Comparaison de Moyennes et ANOVA

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1 Département de Mathématiques et Informatique, U.A.G. 27 Janvier 2012

2 Plan Introduction Types de moyenne

3 Types de moyenne Avoir une indication de l ordre de grandeur d une série de valeurs mesurées (ou observées) Total des valeurs observées Nombre de valeurs observées notée traditionnellement x.

4 Types de moyenne Avoir une indication de l ordre de grandeur d une série de valeurs mesurées (ou observées) Total des valeurs observées Nombre de valeurs observées notée traditionnellement x. Question sous jacente : par quelle valeur unique pourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la même somme?

5 Types de moyenne Exemple : moyenne des évaluations dans 2 collèges d effectifs 400 et 600 respectivement. Collège 1 : x 1;1,, x 1;400 Collège 2 : x 2;1,, x 2;600 x = (x 1;1 + + x 1;400 ) + (x 2;1 + + x 2;600 ) La moyenne des évaluations pour chaque collège : x 1 = 12, 4 et x 2 = 13, 8.

6 Types de moyenne Exemple : moyenne des évaluations dans 2 collèges d effectifs 400 et 600 respectivement. Collège 1 : x 1;1,, x 1;400 Collège 2 : x 2;1,, x 2;600 x = (x 1;1 + + x 1;400 ) + (x 2;1 + + x 2;600 ) La moyenne des évaluations pour chaque collège : x 1 = 12, 4 et x 2 = 13, 8. Que faire si données perdues sauf moyennes et effectifs? x = 1 2 ( x 1 + x 2 ) = 13, 1 (INCORRECT) x = 400 x x = 0, 4 x 1 + 0, 6 x 2 = 13, 24 (CORRECT).

7 Types de moyenne Moyennes arithmétiques Formellement : n nombres x 1, x 2,, x n. On distingue les moyennes suivantes : n arithmétique simple 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n x i

8 Types de moyenne Moyennes arithmétiques Formellement : n nombres x 1, x 2,, x n. On distingue les moyennes suivantes : n arithmétique simple 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n arithmétique pondérée p 1 x 1 + p 2 x p n x n = les poids p 1, p 2,, p n étant positifs et tels que x i n p i x i, n p i = 1.

9 Types de moyenne Moyenne géométrique géométrique (x 1 x 2 x n ) 1 n n = ( x i ) 1 n, les xi > 0 Exemple : Quotient des effectifs d un collège entre 2009 et 2011 Années Effectifs Quotient - 1,07 0,96 1,12 Moyenne géométrique : (1, 07 0, 96 1, 12) 1 3 = 1, = 1, 045.

10 Types de moyenne Moyenne géométrique géométrique (x 1 x 2 x n ) 1 n n = ( x i ) 1 n, les xi > 0 Exemple : Quotient des effectifs d un collège entre 2009 et 2011 Années Effectifs Quotient - 1,07 0,96 1,12 Moyenne géométrique : (1, 07 0, 96 1, 12) 1 3 = 1, = 1, 045. Question sous jacente : par quelle valeur unique pourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir le même produit? x = 1 3 (1, , , 12) = 1, 050 (INCORRECT) (1, 07 0, 96 1, 12) 1 3 = 1, = 1, 045 (CORRECT).

11 Types de moyenne Moyenne harmonique harmonique n 1 x x = n, les x n i > 0. x n 1 x i

12 Types de moyenne Moyenne harmonique harmonique n 1 x x = n, les x n i > 0. x n 1 x i Exemple : élève faisant le trajet domicile-lycée à la vitesse constante de 2km/h à l aller et 4km/h au retour. Vitesse moyenne du trajet aller-retour? x = 1 2 (2 + 4) = 3, 000 (INCORRECT) = 2, 667 (CORRECT). 4

13 Types de moyenne Moyenne harmonique harmonique n 1 x x = n, les x n i > 0. x n 1 x i Exemple : élève faisant le trajet domicile-lycée à la vitesse constante de 2km/h à l aller et 4km/h au retour. Vitesse moyenne du trajet aller-retour? x = 1 2 (2 + 4) = 3, 000 (INCORRECT) = 2, 667 (CORRECT). 4 Question sous jacente : par quelle valeur unique pourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la même somme des inverses?

14 Types de moyenne Liens entre les 3 types de moyenne, f -moyenne Soit f fonction continue strictement monotone sur l intervalle I IR. Soit x 1,, x n une série de valeurs de I. Il existe un unique élément m de I tel que f (m) = 1 n f (x i ). n

15 Types de moyenne Liens entre les 3 types de moyenne, f -moyenne Soit f fonction continue strictement monotone sur l intervalle I IR. Soit x 1,, x n une série de valeurs de I. Il existe un unique élément m de I tel que f (m) = 1 n f (x i ). n Preuve existence: min,,n f (x i) 1 n n f (x i ) max f (x i) donc 1,,n n Preuve unicité: f est injective. n f (x i ) f (I ).

16 Types de moyenne Liens entre les 3 types de moyenne, f -moyenne Soit f fonction continue strictement monotone sur l intervalle I IR. Soit x 1,, x n une série de valeurs de I. Il existe un unique élément m de I tel que f (m) = 1 n f (x i ). n Preuve existence: min,,n f (x i) 1 n n f (x i ) max f (x i) donc 1,,n n Preuve unicité: f est injective. n f (x i ) f (I ). m est appelé f -moyenne des x 1,, x n et l on a m = f 1( 1 n n f (x i ) ).

17 Types de moyenne Liens entre les 3 types de moyenne, f -moyenne Soit f fonction continue strictement monotone sur l intervalle I IR. Soit x 1,, x n une série de valeurs de I. Il existe un unique élément m de I tel que f (m) = 1 n f (x i ). n Preuve existence: min,,n f (x i) 1 n n f (x i ) max f (x i) donc 1,,n n n f (x i ) f (I ). Preuve unicité: f est injective. m est appelé f -moyenne des x 1,, x n et l on a m = f 1( 1 n f (x i ) ). n Question sous jacente : par quelle valeur unique pourrait-on remplacer tous les x i pour avoir la même somme des f (x i )? Si f (x) = x, la moyenne est arithmétique Si f (x) = Ln(x), la moyenne est géométrique Si f (x) = 1/x, la moyenne est harmonique.

18 Types de moyenne Positions respectives des f -moyennes Si f strictement convexe et décroissante, alors m < x. Ainsi, pour I = IR +, moyenne harmonique < moyenne arithmétique. Si f strictement concave et croissante, alors m < x. Ainsi, pour I = IR +, moyenne géométrique < moyenne arithmétique. En utilisant la convexité de x Ln(1/x), on démontre que moyenne harmonique < géométrique. CONCLUSIONS : Soit x 1,, x n des valeurs non toutes identiques dans IR +, alors min,,n x i n n 1 n ( x i ) 1 n x max i,,n. x i

19 Investigation par histogrammes Contexte : Une variable quantitative Y à expliquer par une ou plusieurs variables qualitative(s) Visualiser : la distribution de Y pour chaque modalité des variables qualitatives. Résultats d'évaluation Résultats d'évaluation Effectif moyenne=12 écart-type=2 Effectif moyenne=10 écart-type= Note Note

20 Investigation par Box-plot Visualiser : la distribution de Y pour chaque modalité des variables qualitatives. Résultats d'évaluation Note moyenne A B C Collège

21 Contexte de l ANOVA ANOVA (ANalysis Of VAriance) = méthode de comparaison de groupes. Contexte : Une variable quantitative à expliquer par une ou plusieurs variables qualitative(s) appelée(s) facteur(s). Question:? influence des variables qualitatives sur la variable quantitative? Exemple : résultats des évaluations d un collège à l autre?

22 Contexte de l ANOVA ANOVA (ANalysis Of VAriance) = méthode de comparaison de groupes. Contexte : Une variable quantitative à expliquer par une ou plusieurs variables qualitative(s) appelée(s) facteur(s). Question:? influence des variables qualitatives sur la variable quantitative? Exemple : résultats des évaluations d un collège à l autre? Remarque : si la variable qualitative n a que deux modalités, test de Student Exemple : Résultats chez les garçons et chez les filles

23 Contexte de l ANOVA ANOVA (ANalysis Of VAriance) = méthode de comparaison de groupes. Contexte : Une variable quantitative à expliquer par une ou plusieurs variables qualitative(s) appelée(s) facteur(s). Question:? influence des variables qualitatives sur la variable quantitative? Exemple : résultats des évaluations d un collège à l autre? Remarque : si la variable qualitative n a que deux modalités, test de Student Exemple : Résultats chez les garçons et chez les filles L ANOVA permet d étudier plus de 2 modalités

24 Exemple Notes de 25 élèves subissant trois préparations distinctes Préparation A: 5,6,6,7,7,8,9,10 > moyenne 7.25 Préparation B: 7,7,8,8,9,10,10,11 > moyenne 8.75 Préparation C: 7,9,9,10,10,10,11,12,13 > moyenne Ces différences sont-elles significatives?

25 Exemple Notes de 25 élèves subissant trois préparations distinctes Préparation A: 5,6,6,7,7,8,9,10 > moyenne 7.25 Préparation B: 7,7,8,8,9,10,10,11 > moyenne 8.75 Préparation C: 7,9,9,10,10,10,11,12,13 > moyenne Ces différences sont-elles significatives? Résultats des 3 préparations Note A B C Préparation

26 Ecarts significatifs entre groupes? Cela va dépendre des : - Moyennes de groupe - Ecart-types de groupe - Tailles de groupe Outils : tests statistiques d hypothèses Le Problème de test est : H 0 : les moyennes attendues sont égales pour tous les groupes contre H 1 : les moyennes attendues ne sont pas égales pour tous les groupes. Si H 1 retenue, pousser l investigation pour savoir quel(s) groupe(s) diffère(nt) des autres

27 Suppositions de l ANOVA Les observations suivent approximativement la loi Normale - vérification par visualisation d histogrammes et test de normalité affaiblie à l unimodalité si existence de valeurs extrêmes, préférer le test de Kruskall-Wallis (basé sur les médianes)

28 Suppositions de l ANOVA Les observations suivent approximativement la loi Normale - vérification par visualisation d histogrammes et test de normalité affaiblie à l unimodalité si existence de valeurs extrêmes, préférer le test de Kruskall-Wallis (basé sur les médianes) Ecart-types approximativement égaux d un groupe à l autre Règle empirique : rapport entre plus grand ecart-type et plus petit 2.

29 Vérification des suppositions Préparation Taille Moyenne Médiane Ecart-type A 8 7,250 7,000 1,669 B 8 8,75 8,500 1,488 C 9 10,111 10,000 1,764 Plus grand écart-type : 1,764 Plus petit écart-type : 1,488 Règle empirique : 1,488 x 2 = 2,976 > 1,764

30 Notations de l ANOVA à un facteur n = nombre d unités statistiques (ou individus statistiques) I = nombre de groupes = nombre de modalités du facteur n i = effectif du groupe i x ij = valeur observées sur l unité j du groupe i x i = moyenne du groupe i x= moyenne globale (c est-à-dire tous groupes confondus) s i = écart-type du groupe i avec si 2 = 1 n i (x ij x i ) 2 n i j=1

31 Principe de l ANOVA à un facteur L ANOVA à un facteur, mesure deux sources de variation : la variation intra-groupe en considérant l écart entre chaque valeur et la moyenne de son groupe I n i I SCR = (x ij x i ) 2 = n i si 2 j=1 SCR= Somme des Carrés Résiduelle (ou intra-groupe).

32 Principe de l ANOVA à un facteur L ANOVA à un facteur, mesure deux sources de variation : la variation intra-groupe en considérant l écart entre chaque valeur et la moyenne de son groupe I n i I SCR = (x ij x i ) 2 = n i si 2 j=1 SCR= Somme des Carrés Résiduelle (ou intra-groupe). la variation inter-groupe en considérant l écart entre moyennes de groupe et moyenne globale I n i (x i x) 2 = j=1 I n i (x i x) 2 SCF = Somme des Carrés Factorielle (ou inter-groupe).

33 Théorème d ANOVA à un facteur SCT = Somme des Carrés due à la variation Totale. SCT = I n i (x ij x) 2 j=1 prend en compte l écart entre chaque valeur et la moyenne globale. Théorème d ANOVA : SCT = SCF + SCR. basé sur la décomposition x ij x = x i x + x ij x i Modèle sous-jacent : x ij = µ + α i + e ij avec les e ij indépendants de loi N (0, σ 2 ). I Principe de compensation des effets : α i = 0. Autre énoncé du modèle : Valeur observée= valeur attendue tous groupes confondus + effet du groupe d appartenance + erreur résiduelle.

34 Tableau d ANOVA à un facteur Source de Somme Degrés de Carré moyen F de Fisher variation des carrés liberté Totale SCT n 1 CMT= SCT n 1 Factorielle SCF I 1 CMF = SCF I 1 F = CMF CMR Résiduelle SCR n I CMR = SCR n I

35 Formalisation du problème de test; Règle décisionnelle x ij réalisation d une variable aléatoire X ij avec E(X ij ) = µ i = µ + α i. Problème de test : H 0 : i [[1, I ]], µ i = µ contre H 1 : i [[1, I ]], µ i µ. ou encore H 0 : i [[1, I ]], α i = 0 contre H 1 : i [[1, I ]], α i 0. Sous H 0, F suit la loi de Fisher-Snedecor à I 1 et n I degrés de liberté. Règle de décision au niveau de signification α : - Rejet de H 0 si F > f I 1,n I,1 α - Non rejet de H 0 si F f I 1,n I,1 α où f I 1,n I,1 α fractile d ordre 1 α de la loi de Fisher-Snedecor à I 1 et n I degrés de liberté. Règle de décision basée sur la p-value p : - Rejet de H 0 si p < α - Non rejet de H 0 si p α.

36 Objets et commandes sous l environnement R Appel à la fonction lm (linear model) qui effectue le traitement statistique du modèle linéaire sous-jacent à l ANOVA. Appel à la fonction aov (analysis of variance) qui calcule le tableau d ANOVA et effectue le test de Fisher. Appel à la fonction summary qui effectue un résumé des calculs effectués par lm et aov. L objet Evaluation est le vecteur correspondant à la série statistique des évaluations L objet Préparation est le vecteur correspondant à la série statistique des préparations subies. Lignes de commande : > summary(lm(evaluation Preparation)) > summary(aov(evaluation Preparation))

37 Résultats sous l environnement R Paramètre Estimation Ecart-type t de Student p-value α 2 1,5000 0,8250 1,818 0,08266 α 3 2,8611 0,8017 3,569 0,00172 ** Signification et p-value : 0 *** ** 0.01 * Source de Somme Degrés de Carré Statistique p-value Variation des carrés liberté moyen de Fisher Factorielle 34, ,3356 6,3682 0,00658 ** Résiduelle 59, ,7222 Signification et p-value : 0 *** ** 0.01 * L écart intuitif entre préparations est confirmé par les tests statistiques. Ce n est pas toujours le cas!!!

38 MERCI DE VOTRE ATTENTION!