et que dom(ρ) = {F L p (Ω, F, P) : ρ(f) < + } est non-vide. 1 Ceci signifie typiquement que Ω est un espace de probabilité muni de la loi de probabilité P. 2 L p (Ω, F, P) = {f : Ω R : f mesurable et f p < + } est l espace des fonctions F-mesurables et dont la p-ième puissance est intégrable au sens de Lebesgue. Typiquement, F est une variable aléatoire qui peut être mesurée dans Ω par la loi de probabilité P. 6

7 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Définition 1.2. Si pour tout c R et F, F L p (Ω, F, P), la mesure de risque ρ( ) vérifie les 4 propriétés (C1)-(C4), alors ρ( ) est une mesure de risque cohérente. (C1) Convexité : ρ(λf + (1 λ)f ) λρ(f) + (1 λ)ρ(f ) pour 0 λ 1 (C2) Monotonicité : Si F l F alors ρ(f) ρ(f ) (C3) Equivariance sous translations : ρ(f + c) = ρ(f) + c (C4) Homogénéité positive : ρ(cf) = cρ(f), pour c > 0 La cohérence a été définie dans le but de définir une classe de mesures de risque possédant des propriétés financières intéressantes. L interprétation des propriétés est réalisée à l aide de la définition de la comonotonicité 3 expliquée par M. Denuit dans [5]. Analyse des propriétés (C1) La convexité est induite par l homogénéité positive (C4) et de la sous-additivité : ρ(f + F ) ρ(f) + ρ(f ) F, F L p (Ω, F, P) (1.1) La sous-additivité signifie que le risque associé à une somme d événements incertains est plus petit ou égal à la somme des risques d événements incertains, c est-àdire que le risque financier peut être réduit par diversification. Nous noterons que l égalité dans (1.1) vaut si F et F sont comonotones. La répartition de leur risque est alors identique et la diversification n est plus possible. (C2) La monotonicité est une propriété naturelle. Si une variable aléatoire génère moins de pertes qu une autre, alors son critère de risque est inférieur. (C3) L équivariance sous translations signifie que les éléments déterministes additifs ne sont pas sujets à la mesure de risque. La propriété implique : ρ(f ρ(f)) = 0. Ainsi, ρ(f) est ce qu il faut retirer à F pour annuler son risque sous la mesure ρ( ). (C4) L homogénéité positive signifie que les éléments déterministes multiplicatifs n influencent pas la mesure de risque. Pour le cas particulier c N, la mesure s écrit : ρ(cf) = ρ(f + F + +F) = ρ(f) + ρ(f) + + ρ(f) = cρ(f). On constate que le concept est similaire à celui de la comonotonicité. 1.2 Value-at-Risk : VaR La Value-at-Risk est la mesure de risque de référence pour les textes légaux. Plusieurs formulations ont été proposées. Nous reprenons la formulation la plus usuelle proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14] portant sur des variables aléatoires mesurant des pertes. La démonstration de la non-cohérence de la VaR est personnelle. Nous ajoutons la définition de la VaR portant sur des variables aléatoires mesurant des bénéfices. 3 Pour une certaine variable aléatoire Z et deux fonctions h( ) et h ( ) non-décroissantes, si F = h(z) et F = h (Z), alors les deux variables F et F sont comonotones. 7

8 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Soit F, une variable aléatoire mesurant des pertes et H F (f) = P(F f) sa fonction de répartition. Pour tout α (0, 1), on peut définir le quantile de niveau α H 1 F (α) = inf{f : H F(f) α} = inf{f : P(F f) α} = inf{f : P(F > f) 1 α} Si la fonction de répartition présente un plateau au niveau α, alors H 1 F (α) est le quantile gauche de H F (f) de niveau α, le quantile de droite étant donné par : sup{f : H F (f) < α}. Définition 1.3. La Value-at-Risk mesurée sur des pertes est définie par : VaR α (F) = H 1 F (α) = inf{t : H F(t) α} (1.2) c est-à-dire que la Value-at-Risk de niveau α est une valeur telle que des pertes plus importantes que VaR α (F) arrivent avec une probabilité qui ne dépasse pas 1 α. Pour un calcul de risques financiers, on est intéressé par de grandes valeurs de α. Typiquement, α = 0.99 ou α = Proposition 1.4. La VaR n est pas cohérente. Plus spécifiquement, elle n est pas convexe, mais est monotone, équivariante sous les translations et positivement homogène. Preuve. Les 4 propriétés définissant les mesures cohérentes sont montrées séparément. Vu que nous montrerons que la VaR n est pas convexe, elle n est alors pas cohérente. (C1) La VaR n est pas convexe. Nous allons le démontrer par le contre-exemple suivant. Soit, 2 variables aléatoires mesurant des pertes F i, i = 1, 2. Elles admettent deux réalisations équiprobables F i = 1 ou F i = 2. On a donc VaR 0.5 (F i ) = 1. Leur réalisation conjointe admet deux scénarios équiprobables, soit (F 1, F 2 ) = (1, 2), soit (F 1, F 2 ) = (2, 1), tels que F 1 + F 2 = 3 pour tous les scénarios. On a donc VaR 0.5 (0.5(F 1 + F 2 )) = 1.5. Nous constatons qu il n y a pas convexité, vu que : 1.5 = VaR 0.5 (0.5F F 2 ) > 0.5VaR 0.5 (F 1 ) + 0.5VaR (F 1 ) = 1 (C2) La VaR est monotone. Il vient de la définition de la monotonicité que F 1 l F 2 P(F 1 > t) P(F 2 > t) inf{t : P(F 1 > t) 1 α} inf{t : P(F 2 > t) 1 α} inf{t : P(F 1 t) α} inf{t : P(F 2 t) α} VaR α (F 1 ) VaR α (F 2 ) (C3) La VaR est équivariante sous les translations. Si c R VaR α (F + c) = inf{f : P(F + c f) α} = inf{f + c : P(F f ) α} = inf{f : P(F f ) α} + c = VaR α (F) + c t 8

9 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES (C4) La VaR est homogène positivement. Si c R + 0, VaR α (cf) = inf{f : P(cF f) α} = inf{cf : P(F f ) α} = c inf{f : P(F f ) α} = c VaR α (F) Malgré le fait qu elle ne soit pas cohérente, elle constitue la référence du législateur en matière de calcul de réserves financières de solvabilité. Solvency II par exemple se base sur une VaR à 99,5%. Value-at-Risk sur des bénéfices Si F est une variable aléatoire mesurant des bénéfices, la Value-at-Risk peut aussi être définie symétriquement pour les niveaux de profits trop faibles. Vu que α réprésente le niveau de sécurité, nous restons intéressés par des valeurs grandes de α, typiquement 0.99 ou Il s agira donc de fixer la Value-at-Risk au quantile 1 α de la distribution. Définition 1.5. La Value-at-Risk mesurée sur des bénéfices VaR B α (F) est définie par : VaR B α (F) = H 1 F (1 α) = inf{f : H F(f) 1 α} (1.3) où la Value-at-risk de niveau α pour des bénéfices est la valeur telle que des bénéfices inférieurs à VaR B α (F) arrivent avec une probabilité qui ne dépasse pas 1 α. Mathématiquement, on a VaR B α(f) = VaR 1 α (F). 1.3 Tail Value-at-Risk : TVaR Beaucoup d auteurs et d articles dans la littérature définissent la Tail Value-at-Risk (TVaR) 4. C est cependant l approche de Shapiro et Ruszczyński dans [14] que nous retiendrons. Ils définissent la TVaR comme une approximation convexe de la VaR. En effet, la non-convexité de la VaR est un frein pour les problèmes d optimisation convexes voulant intégrer une contrainte de VaR. Pour F mesurant des pertes, la contrainte de VaR pourrait s écrire VaR α (F) 0, c est-à-dire fixer un niveau de pertes négatif, donc de bénéfices. On peut contruire une approximation conservative convexe de cette contrainte au sens de la restriction de l ensemble des valeurs admissibles notée TVaR α (F) 0 pour laquelle on définit la mesure de Tail Value-at-Risk (TVaR), voir définition 1.6. Nous reprenons dans cette section les démonstrations qui mènent à la défintion usuelle de la TVaR, voir définition 1.8. Les preuves présentées dans [14] ont été retravaillées dans un but de clarté et de complétude. La démonstration de la cohérence de la TVaR est personnelle. Nous ajoutons aussi la définition de la TVaR pour des variables aléatoires mesurant des bénéfices. 4 Elle est aussi appelée Conditional Value-at-Risk (CVaR) ou Average Value-at-Risk (AVaR). 9

10 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Définition 1.6. La Tail Value-at-Risk est définie par : TVaR α (F) = inf t R {t + (1 α) 1 E[F t] + } (1.4) Cette définition ne sera utilisée que pour monter la cohérence de la TVaR. La défintion usuelle sera dérivée en (1.9). L interprétation de la mesure y sera expliquée. Proposition 1.7. L équation (1.4) est équivalente à TVaR α (F) = VaR α (F) + (1 α) 1 E[F VaR α (F)] + (1.5) Dès lors, on a TVaR α (F) VaR α (F). Preuve. Le but est de montrer que dans (1.4), on a t = VaR α (F). Ainsi, l équation (1.5) serait démontrée. De plus, vu que le deuxième terme de cette équation est positif, alors on aurait bien TVaR α (F) VaR α (F). Montrons donc t = VaR α (F) dans (1.4). Nous définissons φ(t) de sorte que TVaR α (F) = inf t {φ(t)}. On a φ(t) = t + (1 α) 1 E[F t] + (1.6) On cherche l argument de φ(t), noté t, auquel son infimum est réalisé. On montre à la proposition 1.10 que φ(t) est convexe en t. Ceci implique que tout infimum local est global et que φ(t) est continue en t. Dès lors, nous savons que t sera tel que φ (t ) 0 φ + (t ) où φ (t ) et φ +(t ) sont respectivement les dérivées à gauche et à droite de φ( ) pour t t. En particulier, si φ(t) est dérivable en t = t, la condition revient à φ (t ) = 0. Nous devons donc calculer φ (t ), φ (t ) et φ +(t ). Nous calculons ci-dessous l expression de φ (t ), les autres se calculant d une manière similaire. Pour calculer φ (t ), on a besoin de connaitre la dérivée de E[F t] + en t = t. On note h F (f) la fonction de densité de F et H F (f) sa fonction de répartition. On a, d dt E[F t] + = d + (f t)h F (f)df t=t dt t t=t = (t t)h F (t) d + dt t + t t (f t)h F(f)df t=t + = h F (f)df t = H F (t ) 1 t=t La dérivée de φ(t) en t = t est dès lors donnée par φ (t ) = 1 + (1 α) 1 [H F (t ) 1] (1.7) Les expressions φ (t ) et φ +(t ) sont données par l équation (1.7) dans laquelle H F (t ) est remplacée par H F (t ) et H + F (t ) respectivement, les limites à gauche et à droite de H F (t) pour t t. 10

11 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Supposons que l infimum de φ(t) est réalisé en l argument t donné par t = inf{f : H F (f) α} = VaR α (F) (1.8) Nous allons montrer que (1.8) vérifie les conditions donnant t l argument de φ(t) auquel son infimum est réalisé. Par (1.8), on a H + F (t ) α. Par (1.7), on a φ + (t ) 0. Pour tout point t < t, on a par (1.8), H F (t) < α et donc en particulier H F (t ) < α. Ainsi, par (1.7), on a φ (t ) 0. On a bien φ (t ) 0 φ + (t ), ce qui montre donc que l infimum de φ(t) est réalisé en t. La définition proposée pour t est alors validée. Notons qu en particulier, si H F (t) est continue en t = t, alors par (1.8), on a H F (t ) = α et donc par (1.7), φ (t ) = 0. Cette remarque clôt la preuve. Proposition 1.8. La TVaR α (F) pour des pertes se définit usuellement par TVaR α (F) = 1 1 α 1 α VaR ξ (F)dξ (1.9) La TVaR de niveau α est décrite comme étant une mesure moyenne des pertes plus importantes que celles données par VaR(α). Preuve. La relation (1.5) s écrit TVaR α (F) = VaR α (F) α VaR α(f) (f VaR α (F))dH F (f) Si l on pose le changement de variable ξ = H F (f), on a f = H 1 F (ξ) = VaR ξ(f) et les bornes deviennent H F (VaR α (F)) = α et H F (+ ) = 1. Les différents termes se simplifient alors pour donner l énoncé. On constate par la proposition 1.8 que TVaR 0 (F) = E(F), ce qui permet de réécrire TVaR α (F) sous la forme équivalente TVaR α (F) = 1 ( α ) E(F) VaR ξ (F)dξ 1 α Proposition 1.9. Si la fonction de répartition H F ( ) de F est continue en VaR α (F), alors la TVaR α (F) peut aussi se calculer par TVaR α (F) = 1 1 α VaR α(f) Preuve. La relation (1.5) permet d écrire : TVaR α (F) = VaR α (F) α = VaR α (F) α VaR α(f) [ 0 fdh F (f) = E[F F VaR α (F)] (1.10) (f VaR α (F))dH F (f) fdh F (f) VaR α (F) VaR α(f) 11 VaR α(f) ] dh F (f)

12 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES avec VaR α(f) dh F (f) = 1 P(F < VaR α (F)) Vu que H F est continue en VaR α (F), alors P(F < VaR α (F)) = P(F VaR α (F)) = α. On obtient alors, après simplification des termes, la première des deux égalités de la relation (1.10). Pour vérifier la seconde relation de (1.10), il suffit d appliquer à la première la formule de l espérance conditionnelle. Pour un calcul de risques financiers, nous noterons que tout comme pour la VaR, on est intéressé par de grandes valeurs de α. Typiquement, α = 0.99 ou α = Proposition La TVaR est cohérente. Elle admet donc les propriétés de convexité, de monotonicité, d équivariance sous les translations et d homogénéité positive. Preuve. Nous démontrons les 4 propriétés, ce qui montre la cohérence. (C1) Convexité : Pour montrer la convexité de la TVaR en F, il faut montrer la convexité de φ(t) conjointement en F et t. En effet, TVaR α (F) = inf t {φ(t)}. Pour montrer la convexité de φ(t) en F et t, il suffit de montrer la convexité de E[F t] + en F et t. En effet, φ(t) est donné par E[F t] + mis à l échelle par un facteur déterministe (1 α) 1 et additionné à une fonction linéaire t. Ainsi, si E[F t] + est conjointement convexe en F et t, alors la TVaR est convexe en F. Montrons la convexité de E[F t] + en F et t. Soit F 1 et F 2 définies sur L p (Ω, F, P). Soit t 1, t 2 R. Pour la lisibilité, nous notons K = λ(f 1 t 1 ) + (1 λ)(f 2 t 2 ). Pour 0 λ 1, on a E[K =λ(f 1 t 1 ) + (1 λ)(f 2 t 2 )] + = E[K K 0] P[K 0] + E[0 K < 0] P[K < 0] = λe[(f 1 t 1 ) K 0] P[K 0] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) K 0] P[K 0] λe[(f 1 t 1 ) + K 0] P[K 0] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) + K 0] P[K 0] car pour a R, on a a [a] + λe[(f 1 t 1 ) + ] P[K 0] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) + ] P[K 0] car pour deux variables aléatoires positives A et B, on a P[A B] P[A] λe[(f 1 t 1 ) + ] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) + ] car P[K 0] [0, 1] Nous avons donc montré que E[F t] + est conjointement convexe en F et t. Ceci cloture la preuve de la convexité en F de la TVaR. (C2) Monotonicité : Si F 1 l F 2, on a P(F 1 > t) P(F 2 > t), t. D où E[F 1 t] + E[F 2 t] + t inf{t : t + (1 α) 1 E[F 1 t] + } inf{t : t + (1 α) 1 E[F 2 t] + } TVaR α (F 1 ) TVaR α (F 2 ) 12

13 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES (C3) Translation équivariance : Si c R TVaR α (F + c) = inf{t : t + (1 α) 1 E[F + c t] + } = inf{t : t + c + (1 α) 1 E[F t ] + } = TVaR α (F) + c (C4) Homogénéité positive : Si c R + 0 TVaR α (cf) = inf{t : t + (1 α) 1 E[cF t] + } = inf{t : ct + c(1 α) 1 E[F t ] + } = c TVaR α (F) De par sa cohérence, cette mesure de risque constitue dès lors le candidat théorique idéal aux futurs modèles de calcul de réserves financières. Il faut toutefois garder à l esprit que la valeur de référence législative est la VaR. Comparaison VaR et TVaR Les relations (1.9) et (1.10) signifient que la TVaR est une mesure moyenne des pertes plus importantes que la VaR. Ainsi, on dira que cette mesure prend en compte la forme de la queue de la distribution, d où le nom de Tail Value-at-Risk. De plus, à la proposition 1.7, on a montré que TVaR α (F) VaR α (F). On illustre à la figure 1.1 que la mesure de TVaR est en effet plus grande que celle de VaR. α VaR 2 TVaR CDF LogN Niveau α VaR TVaR Fig. 1.1: Comparatif des mesures de VaR et TVaR. VaR= et TVaR= pour X LogN(µ = 0.2,σ 2 = 0.09) et α = 0.9 Tail Value-at-Risk sur des bénéfices Si F est une variable aléatoire mesurant des bénéfices, la Tail Value-at-Risk peut être définie symétriquement pour les niveaux trop faibles de bénéfices. Vu que α réprésente le niveau de sécurité, nous restons intéressés par des valeurs grandes de α, typiquement α = 0.99 ou α = Elle s exprime alors par l intégrale des VaR générant des bénéfices inférieurs à VaR B α(f). 13

14 CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Définition La TVaR mesurée sur des bénéfices TVaR B α (F) est définie par : TVaR B α (F) = 1 1 α 1 Si la fonction de répartition est continue en VaR B α(f), alors TVaR B α (F) = 1 1 α VaR B α (F) α VaR B ξ (F)dξ (1.11) fdh F (f) = E[F F VaR B α (F)] (1.12) où la TVaR B de niveau α est une mesure moyenne des bénéfices plus faibles que ceux donnés par VaR B α. Il apparait pour la TVaR que TVaR B α(f) TVaR 1 α (F). En effet, il ne s agit pas d un simple quantile, mais d une mesure pondérée. Pour ce qui est de l ordre de comparaison avec la VaR, on peut montrer que TVaR B α (F) VaRB α (F). Conclusion Dans ce chapitre, nous avons défini les deux mesures de risque statiques les plus utilisées pour le calcul de réserves financières : la Value-at-Risk (VaR) et la Tail Valueat-Risk (TVaR). Nous avons défini le concept de mesure de risque cohérente et avons montré que la VaR ne l est pas et que la TVaR l est. Dans le chapitre suivant, nous nous intéresseront à l application de ces deux mesures au calcul de la réserve financière d un problème statique de compte à terme. 14

15 Chapitre 2 Compte à terme sans sorties intermédiaires Au chapitre précédent, les mesures de risque statiques VaR et TVaR ont été définies. Ces mesures sont dites statiques, car elles ne peuvent mesurer le risque que d une unique variable aléatoire. Dans ce chapitre, nous effectuons une application originale du calcul de la réserve financière de solvabilité d un problème de compte à terme à l aide de ces mesures. Après avoir décrit le problème, nous passerons au calcul de la réserve pour enfin donner la solution au problème. Tous les résutats et développements sont personnels. 2.1 Despciption du problème Le cas d application sur lequel nous travaillons pour les mesures de risque statiques est un compte à terme sans sorties intermédaires, voir figure 2.1. Un total de L 0 clients placent 1e en banque pour une durée fixe T et ne peuvent pas récupérer leur placement avant le terme du contrat. En guise de prime de liquidité, la banque leur offre un rendement i supérieur au taux sans risque du marché r. t=0 L = T t=t (1+i) T L 0 1 L 0 Fig. 2.1: Compte à terme sans sorties intermédiaires Pour créer un rendement supérieur au taux sans risque du marché, la banque constitue un portefeuille d actifs sans risque et d actifs risqués qui a un plus grand rendement en espérance que le taux i offert par le compte à terme. Afin de générer un maximum de profits, la banque rebalance en permanence ses investissements. L actif de la banque est alors représenté par un portefeuille dynamique. Selon Pierre Devolder, dans [7], la valeur d un actif financier risqué peut être représenté par un brownien géométrique. Nous représentons dès lors l actif dynamique par le brownien géométrique S(t). Définition 2.1. Le brownien géométrique S(t) est défini par l équation différentielle ds(t) = δs(t)dt + σs(t)dw(t) 15

16 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES qui peut être intégré par l intégrale de Ito pour ainsi donner S(t) = S 0 exp(δt + σw(t) σ 2 t/2) (2.1) où δ est le trend, σ le drift et w(t) N(0, t) le mouvement brownien de moyenne nulle et de variance égale à t. Dès lors, S(t) est distribué selon une loi lognormale 1 ( S(t) S 0 LogN (δ 1 ) 2 σ2 )t, σ 2 t Nous constatons que S(t) croit exponentiellement à un taux proportionnel au temps t et avec une dispersion (écart-type) proportionelle à la racine carrée du temps t. Vu que S(t) est une variable aléatoire, sa valeur en fin d horizon est incertaine. Le problème ainsi posé est statique, car un unique problème de solvabilité se pose pour la banque en fin d horizon. Le bilan actif passif de la banque en t = T peut être décrit par une variable aléatoire F mesurant des pertes. Le bilan F des pertes est donné par le passif à payer au client (1 + i) T moins la valeur de revente incertaine de l actif S(T) : F(T) = (1 + i) T S(T) (2.2) où l on a pris sans pertes de généralités L 0 = 1. En effet, pour un problème statique, il ne s agit que d une normalisation des pertes à une entrée. 2.2 Détermination de la réserve Afin de se protéger du risque financier que représente le compte à terme, la banque doit constituer une réserve financière en t = 0. Ainsi, si en t = T, le rendement effectué sur ses actifs S(T) est insuffisant pour rencontrer ses engagements (1 + i) T, alors elle pourra puiser dans sa réserve financière afin de rester solvable pour ses clients. Comment déterminer le montant de cette réserve? La banque se fixe un certain niveau de risque typiquement grand α = Elle désire ainsi être solvable en t = T dans 99,5% des scénarios. Si elle connait la fonction de répartition de ses pertes F en t = T, il lui suffit de disposer d un montant égal à VaR (F). En effet, cette dernière quantité représente une borne supérieure de ce que coûterait la perte en t = T dans 99,5% des cas. Dès lors, si nous notons r, le taux sans risque du marché, alors la banque doit mettre un capital C0 VaR en réserve en t = 0 et placé au taux sans risque r pour être solvable à ce même niveau en t = T. Ce capital est donné par : C VaR 0 = (1 + r) T VaR (F(T)) (2.3) Si la banque veut prendre en compte l influence de la queue de la distribution de F, alors elle peut préférer mettre de côté un capital plus important donné par C TVaR 0 = (1 + r) T TVaR (F(T)) (2.4) 1 Par définition, si X N(µ, σ 2 ) et Y = e X, alors Y LogN(µ, σ 2 ). On peut identifier pour le brownien géométrique Y = S(t)/S 0 et X = δt + σw(t) σ 2 t/2. 16

17 = E[S S VaR B α (S)] = TVaRB α (S) CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Afin de dériver correctement les expressions (2.3) et (2.4), nous avons besoin d un résultat intermédiaire donné à la proposition 2.2. Celui-ci sera appliqué sur S(T) une variable aléatoire de loi lognormale, donc positive, strictement croissante et continue. Proposition 2.2. Soit S une variable aléatoire de loi de répartition H S (s) = P(S s) continue, strictement croissante et positive. On a alors VaR α ( S) = VaR B α (S) et TVaR α( S) = TVaR B α (S) Preuve. Vu que S est une variable aléatoire de loi de répartition H S (s) = P(S s) continue, strictement croissante et positive, on a H S (s) = P( S s) = P(S s) = 1 P(S s) = 1 H S ( s) La thèse découle de cette égalité et des hypothèses sur S : Pour la VaR : Pour la TVaR : VaR α ( S) = {s : H S (s) = α} = {s : 1 H S ( s) = α} = { s : H S (s) = 1 α} = VaR B α (S) TVaR α ( S) = E[ S S VaR α ( S)] = E[ S S VaR B α (S)] Nous sommes maintenant en mesure de dériver les expressions (2.3) et (2.4) afin d aboutir sur les formulations que nous utiliserons en pratique pour le calcul de la réserve financière du compte à terme. Nous commençons par le capital de réserve calculé à l aide de la VaR. Pour cela, nous remplaçons l expression de F(T) donnée à la relation (2.2) dans (2.3). Nous utilisons ensuite la propriété d équivariance sous les translations de la VaR ainsi que la proposition 2.2. Nous aboutissons à l expression finale de C0 VaR. C VaR 0 = (1 + r) T VaR ((1 + i) T S(T)) = (1 + r) T ( (1 + i) T + VaR ( S(T)) ) = (1 + r) T ( (1 + i) T VaR B 0.995(S(T)) ) (2.5) Si nous faisons de même pour la relation (2.4), nous obtenons C TVaR 0 = (1 + r) T TVaR ((1 + i) T S(T)) = (1 + r) T ( (1 + i) T + TVaR ( S(T)) ) = (1 + r) T ( (1 + i) T TVaR B (S(T))) (2.6) Les réserves (2.5) et (2.6) sont entièremment déterminées à condition de savoir calculer VaR B (S(T)) et TVaRB (S(T)), ce que nous abordons à la section suivante. 17

18 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Choix du niveau de risque Le niveau de risque choisi par défaut est de 99,5% car c est le taux imposé par Solvency II. On estime ainsi que les crises financières n arriveront que dans 1 cas sur 200. Nous baserons nos calculs à la fois sur la VaR et la TVaR. Il n y a pas une bonne mesure, mais chacune a ses avantages. C est en conciliant les deux informations qu on en tire le plus grand avantage. 2.3 Calcul de la réserve Les équations (2.5) et (2.6) nécessitent le calcul de la VaR et de la TVaR de S(T) respectivement. Après un bref commentaire sur la méthode de Monte Carlo, nous développerons des formules analytiques permettant de calculer la VaR et la TVaR d une distribution lognormale et ainsi permettre le calcul de la réserve financière Méthode de Monte Carlo Une première approche consiste à générer un ensemble de N scénarios indépendants donnant l évolution de l actif financier S(t). On génère ainsi N états du monde distincts en t = T, donnés par S(T, ω). La théorie de Monte Carlo nous dicte que pour un N suffisamment grand, la distribution des S(T, ω) converge vers S(T). Pour calculer la VaR, il suffit alors de trier les réalisations S(T, ω) et d en prendre le bon quantile. Pour générer les scénarios, nous devons au préalable générer les N mouvements brownien w(t). Vu que le mouvement brownien est un processus à accroissements indépendants et stationnaires en tous points, voir P. Devolder [7], la seule manière de le générer est par approximations successives. La taille des pas de l approximation rend donc les résultats sensibles. Pour des α 1, le nombre de scénarios à écarter par la VaR est faible par rapport au nombre total. Pour que l approximation soit valable, il faut dès lors effectuer un grand nombre de scénarios N. Cette méthode nécessite donc un grand temps de calcul et propage des erreurs. Nous n étudierons pas plus cette méthode et laissons la place aux méthodes exactes analytiques basées sur la fonction de répartition de S(t) Méthode exacte Définition 2.3. La fonction φ(z) est définie telle que φ(z) = P(Z z) où Z N(0, 1). Dès lors, φ(z) est la fonction de répartition d une distribution normale centrée et réduite. φ(z) = z 1 2π e t2 2 dt (2.7) Lemme 2.4. g( ) fonction strictement croissante, α : VaR α (g(y )) = g(var α (Y )). Preuve. On a H Y (y) = P(Y y) = P(g(Y ) g(y)) = H g(y ) (g(y)) vu que g( ) est une fonction strictement croissante. Dès lors, inf{g(y) : H Y (y) α} = inf{g(y) : H g(y ) (g(y)) α} 18

19 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES où le membre de droite est par définition VaR α (g(y )). Pour le membre de gauche, vu que g( ) est strictement croissante, l infimum sur g(y) est obtenu pour la même valeur de y que si on avait d abord pris l infimum sur y puis composé à g( ). Ainsi, on a inf{g(y) : H Y (y) α} = g (inf{y : H Y (y) α}) qui est par définition g(var α (Y )). Nous avons dès lors montré l énoncé. Proposition 2.5. Soit X N(µ, σ 2 ) et Y = e X tel que Y LogN(µ, σ 2 ). On a VaR α (Y ) = exp(φ 1 (α)σ + µ) (2.8) VaR B α(y ) = exp(φ 1 (1 α)σ + µ) (2.9) Preuve. Vu que VaR B α(f) = VaR 1 α (F) selon la définition 1.5, il nous suffit de montrer la relation (2.8). En utilisant le lemme 2.4 ainsi que les propriétés d équivariance sous les translations et d homogénéité positive de la VaR, on montre que VaR α (Y ) = exp(φ 1 (α)σ + µ) ln(var α (Y )) = φ 1 (α)σ + µ VaR α (ln(y )) = φ 1 (α)σ + µ ( ) ln(y ) µ VaR α = φ 1 (α) σ ln(y ) µ Vu que par définition, ln(y ) = X et X N(µ, σ 2 ), alors la variable est la σ normale réduite N(0, 1). La VaR d une normale réduite est bien par définition égale à φ 1 ( ). Ce qui clôt la preuve. Proposition 2.6. Soit X N(µ, σ 2 ) et Y = e X tel que Y LogN(µ, σ 2 ). On a TVaR α (Y ) = 1 ) (µ 1 α exp + σ2 φ(φ 1 (1 α) + σ) (2.10) 2 TVaR B α(y ) = 1 ) (µ 1 α exp + σ2 φ(φ 1 (1 α) σ) (2.11) 2 Preuve. Nous nous focalisons sur TVaR B α (Y ). Une démonstration similaire permet de vérifier la formule pour TVaR α (Y ). La loi lognormale est continue, donc, selon la définition 1.11, l expression de TVaR B α (Y ) peut être calculée par TVaR B α(y ) = 1 1 α = 1 1 α VaR B α (Y ) VaR B α (Y ) 19 ydh Y (y) 1 y y 2πσ e 1 2σ 2 (ln(y) µ)2 dy

20 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Posons x = ln y, cela devient TVaR B α (Y ) = 1 1 α ln(var B α (Y )) où l on développe l argument de l exponentielle de la forme L équation devient donc 1 2πσ e x 1 2σ 2 (x µ)2 dx x 1 2σ 2(x µ)2 = 1 2σ 2([x (µ + σ2 )] 2 2µσ 2 σ 4 ) TVaR B α (Y ) = 1 σ 2 1 α eµ+ 2 = 1 σ 2 1 α eµ+ 2 ln(var B α (Y )) ln(var B α (Y )) 1 2πσ e 1 2σ 2 (x (µ+σ2 )) 2 dx f N(µ+σ 2,σ 2 )dx où f N(µ+σ 2,σ 2 ) est la fonction de densité de probabilité d une variable W distribuée normalement W N(µ + σ 2, σ 2 ). Dès lors, si on appelle Z N(0, 1), ln(var1 α (Y )) f N(µ+σ 2,σ 2 )dx = P(W ln(var B α (Y )) ( ) = P Z ln(varb α(y )) (µ + σ 2 ) σ ( ln(var B ) = φ α(y )) µ σ σ Or, on a montré à la proposition 2.5 que VaR B α(y ) = exp(φ 1 (1 α)σ + µ). D où ( ln(var B ) α (Y )) µ φ σ = φ(φ 1 (1 α) σ) σ En regroupant l ensemble, on obtient TVaR B α (Y ) = 1 1 α exp ) (µ + σ2 φ(φ 1 (1 α) σ) 2 Les formules de calcul de la VaR et la TVaR d une loi lognormale (2.9) et (2.11) s expriment en fonction de la loi φ( ), c est-à-dire de la loi normale N(0, 1). Ceci est un avantage considérable, car cette loi est bien connue et tabulée pour toutes ses valeurs. Nous sommes dès lors en mesure de calculer la réserve financière du compte à terme par les formules (2.5) et (2.6). 2.4 Application numérique Dans cette section, nous calculons la réserve financière par la VaR et par la TVaR pour le problème du compte à terme sans sorties intermédiaires. Nous évaluerons tout d abord les réserves financières pour un cas de référence. Nous évaluerons ensuite la sensibilité de ces calculs par rapport aux paramètres de description du problème. 20

21 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Détermination du cas de référence 0n choisit pour i et r des valeurs proches de celles d un marché hors crise : typiquement r = 0.03 le taux sans risque du marché et i = 0.04 le taux du compte à terme. Comme expliqué à la section 2.1, S(t) est en réalité un portefeuille dynamique d actifs risqués et de titres sans risque. Nous considérons que S(t) garde les caractéristiques d un actif risqué mais moins volatile qu un actif risqué pur en raison de sa nature dynamique optimale. Pour calibrer S(t), il faut déterminer le trend δ et le drift σ. Les valeurs typiques pour un actif risqué pur sont (δ, σ) = (0.08, 0.2). Etant un mélange dynamique d actifs risqués et de titres sans risque, l actif S(t) sera considéré avec une diminution certaine de son drift σ. Si nous représentons l actif S(t) par un schéma binomial, où u est le rendement à la hausse et d le rendement à la baisse, nous devons imposer en vertu de l hypothèse d absence d opportunités d arbitrage (pour la définition voir [7]) les contraintes 1 + u > 1 + i > 1 + r > 1 + d. Nous considérons que les deux scénarios du schéma binomial sont équiprobables. Supposons que nous adaptions notre brownien géométrique S(t) aux deux premiers moments du schéma binomial. Les deux représentations ne seront naturellement pas équivalentes car tous les autres moments ne seront pas identiques, mais cela permettra d avoir une idée des paramètres choisis. Pour une unique étape du schéma binomial et pour une durée unitaire t = 1 du brownien géométrique, en identifiant les 2 premiers moments 2, on obtient δ = ln (1 + (u + d)/2) et σ = ln ( ) ((u d)/2) (u + d)/2 + 1 Pour un actif binomial équiprobable équilibré autour du rendement i offert par le compte à terme, on aura δ = ln(1+i) i, ce qui semble pessimiste pour des rendements d actifs. Plus l écart entre u et d est petit, plus σ est petit. Vu que l actif S(t) est un mélange d actifs avec et sans risque, il faut veiller à ce que cet écart ne soit pas trop grand, de manière à limiter la valeur de σ tout en conservant une valeur minimale correspondant à une part de risque dans S(t). Vu que le rendement typique d un actif risqué est de δ = 0.08, nous essyons de définir S(t) pour la même valeur. Ainsi, pour (1 + u, 1 + d) = (1.13, 1.03), on a δ 0.08 et σ On constate que pour ces valeurs 1 + d = 1 + r, ce qui signifie que l actif dynamique rapporte au moins le taux sans risque du marché, ce qui est une hypothèse raisonnable. La valeur de 1 + u a été choisie de sorte que la dispersion ne soit pas trop grande. Le cas de référence est dès lors défini par (i, r) = (0.04, 0.03) et (δ, σ) = (0.08, 0.05). En vue de respecter au mieux la philosophie de Solvency II, la mesure de risque est prise à α = Nous noterons encore que la durée du contrat sera par défaut de T = 5 ans. 2 Selon P. Devolder dans [7] : Pour S(t), on a E(S) = S 0 e δt et V(S) = S 2 0 e2δt (e σ2t 1) 21

22 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Résultats numériques Dans cette section, nous calculons les réserves financières du problème du compte à terme sans sorties intermédiaires pour le cas de référence. Nous analyserons l impact du choix de la durée du contrat T ainsi que du niveau de sécurité α choisi. Nous réaliserons ensuite une brève analyse de sensibilité permettant de mettre en évidence la sensibilité du calcul face au choix des paramètres (δ, σ) de S(t). Cas de référence Nous rappelons que les réserves sont calculées par C0 VaR = (1 + r) ( T (1 + i) T VaR B 0.995(S(T)) ) C0 TVaR = (1 + r) ( T (1 + i) T TVaR B 0.995(S(T)) ) Conformément aux défintions du chapitre 1, on a TVaR B α (F) VaRB α (F). Dès lors, on doit obtenir des capitaux de réserves tels que C0 VaR C0 TVaR. Pour le cas de référence (δ, σ) = (0.08, 0.05) et (i, r) = (0.04, 0.03) et α = sur une durée de 5 ans, les réserves financières sont : C0 VaR = et C0 TVaR = Selon la VaR, ceci signifie que pour assurer sa solvabilité à 99.5%, lorsqu un client achète le produit de compte à terme à 1e, la banque doit mettre de côté au moins 0.09e. La mesure de TVaR nous indique une augmentation de 36% de la réserve, ce qui montre que la distribution de la queue est bien marquée. La banque aurait intérêt, selon le critère de TVaR à mettre plus d argent en réserve. Pour la même série de paramètres (δ, σ) = (0.08, 0.05) et (i, r) = (0.04, 0.03), nous allons étudier l influence de la durée et ensuite l inflence de α. L influence de la durée sur les réserves C0 VaR et C0 TVaR est donnée à la table 2.1. T VaR B α (S(T)) C VaR TVaR B α (S(T)) C TVaR Tab. 2.1: Influence du nombre d années sur le calcul de la réserve pour le cas de référence Plus la durée est longue, plus les mesures de risque VaR B α(s(t)) et TVaR B α(s(t)) sont importantes. Ceci est la conséquence de la proportionnalité de la variance du brownien géométrique S(t) avec la durée t. Par contre, pour les capitaux de réserve C0 VaR et C0 TVaR, on observe un comportement concave unimodal avec un maximum entre T = 3 et T = 4. Ceci est le reflet des différentes influences des facteurs et termes (1 + r) T et (1 + i) T selon le temps avec i > r. 22

23 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES L influence du niveau de risque α est aussi importante. Plus α est grand, plus l écart entre VaR B α (S(T)) et TVaRB α (S(T)) diminue. En effet, la mesure de TVaR est une intégrale des mesures de VaR au-dessus de α. Les deux mesures convergent donc au bord en α = 1. A la figure 2.2, les valeurs de VaR B α (S(T)) et TVaRB α (S(T)) sont données en fonction de α pour le cas de base et T = 5. Nous y observons un comportement identique pour les capitaux de réserve C0 VaR et C0 TVaR. En effet, ils sont simplement translatés et mis à l échelle par (1 + i) T et (1 + r) T. En ce qui concerne la VaR, ce n est que pour des valeurs critiques de α supérieures à α c = 96, 3% que la VaR et la TVaR mènent à des capitaux de réserves C0 VaR et C0 TVaR positifs. Pour les α plus petits, le capital à réserver est négatif, en d autres mots, il n est pas utile pour couvrir le compte à terme à ce niveau de risque B VaR (S(T)) α B TVaR (S(T)) α TVaR C 0 VaR C α Fig. 2.2: Influence du choix de α pour le cas de référence sur VaR B α (S(T)) et TVaRB α (S(T)) ainsi que sur C0 VaR et C0 TVaR. Ce résultat est fort dépendant du choix des paramètres. Ainsi, si on décide de multiplier par deux le drift du brownien géométrique : σ = 0.1, la valeur critique α c descend à 78,8%. En effet, augmenter σ signifie qu on augmente l incertitude et donc on expose le compte à terme à de plus grandes pertes. Dès lors, le niveau de sécurité minimal pour assurer la solvabilité doit diminuer. Pour σ = 0.2, l effet s emplifie, on obtient un α c de 59,3%. Naturellement, on observe l effet inverse si on diminue σ au lieu de l augmenter. Le même résultat peut être observé en jouant sur δ. Si on décide de diviser par deux le trend : δ = 0.04, on obtient α c = 49,2%. En effet, en diminuant δ, le rendement moyen de l actif S(t) diminue, donc on expose le compte à terme à de plus grandes pertes. Dès lors, le niveau de sécurité minimal pour assurer la solvabilité doit diminuer. Pour δ = 0.06, l effet s accroit, on obtient α c = 80,95%. L effet inverse est observé si nous augmentons δ au lieu de le diminuer. On constate donc que les résultats sont fort sensibles aux valeurs des paramètres financiers (δ, σ). Nous allons donc réaliser une brève analyse de sensibilité du calcul de la réserve en fonction de ces paramètres. 23

24 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Analyse de sensibilité Les paramètres financiers (δ, σ) sont très sensibles en fonction du marché et la bonne estimation de la réserve financière dépend fortement d eux. Les valeurs de (i, r) choisies (i, r) = (0.04, 0.03) sont des valeurs typiques qui ne fluctuent pas beaucoup avec le temps. On les considèrera bien estimées. La véritable question est l estimation des paramètres (δ, σ) de l actif dynamique de la banque. Celui-ci ne doit pas être sous- ou sur-estimé. Nous réalisons tout d abord une analyse en faisant varier δ et ensuite une autre pour σ. Les valeurs des capitaux de réserve C0 VaR et C0 TVaR sont données aux figures 2.3 et 2.4 en fonction de δ et σ respectivement C 0 TVaR = C 0 VaR C 0 TVaR C 0 VaR = δ Fig. 2.3: Influence du choix de δ pour le cas de référence sur les réserves C VaR 0 et C TVaR C 0 VaR C 0 TVaR 1 C 0 TVaR = C 0 VaR = σ Fig. 2.4: Influence du choix de σ pour le cas de référence sur les réserves C VaR 0 et C TVaR 0. Nous commençons par analyser les résultats de la figure 2.3. Nous avons indiqué le cas de référence sur le graphe pour plus de clarté. La réserve est inversément proportionnelle à la valeur du trend δ. Par exemple, si l on divise par deux le rendement δ = 0.04 au lieu de δ = 0.08 (la banque aura réalisé pour une durée de 1 an, un rendement égal à celui qu elle offre à ses clients), les réserves sont multipliées environ par 3. A l inverse, si la banque réalise un rendement δ = 0.12, alors la banque ne nécessite plus de capitaux de réserve. Ceci montre donc l importance de la bonne estimation de δ. 24

25 CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES La sensibilité par rapport à σ est analysée à la figure 2.4. La réserve est directement proportionnelle à la valeur du drift σ. De nouveau, nous avons indiqué le cas de référence pour plus de clarté. Si l on fait varier la volatilité, on observe le même genre de phénomène. Si on diminue σ, le produit devient trop sûr et les capitaux de réserve deviennent négatifs. Si on l augmente, l actif devient trop volatile et on obtient des réserves de plus en plus grandes. A titre d exemple, si σ = 0.1 au lieu de σ = 0.5, les capitaux de réserve sont quadruplés. Pour σ = 0.2 quadruplé, les capitaux sont multipliés par 7. Ceci nous montre donc l importance de la bonne estimation de σ. La solvabilité du compte à terme est en grande partie déterminée par les mesures de risque appliquées à S(t). En vertu des observations rélaisées aux figures 2.3 et 2.4, la bonne estimation des paramètres (δ, σ) du brownien géométrique est de la plus grande importance. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons utilisé les mesures de risque statiques pour calculer la réserve financière d un compte à terme sans sorties intermédiaires. L incertitude sur un tel processus provient de l actif sous-jacent modélisé sous forme d un brownien géométrique. Le calcul des réserves nous a mené à déterminer des formules explicites, moyennant l évalutaion d une fonction normale, permettant la calcul de la VaR et de la TVaR d une loi lognormale, en l occurrence d un brownien géométrique. Le calcul de réserve a été réalisé sur un cas de référence. L objet du travail n est pas de se focaliser sur cette analyse, ni d en mesurer la sensibilité, mais bien de pouvoir la comparer par la suite à un calcul de réserve permettant d inclure d éventuelles sorties intermédaires au compte à terme. Dans le chapitre 3, nous définissons les mesures multipériodes, c est-à-dire les mesures permettant de calculer le risque associé à un ensemble de cash-flows d un processus. Dans le chapitre 4, nous passons alors à l application sur le compte à terme avec sorties intermédiaires. 25