MATH ALGÈBRE

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1 L G Prof. Éric J.M.DELHEZ L G MATH ALGÈBRE ÉVALUATION FORMATIVE Octobre 212 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Algèbre. Il est purement facultatif. Les résultats, bons ou mauvais, ne seront en aucun cas pris en compte dans une quelconque moyenne. Pour que l exercice vous soit réellement profitable, il vous est conseillé de vous placer autant que possible dans les conditions d une interrogation normale : répondez aux questions tout(e) seul(e), sans l aide des notes, sans interrompre votre travail, dans un délai maximum de deux heures trente. Pour faciliter le travail des correcteurs, répondez aux trois questions sur des feuilles séparées. Consultez également les conseils pour une bonne présentation des copies disponibles sur Les copies seront reprises lors du cours ex-cathedra d algèbre du 1 octobre. Question I On considère la matrice P A= Q I R S I construite à partir des matrices carrées P, Q,Ret S appartenant àc n n. i. Déterminez la(les) condition(s) sur P, Q,Ret S pour que A soit unitaire. ii. Dans le cas général (A unitaire ou non), précisez la(les) condition(s) sous laquelle(lesquelles) la matrice A est inversible. Sous ces conditions, déterminez l expression par blocs de A 1. Question II Afin d examiner l opportunité de modifier les règles de la circulation automobile dans un quartier, on mesure le traffic sur les routes d accès à ce quartier. Les nombres de véhicules pénétrant et sortant de ce quartier chaque jour sont reportés sur le graphique ci-contre. On désigne par x 1,, x 3, x 4 et x 5 les nombres inconnus de A x 1 B 8 1 véhicules empruntant chaque jour les voies AB, CB, DC, BD et AD dans les sens indiqués par les flèches. i. Sachant que le nombre de véhicules arrivant à un carrefour donné est égal au nombre de ceux qui quittent le carrefour, écrivez sous forme matricielle les équations vérifiées par les inconnues x 1,, x 3, x 4 et x 5 du problème. ii. Déterminez toutes les solutions du système matriciel écrit en i. 9 x5 x 4 x 3 iii. Dans le cas où des travaux effectués sur la route AD conduisent à y interdire le traffic et à introduire des sens uniques de circulation dans les directions indiquées par les flèches sur toutes les autres routes, déterminez le flux de traffic minimum qui circulera sur la route BD. Question III Répondez par VRAI ou FAUX et justifiez. i. SiAest anti-hermitienne, alors il en est de même de AA. ii. SoitA :E F et soit a 1, a 2,... a k des vecteurs linéairement indépendants dee. SiA g 1 existe, alors les vecteurs A(a 1 ),A(a 2 ),...A(a k ) sont linéairement indépendants. iii. Si le système Ax = b est compatible, alors la matrice A peut être interprétée comme les composantes d une application linéaire A dont le noyau est de dimension nulle. iv. Les solutions d un système linéaire compatible Ax = b forment un espace vectoriel. D C 9

2 Question I SOLUTION i. La matrice A est unitaire si et seulement si Comme on a A A=I 3n et AA =I 3n (1) P A= Q I n R S I n P Q R A = I n S Considérant d abord la première égalité de (1), il vient, puisque les matrices P,Q,R et S sont toutes d ordre n et peuvent être multipliées entre elles ou avec leur adjointe, P P+Q Q+R R Q +R S R I n A A= Q+S R I n +S S S =I 3n = I n R S I n Connaissance du concept de matrice unitaire : 2 pts Expression de A : 2 pts Expression de A A (ou AA ) : 2 pts dont on déduit immédiatement que R=S= puis, en considérant les blocs (1, 2) et (2, 1), Q= et enfin, P P=I n Pour que A soit unitaire, elle doit donc être de la forme P A= I n où P est unitaire Cette condition est également suffisante puisqu on a par ailleurs P P AA = I n = =I 3n I n I n ii. La matrice A est inversible ssi son déterminant est non nul. Or, le déterminant d une matrice triangulaire par blocs dont les blocs diagonaux sont carrés est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux. On en déduit Conditions sur A : 2 pts Vérification ou justification de AA = I (ou A A = I) : 1 pt Total i. : 9 pts Condition générale det A : 1 pt det A=det P La matrice A est donc inversible ssi det P. B C D Posons A 1 = E F G et imposons I 3n =A 1 A. On a H J K I n B C D P BP+CQ+DR C+DS D I n =A 1 A= E F G Q I n = EP+FQ+GR F+GS G H J K R S I n HP+JQ+KR J+KS K Condition : detp : 2 pts Méthode de recherche de A 1 : 3 pts 2

3 En considérant la dernière colonne, il vient immédiatement D=G= et K=I n Utilisant ce résultat et considérant la deuxième colonne, on obtient C=, F=I n et J= S Les conditions liées à la première colonne deviennent alors I n =BP+CQ+DR=BP B=P 1 =EP+FQ+GR=EP+Q soit E= QP 1 =HP+JQ+KR=HP SQ+R H=(SQ R)P 1 puisque P est supposée inversible. Finalement, on a donc P 1 A 1 = QP 1 I n (SQ R)P 1 S I n On vérifie aisément que AA 1 =I. Remarque : On peut également déterminer la forme de A 1 en exploitant la formule de l inverse d une matrice 2x2 triangulaire par blocs, i.e. ( ) 1 B11 B =( 1 ) 11 B 21 B 22 B22 1 B 21B 1 11 B 1 22 Cette formule peut en effet ḙtre appliquée à la matrice A en posant ( ) ( ) Q In B 11 =P, B 21 =, B R 22 = S I n Puisqu une nouvelle application de la formule de l inverse par bloc permet d écrire ( ) B22 1 = In S I n on obtient successivement ( )( ) ( ) ( ) B 1 22 B 21B 1 11 = In Q P 1 Q = P 1 QP 1 = S I n R SQ R (SQ R)P 1 et Question II P 1 A 1 = QP 1 I n (SQ R)P 1 S I n Solution / expression de A 1 : 3 pts Pas de point associé à cette vérification. Total ii. : 9 pts TOTAL QI : 18 PTS i. En exprimant respectivement pour les carrefours A, B, C et D que le nombre de voitures entrantes est égal au nombre de voitures sortantes, on obtient le système qui s écrit sous forme matricielle 8 = x 1 + x 5 x = x 4 x 3 = 9+ x 4 + x 5 = 9+x x 1 x 3 x 4 x 5 8 = Total i. : 2 pts 3

4 ii. Pour résoudre le système, nous allons échelonner la matrice Méthode de résolution : 2 pts Grâce àl 2 l 2 l 1, on a Grâce àl 3 l 3 +l 2, on a Puis, grâce àl 4 l 4 +l 3, on a Les solutions s écrivent donc sous la forme x x 3 x 4 = λ µ 1 1, x 5 1 λ,µ R Solutions : 5 pts Total ii. : 7 pts iii. Les travaux sur la route AD imposent x 5 =, ce qui correspond à µ= dans la solution générale écrite ci-dessus. Pour respecter les sens uniques imposés, toutes les inconnues doivent être positives, soit x 1 = 8 = 18+λ x 3 = 9+λ x 4 = λ Sens uniques = variables positives : 1 pt Inéquations : 1 pt ce qui demande λ 18 Le traffic minimum sur la route BD est donné par la valeur minimale de x 4 et est donc égal à 18 voitures par jour. Minimum de x 4 : 1 pt Total iii. : 3 pts TOTAL QII : 12 PTS 4

5 Question III i. FAUX. Une matrice A est anti-hermitienne ssi A = A. Par conséquent, AA est antihermitienne ssi (AA) = AA. Or, puisque A est anti-hermitienne, (AA) =A A =( A)( A) =AA Chacune des sous-questions est notée sur 5 pts. Les réponses, même correctes, données sans justification ne donnent droit à aucun point. La connaissance de certains concepts peut être valorisée. Concept de matrice antihermitienne : 1 pt La matrice AA est donc hermitienne et non anti-hermitienne (sauf siaa=). ii. VRAI. Pour démontrer l indépendance linéaire des vecteursa(e 1 ),A(e 2 ),...,A(e k ), il faut montrer que λ 1 A(e 1 )+λ 2 A(e 2 )+...+λ k A(e k )= λ 1 = λ 2 = =λ k = Appliquant l opérateur inverse à gauchea g 1 à la relation linéaire, on a ( ) =A g 1 λ 1 A(e 1 )+λ 2 A(e 2 )+ +λ k A(e k ) = λ 1 A 1 g (A(e 1 ))+λ 2 A g 1 (A(e 2 ))+ +λ k A g 1 (A(e k )) Notion d indépendance linéaire : 1 pt Notion d inverse à gauche : 1 pt = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + +λ k e k Puisque les vecteurs e 1, e 2,..., e k sont linéairement indépendants, il vient, comme attendu, λ 1 = λ 2 = =λ k = iii. FAUX. Le système ( 1 1 )( x1 ) = ( ) 1 est compatible puisqu il possède, par exemple, la solution x 1 = 1, =. Cependant, la dimension du noyau n est pas nulle puisque ( )( ) ( ) 1 = α 1 α iv. FAUX. Un espace vectoriel contient toujours le vecteur nul. Or ne vérifie Ax=b que dans le cas particulier d un système homogène (b = ). Pour un système linéaire quelconque, l ensemble des solutions ne constitue donc pas un espace vectoriel. Concept de comptabilité : 1 pt Concept de noyau : 1 pt TOTAL QIII : 2 PTS 5

6 ERREURS LES PLUS FRÉQUENTES Question I i. Les blocs P, Q, R et S sont des matrices carrées, ce ne sont pas des nombres. On a donc P Q R A = I n S et pas P Q R A = I n S Il faut vérifier (ou justifier) que si AA =I, on a aussi A A=I ou inversement. ii. Les blocs P, Q, R et S sont des matrices carrées, ce ne sont pas des nombres. On a donc det A=det P et pas det A=P. Pour la même raison, l inverse deane peut pas être obtenue en utilisant la formule Il faut travailler avec les blocs. A 1 = T deta Question II i. Les variables x 1,, x 3, x 4 et x 5 peuvent être positives, négatives ou nulles. Les flèches indiquent seulement les sens de référence pour lesquels le traffic est considéré comme positif. Il ne faut pas inventer une 5ème équation. Il s agit bien d un système de 4 équations à 5 inconnues. iii. Il est nécessaire d exprimer mathématiquement que les solutions trouvées vérifient l égalité et les 4 inéquations traduisant l effet des travaux. Question III ii. Pour démontrer l indépendance linéaire des vecteurs, il faut utiliser ici la définition de l indépendance linéaire. iv. Le concept d espace vectoriel est très mal maîtrisé. 6