Chapitre 13 Systèmes oscillants

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1 Chapitre 13 Systèmes oscillants Introduction : Les pendules de Galilée Le physicien Galileo Galilei ( ) fut le premier à étudier expérimentalement les pendules. Ses résultats sont le fruit d'une rigoureuse démarche scientifique. Il les consigna avec beaucoup de précisions dans un traité, rédigé en Galileo Galilei a étudié le comportement des pendules au début du XVIIe siècle et a décrit ses expériences et ses analyses dans son ouvrage, «Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles relatives à la mécanique et aux mouvements locaux» (1638). Dans le texte suivant, extrait d'un sujet du baccalauréat (Sportifs de haut Galileo Galilei ( ) niveau, octobre 1996), Galilée note ses observations. Un physicien de l'université de Padoue (où Galilée enseigna de 1589 à 1610) a reconstitué récemment les pendules qu'il utilisa. «J'ai pris deux boules, l'une de plomb et l'autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elle à deux fils très fins, longs tous deux de quatre coudées 1 ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en même temps [...] ; une bonne centaine d'allées et venues, accomplies par les boules elles mêmes, m'ont clairement montré qu'entre la période du corps pesant, et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n'acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l'action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb sans toutefois modifier leur fréquence; même si les arcs décrits par le liège n'ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont traversés en des temps égaux». Cathédrale de Pise Questions 1 Une coudée équivaut à environ 50 cm. 1) Quel mot pourrait utiliser Galilée au lieu de parler de vibrations? 2) Quel terme physique désigne «les rythmes de mouvement» utilisés par Galilée? 3) Par quel terme physique remplacerait-on «les arcs décrits par le liège» dont parle Galilée? 4) Galilée a étudié l'influence d'une grandeur physique sur le mouvement des pendules : laquelle? 5) Les pendules de Galilée sont-ils amortis? Pour quel pendule les frottements semblent-ils être beaucoup plus faibles? 6) Étudier la reconstitution des pendules de Galilée de la photo. D'après ce document, Galilée a cherché à mettre en évidence l'influence d'une autre grandeur physique : laquelle? 7) D après la dernière partie du texte, Galilée se rend compte qu un dernier paramètre n a pas d influence sur la période des oscillations. Lequel est-ce? 8) Rappeler la définition de la période et de la fréquence d'un pendule avec leur unité, étudiées en classe de seconde. 9) Faire une phrase qui explique l influence de chaque paramètre étudié par Galilée sur la période du pendule pesant (on devinera l influence, non décrite dans les documents) A.Batut 1/5

2 Correction : 1) On pourrait utiliser le terme d oscillations. 2) On parlerai alors ici de période ou de fréquence. 3) Les arcs sont les amplitudes des oscillations. 4) Galilée a étudié l influence de la masse du solide accroché au fil sur la période des oscillations. 5) Oui, les pendules de Galilée sont amortis, celui constitué de la boule en plomb est beaucoup moins soumis aux frottements que celui constitué par la boule en liège. 6) Galilée a voulu mettre en évidence l effet de la longueur du fil du pendule sur la période des oscillations. 7) Il s agit de l amplitude des oscillations. 8) La période d un pendule exprimée en seconde est la durée d un aller-retour. La fréquence exprimée en hertz est l inverse de la période. 9) La masse du pendule pesant n a pas d influence sur la période des oscillations, tout comme l amplitude de celles-ci. La longueur du fil est le seul paramètre qui fera varier fortement la période des oscillations du pendule. Une balançoire, la caisse d une voiture couplée à sa suspension, un immeuble de grande hauteur, une masse accrochée à un ressort, une corde de guitare, un sauteur à l élastique en fin de mouvement, le battant d une cloche constituent des systèmes oscillants mécaniques. Écartés de leur position d équilibre par une action extérieure, comme par exemple un trou dans la chaussée pour une voiture ou une rafale de vent pour un immeuble, ils y retournent plus ou moins rapidement en oscillant de part et d autre de cette position d équilibre. I- Généralités sur les oscillateurs 1- Définitions On appelle oscillateur mécanique tout système qui évolue de façon périodique. Nous allons nous intéresser à deux systèmes oscillants mécaniques particuliers, qui serviront de modèles dans la vie quotidienne: le pendule pesant et le pendule élastique. Oscillations libres : L oscillateur libre est abandonné à lui même. (on ne lui fournit pas d énergie) Oscillations forcées : Un dispositif extérieur fournit de l énergie. Pendule simple : solide de petite dimension suspendu en un point fixe par un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable. (Si le solide n est pas de petite dimension on a un pendule pesant.) Pendule élastique : solide accroché à un ressort de masse négligeable, l autre extrémité du ressort étant fixe. A.Batut 2/5

3 2- Élongation et amplitude a- Le pendule simple Le pendule simple est en l'équilibre stable en position verticale (le poids du pendule et la tension du fil se compensent, si le pendule est immobile dans cette position, il y reste) Remarque : Quand le pendule est placé dans une position inclinée: - les forces ne se compensent plus F P=m. a 0 - pour une position quelconque du pendule, la droite d action du poids P ne passe pas par l axe de rotation: le poids p fait tourner le solide autour de l axe et tend à le ramener vers sa position d équilibre. Si le solide est écarté de sa position d équilibre, le centre d inertie décrit un arc de cercle de rayon l: il effectue des oscillations libres de part et d autre de sa position d équilibre. Pour décrire le mouvement d un pendule simple autour de sa position d'équilibre stable, on définit son abscisse angulaire comme l'angle orienté fait par la tige avec la verticale (position d équilibre). est l élongation angulaire (t). Sa valeur maximale est l amplitude m (elle est positive) : - m < < m b- Système solide-ressort Pour décrire le mouvement d un pendule élastique autour de sa position d'équilibre stable, on définit son abscisse x grandeur orientée, repérée par rapport à la position d équilibre. x t =OG est l élongation Sa valeur maximale est l amplitude (elle est positive) X m : -X m < x < X m A.Batut 3/5

4 Remarque. - En réalité l amplitude du mouvement décroît au cours du temps, car les forces de frottement dues à l air ne sont pas négligeables et sont responsables de l amortissement du mouvement. De fait, le pendule pesant n effectue généralement que quelques oscillations avant de reprendre sa position d équilibre. 3- Oscillations périodiques Phénomène périodique : phénomène qui se reproduit identique à lui même à intervalles de temps réguliers T. T est la période du phénomène. Période propre : La période propre d'un oscillateur caractérise ses oscillations libres en l'absence de tous frottements. Elle est notée T 0. Fréquence propre : f 0 = 1 T 0 T en seconde (s) et f en Hertz (Hz) II- Période propre d'oscillateurs libres 1- Le pendule simple non amorti a- Étude expérimentale Pas le temps cette année, voir les animations sur le site : b- Résultats Loi d'isochronisme des petites oscillations : Lorsque l'amplitude des oscillations d'un pendule simple est inférieure à 20 environ, la période propre T 0 est pratiquement indépendante de l'amplitude Max du mouvement. Loi des masses : La période propre T 0 des oscillations d'un pendule simple est indépendante de la masse m du pendule. Loi des longueurs La période des oscillations de faible amplitude d'un pendule simple est proportionnelle à la racine carré de la longueur du pendule. La période des petites oscillations d'un pendule est donnée par l'expression : T 0 = 2.. l g A.Batut 4/5

5 Remarque : La période d un balancier d horloge dépend donc de la pesanteur g. Or g varie en fonction de la position à la surface de la Terre. De fait, une horloge régulée par un pendule présenterait, par rapport à la même horloge en Europe, un retard à l équateur: elle aurait compté, au bout d une journée, un plus petit nombre d oscillations, donc la durée de chaque oscillation étant plus grande. Exercice : Vérifier l'homogénéité de cette expression Une vitesse est le quotient d une longueur par un temps. On peut donc écrire: [v ]= [L] [T ] =m.s-1 De même, une accélération est le quotient de la vitesse par le temps: [a]= [v ] [T ] =m.s-2 [g] = m.s -2. donc On en déduit [T]= s² par conséquent la période a donc la dimension d un temps. 2- Le pendule élastique non amorti a- Étude expérimentale b- Résultats La période propre d'un système ressort ne dépend que de la constante k du ressort et de la masse m : T 0 = 2.. m k Exercice : Vérifier l'homogénéité de cette expression k en N.m -1 et le Newton ( P = m.g ) en kg.m.s -2 d'où [k]= kg.s -2 On en déduit [T]= s² par conséquent la période a donc la dimension d un temps. 4- Oscillations libres amorties A.Batut 5/5