CHAPITRE 8 : Probabilités (1)

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1 CHAPITRE 8 : Probabilités (1) I. Généralités (rappels) 1. Vocabulaire Définitions : On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard. L'ensemble des résultats (ou issues) possibles d'une expérience aléatoire est l'univers, on le note en général. Les éléments de sont aussi appelés des éventualités c'est-à-dire que une éventualité est une issue possible de l'expérience. Un événement est une partie de l'univers, c'est-à-dire un ensemble d'éventualités. Un événement élémentaire est un événement composé d'une seule éventualité. On dit qu une éventualité réalise un évènement A, si cette éventualité appartient à la partie A. L événement certain contient toutes les éventualités, c'est-à-dire. L événement impossible n en contient aucune, on le note. Exemples : La loterie Dans une fête foraine, une loterie est organisée à l'aide d'une roue divisée en seize secteurs colorés : six secteurs rouges numérotés de 1 à 6, cinq secteurs verts numérotés de 7 à 11, quatre secteurs jaunes numérotés de 12 à 15 et un secteur bleu numéroté 16. L'expérience aléatoire consiste à faire tourner la roue et à regarder quel secteur se trouve devant une flèche fixe, lorsque la roue s'arrête. L'univers de cette expérience est =.. "Obtenir un secteur vert" est un. Si on le note V, on a V =.. "Obtenir un secteur bleu" est un.. si on le note B, B =.. Définitions : Soit un univers, A et B deux événements de L'événement contraire de l'événement A, noté A, est l'événement de contenant tous les éléments qui ne sont pas contenus dans l'événement A. La réunion des événements A et B, notée A B, est l'événement contenant tous les éléments de A et tous les éléments de B. L'intersection des événements A et B, notée A B, est l'événement contenant les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. B B Deux événements sont incompatibles ou disjoints lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire lorsque deux événements ne peuvent pas se réaliser en même temps. Exemples : On considère l'expérience aléatoire précédente. Evénements Descriptions notations A Le secteur tiré au sort porte un numéro pair A V A Le secteur tiré au sort est vert et porte un numéro pair A B Les événements A et B sont car... Remarque : Si A est un événement de l'univers. On A A = et A A = ère S Ch 8 Probabilités (1) 1

2 2. Loi de probabilité Définitions : Soit Ω un univers fini de n éventualités, on note = { 1, 2 n } Définir une loi de probabilité sur, c est associer à chaque éventualité i un nombre p i n (appelé probabilité de l issue i ) positif ou nul de telle façon que p i = p 1 + p p n = 1 i = 1 La probabilité d un événement A, notée P(A), est la somme des probabilités p i des éventualités qui constituent A. Définition : Un univers sur lequel est défini une probabilité est appelé univers probabilisé. Propriété : Soit un univers fini muni d'une probabilité P Pour tout événement A de, on a : 0 P(A) 1 P( A ) = 1 P(A) Soit A et B deux événements de, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Remarque : Si A et B sont incompatibles, A B =, P(A B) = 0 donc P(A B) = P(A) + P(B) On suppose que la roue est déséquilibrée de telle manière que : les probabilités p 1, p 2,, p 11 d'obtenir un secteur rouge ou vert sont égales les probabilités p 12, p 13,, p 15 d'obtenir un secteur jaune sont égales et telle que p 12 = 2 3 p 1 la probabilité p 16 d'obtenir le secteur bleu est telle que p 16 = 1 2 p Déterminer la probabilité de chacun des événements élémentaires. 2. Déterminer la probabilité des événements A, V, A V, A V, A. Définition : Loi équirépartie Soit un univers fini muni d'une probabilité P. On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Propriété : Soit un univers fini de n éléments. Dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité d'un événement élémentaire est 1 n Soit A un événement de La probabilité de A est égale au quotient du nombre d'éléments de A par n, le nombre d'éléments de. nombre d'éléments de A nombre de cas favorables à A P(A) = = nombre d'éléments de nombre de cas possibles On suppose que chaque secteur a la même probabilité d'être tiré au sort. 1. Déterminer la probabilité de chacun des événements élémentaires. 2. Déterminer la probabilité des événements A, V, A V, A V, A ère S Ch 8 Probabilités (1) 2

3 II. Variables aléatoires Définitions : On appelle sur un univers fini, une fonction qui a tout élément élémentaire associe un réel. On note en général une variable aléatoire par une lettre majuscule : X, Y,. Si un événement élémentaire A prend une valeur a, on fait correspondre le réel a à une variable aléatoire X. On dit que a est une valeur prise par X. L événement {X = a}, noté souvent X = a, contient tous les résultats de l expérience aléatoire associés à la valeur a. Exemple : Pile ou Face On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et on s'intéresse aux faces obtenues en notant P pour pile et F pour face. L'univers Ω de cette expérience est Ω = {PP; PF, FP; FF} Si à chaque issue on associe le nombre de "pile" obtenus on définit une variable aléatoire X sur Ω qui prend les valeurs.. On note X(Ω) = {.} {X = 0} = { } ; {X = 1} = {.} et {X = 2} = { } Remarque : Pour la même expérience on peut définir plusieurs variables aléatoires Avant de lancer la roue le joueur mise 2, si la couleur rouge sort le joueur ne gagne rien, la couleur verte rapporte 2 la jaune 3 et la bleu 5 On note X la variable aléatoire désignant le montant des gains (mise enlevée), les gains négatifs représentant une perte X peut donc prendre les valeurs. et d'où X(Ω) = { } L événement X prend la valeur 0, noté {X = 0} ou X = 0, correspond à l événement { } L événement X prend la valeur 1 est {X = 1} = { }. III. Loi de probabilité d'une variable aléatoire Définition : Soit X une variable aléatoire sur un univers fini et x 1, x 2, x n les valeurs prises par X. La de la variable X est la fonction qui à chacune des valeurs x i prises par X fait correspondre. Remarque : En général on présente la loi de probabilité d une variable X dans un tableau du type x i x 1 x 2 x n P(X = x i ) p 1 p 2 p n La somme des p i pour i allant de 1 à n est toujours égale à.. Exemple: La loterie Si la loterie n'est pas truquée, la probabilité d obtenir n importe quel secteur est ; On obtient donc la loi de probabilité suivante pour la variable X désignant le montant des gains x i P(X = x i ) ère S Ch 8 Probabilités (1) 3

4 IV. Paramètres d'une variable aléatoire Après avoir défini une variable aléatoire, on peut chercher une valeur "moyenne" de ces valeurs en donnant à chacune un "poids" différent suivant sa probabilité. C'est la notion d'espérance mathématique. Définition : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x 1, x 2,,x n avec les probabilités respectives p 1, p 2,, p n. On appelle de X, on la note E(X), le nombre réel défini par : E(X) = =.. Remarque : Dans le cas d'un jeu, on parle d'espérance de gain et on considère ce jeu comme équitable si l'espérance de gain est L'espérance de X est E(X) = On peut espérer si on répète un gd nombre de fois cette expérience une perte moyenne de à cette loterie, le jeu est donc défavorable au joueur. Propriété : Linéarité de l'espérance Soit a, b deux réels et X une variable aléatoire, E(aX + b) =.. Démonstration : Calculer la mise qu'il faut faire au départ pour que le jeu soit équitable. L'espérance est linéaire et comme E(X) = 0,25 alors E(X+ 0,25) = 0 La mise initiale était de 2 pour que les valeurs de la variable aléatoire augmente de 0,25 il faut que Définition : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x 1, x 2,,x n avec les probabilités respectives p 1, p 2,, p n. On appelle variance de X et on note V(X), le nombre réel défini par V(X) =. = E([X E(X)] 2 ) On appelle écart type de X et on le note (X) le nombre réel défini par V(X). Propriété : V(X) =.. Remarque : La variance et l'écart type sont des caractéristiques de dispersion de la variable X, elles mesurent l'écart par rapport à l'espérance. L'écart type est dans la même unité que les variables x i. Démonstration : à faire seul même principe que pour la série statistique. mise à 2 V(X) = (X) 1,64. L'écart-type est donc de 1, ère S Ch 8 Probabilités (1) 4

5 Propriété : Soit a, b deux réels et X une variable aléatoire, V(aX + b) = a 2 V(X) Démonstration : Si l'on modifie la mise pour que le jeu soit équitable en ajoutant 0,25 à chaque valeur de la variable aléatoire, la variance et donc l'écart-type seront... V. Modélisation d'expériences 1. Arbres pondérés (exemple) Un magasin propose un jeu permettant de gagner un bon d'achat de 15. Le jeu consiste à lancer un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, dont une face est jaune, deux sont bleues et trois sont rouges puis de faire tourner une roue, bien équilibrée également, divisée en trois secteurs : un secteur jaune de 150, un bleu de 100 et le secteur restant rouge. Le joueur gagne lorsque les deux couleurs obtenues sont identiques. On note J 1, B 1, R 1 les événements "obtenir jaune avec le dé", "obtenir bleu avec le dé", "obtenir rouge avec le dé" On note J 2, B 2, R 2 les événements "obtenir jaune avec la roue", "obtenir bleu avec la roue ", "obtenir rouge avec la roue " 1. Calculer les probabilités des événements J 1, B 1 et R 1. Le dé étant bien équilibré on est dans une situation d'équiprobabilité donc : 2. Calculer les probabilités des événements J 2, B 2 et R 2. La roue étant bien équilibrée on est dans une situation d'équiprobabilité donc On peut construire l'arbre suivant appelé arbre pondéré ère S Ch 8 Probabilités (1) 5

6 Propriété : Dans un arbre pondéré : la somme des probabilités affectées aux branches d'un même nœud est égale à ; la probabilité d'un événement correspondant à un chemin (ou trajet) est égal au.. des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin ; la probabilité d'un événement associé à plusieurs trajets complets est la.. des probabilités de ces trajets. 3. Calculer à partir de l'arbre pondéré la probabilité des événements J : "obtenir deux fois la couleur jaune", B :"obtenir deux fois la couleur bleu" et R :"obtenir deux fois la couleur rouge" 4. En déduire la probabilité de l'événement G : "le joueur gagne le bon d'achat". 2. Expériences indépendantes Définition : Deux expériences sont dites indépendantes lorsque les résultats de l'une n'influent pas sur les probabilités des résultats de l'autre. Exemple : Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes. Expérience : On tire une boule dans l'urne et on répète l'expérience. Si après le premier tirage on remet la boule dans l'urne les deux tirages seront indépendants Si après le premier tirage on garde la boule tirée, l'univers du deuxième tirage est modifié, la probabilité d'obtenir une boule rouge ou verte est différente que lors du premier tirage donc les deux tirages ne sont pas indépendants. Propriété : Lorsqu'on répète une même expérience aléatoire dans les mêmes conditions initiales, les expériences sont indépendantes. 3. Répétition d'une même expérience Propriété : Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, une issue est une liste de résultats et la probabilité de cette liste est le produit des probabilités de chacun des résultats de la liste ère S Ch 8 Probabilités (1) 6

7 Exemple 1 : On considère l'urne contenant trois boules rouges et deux boules vertes On tire successivement trois boules avec remise à chaque tirage. On a donc une répétition de trois expériences identiques et indépendantes. (R, R, R), (R, R,V) sont des issues possibles de cette répétition On peut représenter cette répétition par un arbre pondéré : La probabilité d'obtenir trois boules rouges est. p((r, V, V)) =. Exemple 2 : On lance un dé équilibré six fois de suite. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang de la première apparition de la face 6, ou bien 0, si cette face n est pas apparue. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X ère S Ch 8 Probabilités (1) 7

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