-1- des signes. Ces calculs obéissent à des règles mathématiques très précises et strictes que nous allons maintenant étudier.

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1 -- PLANCHE-MATH algébriques MATH8- Calculs numériques et I Le calcul numérique Nous allons maintenant manipuler des calculs avec des nombres ayant des signes Ces calculs obéissent à des règles mathématiques très précises et strictes que nous allons maintenant étudier L addition Rappels Si un nombre est écrit sans signe, alors il est positif (c est-à-dire que son signe est +) Par exemple le nombre + peut simplement s écrire Deux symboles opératoires (+ et ) ) ne doivent en aucun cas se suivre sans que l on ait mis le second entre des parenthèses Par exemple, l écriture +3 est incorrecte, et on devrait écrire (+3) Les règles d addition REGLE N : Pour additionner deux nombre de même signe, Pour additionner deux nombre de même signe, on fait leur somme sans tenir compte des signes et on affecte au résultat leur signe commun EXEMPLE : Calculer les nombres x = y = 9 Nous avons d après la règle x = +4 (on fait la somme 8+6 = 4 et on met le signe commun qui est +) On peut aussi écrire x = 4 car le signe + est facultatif On a également y = 0 (On fait la somme +9 = 0 et on affecte à ce résultat le signe commun qui est ) REGLE N : Pour Pour additionner deux nombre de même signe, on fait leur différence sans tenir compte des signes et on affecte au résultat leur signe du plus grand d entre eux EXEMPLE : Calculer les nombres x = + 8 y = z = 3 La règle donne x = 4 (on fait la différence 8 = 4 et on affecte à ce résultat le signe du plus grand des deux nombres qui donc ) On a de même y = +5 ou simplement y = 5 (on fait la différence 9 4 = 5 et on affecte à ce résultat le signe + du plus grand des deux nombres) On a enfin z = 8 (on fait ce que la règle dit c est-à-dire la différence 3 = 8 à laquelle on affecte ensuite le signe du plus grand des deux nombres)

2 -- REGLE N 3 (DE REGROUPEMENT SELON LES SIGNES) : Dans une addition sans parenthèses, on peut grouper les nombres ayant le même signe EXEMPLE : Calculer x = y = Nous avons x = = = 0 (après On groupe les nombres de signe On groupe les nombres de signe + groupement on applique la règle n et la règle n 3) On a de même y = = = On groupe les nombres de signe + NOTE : Dans ces calculs, les opérations inter On groupe les nombres de signe Dans ces calculs, les opérations intermédiaires (sommes) peuvent être effectuées avec une calculatrice Ces calculs doivent parfaitement être maîtrisés pour pouvoir comprendre la suite du chapitre D ailleurs nous faisons un effort de clarté particulièrement important Produits et quotients Les règles de signes : Les règles de signes énoncées ci-dessous s appliquent à la multiplication et à la division (+) (+) = + R R (+) (+) (+) = + R5 R4 (+) (+) ( ) ) = R3 ( ) ( ) ) = + R (+) (+) ( ) ) = R6 ( ) ( ) ) = + R5 (+) Les règles de calcul Pour multiplier lier deux nombres, on fait leur produit sans tenir compte des signes et on applique les règles de signes pour obtenir le signe du résultat Pour diviser de deux nombres, on fait leur quotient sans tenir compte des signes et on affecte au résultat le signe obtenu par les règles de signes APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N : Calculer chacun des nombres suivants : a = ( 3) ( ) b = ( + 6) ( 5) 3 = ( 8 ) ( + 4) 5 f = ( 5) ( 6) 6 = ( 36) ( 9) g 7 = 4 ( 8) d 4 e = 5 4 h 8 = ( 6 ) ( 4) 8 x

3 -3- METHODOLOGIE : On applique tout d abord la règle de signes pour obtenir le signe du résultat puis on effectue l opération Nous avons = ( 3 ) ( ) = + 6 Nous avons a (la règle r de signe ( ) ( )=+ ( )=+ donne le signe du résultat puis on fait 3 =6 pour obtenir le résultat) Nous avons b = ( + 6) ( 5) = 30 (la règle de signe (+) ( )= )= donne le signe du résultat puis on fait 6 5 =30 pour obtenir le résultat) On a = ( 8) ( + 4) = 3 3 On a d (la règle de signe ( ) (+)= ( (+)= donne le signe du résultat puis on fait 8 4 =3 pour obtenir le résultat) 4 On a directement e = 5 4 = 0 (la règle de signe ( ) (+)= ( )= donne le signe du résultat car le signe de 4 est +, puis on fait 5 4 =0 pour obtenir le résultat) 5 Nous avons facilement facilement = ( 5) ( 6) = 60 f (la règle de signe ( ) ( ) ( )= ( donne le signe du résultat puis on fait 5 6 =60 pour obtenir le résultat) REMARQUE : Si dans un produit ou dans un quotient le nombre de facteurs négatifs (c est-à- dire le nombre de signes ) ) est impair alors le signe du résultat est Si le nombre de facteurs négatif est pair, alors le signe du résultat est + Cette remarque permet d obtenir très rapidement le signe d un produit ou d un quotient Nous avons = ( 36 ) ( 9) = Nous avons g (la règle de signe ( ) ( )=+ ( )=+ donne le signe du résultat puis on fait 36 9 =4 pour obtenir le résultat) 7 Nous avons h = 4 ( 8) = 3 (la règle de signe (+) ( )= )= donne le signe du résultat ensuite on fait 4 8 =3 pour obtenir le résultat) 8 Nous avons successivement x = ( 6) ( 4) 8 = ( + 4) 8 = ( 6) ( 4) =+ 4 3 Les règles de suppression ssion des parenthèses Lorsqu un signe est placé devant des parenthèses, il a pour effet d inverser tous les signes des nombres placés entre ces parenthèses Lorsqu un signe + est placé devant des parenthèses,, il n a aucun effet sur les signes des nombres placés entre les parenthèses NOTE : Ces règles sont très importantes car elles servent à supprimer les parenthèses pour ensuite gérer facilement les calculs

4 -4- APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N : Supprimer les parenthèses dans les expressions suivantes (aucun ( calcul n est demandé) a = ( ) b = ( ) 3 d = + ( ) RAPPEL FONDAMENTAL : Un signe devant des parenthèses modifie tous les signes dans les parenthèses Un signe + devant des parenthèses conserve tous les signes dans les parenthèses On a alors immédiatement a = ( ) = (Notez bien le changement de tous les signes comme la règle l impose) On a de même b = ( ) = Cette fois-ci, on ne change rien et on a alors le calcul : d = + ( ) = II Le calcul algébrique On appelle expression algébrique toute expression mathématique contenant des variables numériques (c est-à-dire des nombres dont les valeurs ne sont a priori pas fixées) désignées par des lettres (comme x y z a b ) Le calcul algébrique est le calcul portant sur des expressions algébriques et qui est très indispensable pour les équations du premier degré que nous étudions par la suite Les règles d écritures en calcul algébrique Lorsqu un nombre est placé immédiatement devant une variable numérique (symbolisée par une lettre), cela signifie qu il multiplie cette valeur numérique Par exemple l écriture 3x signifie 3 x De même, l écriture 4y signifie 4 y Lorsque deux variables numériques sont juxtaposées (c est-à-dire placées immédiatement l une à côté de l autre), cela signifie qu elles se multiplient Par exemple l écriture ab signifie a b

5 -5- MISE EN GARDE : Ces règles d écriture algébrique doivent impérativement être comprises car les formules qui sont distribuées au CAP dans le formulaire officiel sont en notation algébrique Par exemple vous allez constater que la formule de l aire d un disque (qu on a déjà vue) est écrite = π qui signifie = R π R physique, les formules qu on écrira seront en notation algébrique Par ailleurs en APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 3 : Ecrire les expressions algébriques ci-dessous en notation algébrique : E = 4 x 3 y = ( B + b) h Pour passer en notation algébrique, il suffit juste de supprimer les symboles de multiplication On a alors très facilement : E 4 x 3 y = 4x 3y = = ( B + b) h = ( B + b) h Vous reconnaissez la formule de l aire d un trapèze et elle est dans le formulaire qui accompagne les sujets de CAP, mais écrite en notation algébrique c est-à-dire la dernière écriture Valeur numérique d une expression algébrique On appelle valeur numérique d une expression algébrique,, la valeur qu elle prend lorsqu on remplace chacune de ses variables numériques par sa valeur Pour calculer la valeur numérique d une expression algébrique, il faut y remplacer chaque variable numérique par sa valeur puis faire le calcul Cela n a rien d ingénieux puisque c est exactement ce que vous faites chaque fois que vous appliquer une formule EXEMPLE : Calculer la valeur numérique de l expression algébrique E = 5 x + 4y 4 pour x = et y = 3 On remplace les variables numériques x et y par leurs valeurs respectives on a alors : E = 5 ( ) + 4 (3) 4 = = = = 8

6 -6- NOTE : Quand on remplace les variables par leurs valeurs, il faut les l mettre entre des parenthèses pour assurer la bonne gestion des signes 3 Réduction d une expression algébrique Réduire une expression algébrique consiste (lorsque c est possible) de lui donner une écriture plus simple en regroupant les termes semblables (c est-à-dire les mêmes lettres, mais aussi les mêmes puissances sur ces lettres) MISE EN GARDE : On ne doit qui ne sont pas semblables On ne doit en aucun cas,, regrouper des termes APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 4 : Réduire les expressions algébriques ci-dessous : A = 4 x + x B = 9 x 7x C = 4 x 5 x 4 D = 5 x y 3x + 7 y x 5 E = 3a 7b + a + 4a + 9b b Dans l expression A = 4 x + x, les termes 4x et x sont semblables on peut donc les regrouper On obtient alors A = 6 6x (on calcule les nombres 4+ =6 et on garde la lettre x) REMARQUE : Si je vous demande combien font 4 +, j entendrai instantanément 6 Vous venez alors de faire le calcul de = 4 + (en remarquant que x remplace ) A x x Quand on groupe les termes semblables, on calcule juste les coefficients et on garde la lettre au résultat obtenu Par exemple 7y 9y = y (on fait 7 9 = puis on met y) On groupe les termes semblables, à savoir 9x et 7x On a alors : B = 9x3 7x + 3 = x + 3 (On ne peut pas grouper x et 3 car ils ne sont pas x semblables : vous ne pouvez pas faire +3 oranges par exemple) 3 Nous avons successivement C = 4x 5 x = 4 x3 x 5 = 3x 5 (Notez bien que groupement quand une variable n est pas précédée d un coefficient, alors son coefficient est Dans ces conditions, on a x = x) 4 En groupant les termes semblables on obtient successivement :

7 -7- D = 5 x y 3x + 7 y x = 5x 3x x + y + 7y + 4 = x + 9y On groupe les x On groupe les y Ce qui donne E = =x +9y+ (le devant le x est omis) On groupe les nombres 5 Nous avons E = 3a 7b + a + 4a + 9b b = 3a + a 4a 7b + 9b b + On a alors E = a 0 (les termes en b disparaissent : on dit qu ils s annulent et on omet le devant le a) CONSEIL : Lorsque vous regroupez les termes, veillez à ne pas en oublier certains, surtout si l expression algébrique à réduite est longue APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 5 : Des couples accompagnés de leurs enfants participent à un dîner On dénombre x couples ayant deux enfants et y couples ayant un enfant Exprimer en fonction de x et y le nombre N de personnes qui participent à ce dîner Calculer la valeur numérique de l expression algébrique N pour x =3 et y = 3 Interpréter le résultat obtenu dans la question précédente Chaque couple ayant deux représente 4 personnes ( adultes et enfants) Donc pour les x couples ayant deux enfants, le nombre de personnes est 4x Chaque couple ayant un enfant représente 3 personnes ( ( adultes et enfant) Donc pour les y couples ayant un enfant, le nombre de personnes est 3y Le nombre total de personnes participant au dîner est donc N = 4x+3y On remplace x par 3 et y par dans l expression N On obtient alors très facilement : N = 4 (3) + 3 () = + 6 = 8 3 Ce résultat signifie que 8 personnes participeront au dîner lorsqu il y a 3 couples ayant deux enfants et couples ayant un enfant 4 La règle de développement Si un nombre est placé immédiatement devant des parenthèses,, alors il multiplie tous les termes placés dans ces parenthèses Plus précisément, on a l égalité suivante : a b + c) = ab + ac ( c est-à-dire a ( b + c) = a b + a c Cette règle sert s développer des expressions algébriques c est-à-dire à supprimer des parenthèses

8 -8- APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 6 : Développer et réduire les expressions suivantes : A = (3x + ) B = 3(x 4) + 8x 9 3 C = 4(x 3) + 3( x + 5) 7x 4 D = 8( x + 5) (3x + 7) + 5x On utilise la règle de développement : Nous avons A = (3x + ) = (3x) + () = 6x + 4 REMARQUE : Pour obtenir (3x) = 6x, on multiplie les coefficients ( 3 ) et on garde la lettre x exactement comme vous le faites f quand vous calculez 3 = 6 Nous avons B = 3(x 4) + 8x 9 = 3 (x) 3 ( 4) + 8x 9 = 6x + + 8x 9 Ce qui donne B = x + 3 (Il faut faire très attention aux règles de signes) 3 On a C = 4(x 3) + 3( x + 5) 7x = 4 (x) + 4 ( 3) + 3 ( x) + 3 (5) 7x ce qui donne alors C = 8 x + 3x + 5 7x = 4x + D = 4 x x 4 + 5x = 3x + 4 On a D = 8( x + 5) (3x + 7) + 5x = 8 ( x) + 8 (5) (3x) (7) + 5x ce qui nous donne 4

9 -9- EXERCICES A FAIRE ET A RENVOYER : EXERCICE N : Calculer les nombres a = b = 5 40 c = 6 d = Calculer les nombres x = 8 4 y = EXERCICE N : Calculer les nombres : a = 8 ( 4) b = 5 ( 3) c = ( 6) ( ) d = ( 9) ( 3) Calculer les nombres : x = ( ) ( 4) ( + 5) ( 80) y = ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ( 0) EXERCICE N 3 : Calculer la valeur numérique de l expression algébrique E = 4Lh π R lorsque L =,5 h = et R = 5 On prendra = 3,4 Calculer la valeur numérique de l expressions A = ab 7a + 9b pour a = 5 et b = 3 EXERCICE N 4 : Réduire les expressions algébriques suivantes : P = 8 x 5 47x x 4 Q = 7x + 8y x + 6y + x 9y + L institut de beauté a réalisé x épilations pour 35 l épilation et y soins du corps pour 48 le soin Exprimer en fonction de x et y, la recette R réalisée par l institut Calculer la valeur numérique de R pour x= et y =5 et donner la signification du résultat ainsi obtenu 3 Lors d un examen les candidats passent deux épreuves A et B de coefficients respectifs 6 et 4 et dont les notes sont respectivement notées a et b La moyenne finale m de l examen se calcule alors par la formule 3a + b m = Les candidats sont alors admis si cette moyenne est 5 supérieure ou égale à 0 Calculer la valeur numérique de m pour a = et b =8 Pauline a obtenu à l épreuve A et 8 à l épreuve B Interpréter ces résultats en terme d admission à cet examen