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Ségolène Bertrand
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1 Probabilités en terminale

2 2

3 Taux de participation aux élections 3

4 Comment introduire la «loi normale» Un début d exercice «classique» Une entreprise pharmaceutique fabrique les comprimés d un médicament dans deux machines distinctes A et B. Après une étude statistique, elle constate que : - la masse d un comprimé qui sort de la machine de fabrication A suit une loi normale de paramètres µ = 80,00mg et σ = 0,025 ; - la masse d un comprimé qui sort de la machine de fabrication B suit une loi normale de paramètres µ = 80,00mg et σ = 0,020 4

5 Du discret au continu Objectifs : Introduire la notion de densité de probabilité. Présenter un exemple d une variable aléatoire dont la loi de probabilité est celle d une loi normale. Exemple : Les poulets 5

6 Lois à densité Soit X une variable aléatoire qui à chaque issue d un univers Ω associe un élément de l intervalle I de R, et soit f une fonction définie sur I. On dit que f est une fonction de densité de la variable aléatoire si, pour tout intervalle J contenu dans I, la probabilité de l événement «X J» est l aire de l ensemble des points de coordonnées x ; y tels que x J et 0 y f x. 6

7 Exemples de loi à densité Loi uniforme Loi exponentielle Activité : 1+1=2? 7

8 Comment introduire la loi normale? 8

9 Retour à la loi binomiale Planche de Galton 0,12 Xn Binomiale 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Distribution de B(50 ; 0,5) avec le tableur 9

10 Visualisation de la loi binomiale 10 Distribution de B(50;0,5) avec GeoGebra

11 Moyenne et espérance d une binomiale suit la loi binomiale de moyenne et d écart type On pose. sont indépendants de 11

12 Loi binomiale centrée réduite Soit Z n la variable centrée réduite associée à X n. prend des valeurs entières k dans [0 ; n]. prend des valeurs z régulièrement réparties sur et l écart entre deux valeurs consécutives est égal à. La représentation graphique de est un diagramme en bâtons qui dépend de p et n. 12

13 Binomiale centrée réduite Illustration pour n = 53 et p = 0,6 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 X n binomiale ,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Z n binomiale centrée réduite 13 Tableur GeoGebra

14 Théorème de Moivre-Laplace On suppose que pour tout, suit la loi binomiale avec. On pose. Alors pour tous réels et tels que, 14

15 Vers le théorème de Moivre-Laplace A Approche d une loi binomiale par une loi continue Dans cette partie, X désigne une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,4. On considère la variable aléatoire Y définie par Y=. 1. a) Quelles sont les différentes valeurs prises par la variable aléatoire Y? b) Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de Y (on arrondira à 10 3 ) 15

16 Vers le théorème de Moivre-Laplace Représenter graphiquement la loi de probabilité de Y. On souhaite approcher cette variable aléatoire par une variable aléatoire continue. Pour cela, on va d abord définir l intervalle I sur lequel Z prend ses valeurs et la fonction densité de Z définie sur I. a) Que vaut? b) Quelle valeur donneriez-vous à? Représentation 16

17 Vers le théorème de Moivre-Laplace a) On décide de choisir comme fonction densité une fonction constante sur l intervalle. Quelle valeur va-t-on attribuer à sur cet intervalle? b) Sur le graphique précédent, représenter sur cet intervalle. c) Reprendre les trois questions précédentes pour les autres valeurs prises par Y. d) Préciser l intervalle I de définition de? 17

18 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 binomiale centrée réduite 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 binomiale centrée réduite normale centrée réduite 0,15 0,15 0,1 0,1 0,05 0 0,

19 Pour comparer deux variables continues et visualiser un histogramme, à chaque valeur de on fait correspondre un rectangle vertical dont L'amplitude de la "classe" [zk, zk+1] est. (écart entre deux valeurs prises par Z). La densité de Z sur [zk ; zk+1[ est P(Z = zk) avec 0 k n 1. 19

20 Un outil : la loi normale centrée réduite Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N(0,1) si, pour tous réels a et b tels que a b, on a : Loi normale GeoGebra 20

21 Une propriété à démontrer Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N (0,1) alors, pour tout réel, il existe un unique réel positif tel que 21

22 La loi normale N(µ ; σ²) Une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ ; σ²) si la variable aléatoire suit la loi normale N(0 ; 1). 22

23 Valeurs particulières Si X suit une loi normale N alors près, près, près. Densité de la loi normale 23

24 Valeurs particulières 24

25 Exemple de mise en œuvre de la loi normale 25

26 Réglage d'une machine d'embouteillage dans une coopérative Sur une chaîne d'embouteillage, la quantité X (en cl) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cl peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne μ et d écart-type σ = 2. La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. À quelle valeur de la moyenne μ doit-on régler la machine pour respecter cette législation? 26 μ? tel que P(X < 100) < 0,001

27 μ? tel que P(X < 100) < 0,001 On détermine d'abord la valeur z de la loi normale centrée réduite, telle que P(Z < z) = 0,001. Avec TI (83 plus et +) : FracNormale(.001,0,1) Avec CASIO(35+) et + : menu stat dist NORM InvN Area :.001 σ : 1 ; μ : 0. Inverse Normal x =

28 La contenance des bouteilles étant de 110 cl, quelle est alors la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage? P(X>110)? P(X < 100) = 0,5 P(100 X μ ) Avec TI (83 plus et +) : 0.5-normal Frép(100,105.34,105.34,2)) Avec CASIO(35+) et + : Ncd Lower : 100 ; Upper: σ : 2 ; μ : Normal C.D. prob = =.0038 μ 106,18, on obtient P(X > 110) 0,038. Bouteille 28

29 Déterminer μ et σ afin qu il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui débordent. On cherche μ et σ tels que P(x<100)<0,001 et P(X>110)<0,001) P(Z > zsup ) = 0,01 zsup 2,33 P(Z < zinf ) = 0,001 zinf 3, μ σ 2,33 et 100 μ σ 3,09 29

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