Équations, cours de seconde

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1 Équations, cours de seconde F.Gaudon 15 juillet 2009 Table des matières 1 Résolution d équations produits ou quotients Résolution d équations produits Résolution d équations quotients Synthèse sur les méthodes de résolution d équations 3 3 Résolutions graphiques 3 4 Algorithmique : exemples de résolutions approchées d équations 4 1

2 1 Résolution d équations produits ou quotients 1.1 Résolution d équations produits Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Résolution de l équation (3x + 2)(4x 3) = 0 dans l ensemble des réels. D après la propriété énoncée, 3x + 2 = 0 ou 4x 3 = 0 c est à dire 3x = 2 ou 4x = 3 ou encore x = 2 3 ou x = 3 4. L équation (3x + 2)(4x 3) = 0 a donc pour solutions 2 3 et Résolution d équations quotients Définition : on appelle valeur interdite d une fonction f donnée, tout réel x n appartenant pas à l ensemble de définition de la fonction f. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x+3. Alors 5 est une valeur interdite car pour x = 5, le dénominateur x 5 serait nul, ce qui rend incalculable l image de 5 par f. Exemples d application : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. 1. On considère l équation (3x + 2)(4x + 1) = 0. 5x + 3 5x + 3 = 0 si et seulement si 5x = 3 c est à dire x = On résout l équation sur R 5. 3 On a (3x+2)(4x+1) donc x = 2 1 ou x = On considère l équation est donc la seule valeur interdite. = 0 si et seulement si (3x + 2)(4x + 1) = 0 c est à dire 3x + 2 = 0 ou 4x + 1 = 0 5x Les solutions de l équation sont donc et. 3 4 x 2 2 3x 1 = 0. On détermine les valeurs interdites : 3x 1 = 0 donne x = 1. 3 On écrit le numérateur sous forme d un produit en factorisant : On résout l équation produit obtenue : x 2 2 3x 1 = (x 2)(x + 2) 3x 1 (x 2)(x + 2) = 0 x = 2 ou x = 2 On détermine les solutions en supprimant les valeurs interdites qui ne peuvent être solutions : S = { 2; 2} 2

3 2 Synthèse sur les méthodes de résolution d équations Démarche de résolution : Pour résoudre une équation, on transforme l écriture par des développements, des factorisations, des transpositions d un membre à l autre pour : Se ramener à une équation du premier degré ; se ramener à une équation-produit nul ; ou se ramener à une équation quotient nul. (x + 2) 2 = 9 (x + 2) 2 9 = 0 (x + 2) = 0 (x + 2 3)(x ) = 0 d après l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) (x 1)(x + 5) = 0 C est une équation produit donc x 1 = 0 ou x + 5 = 0 c est à dire x = 1 ou x = 5. L équation a donc deux solutions 1 et Résolutions graphiques Soit k un nombre réel, f une fonction et C f sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l équation f(x) = k sont les abscisses des points d intersection de la courbe avec la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k). Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f(x) = x 2. L équation f(x) = 4 a pour solutions 2 et

4 Soient f et g deux fonctions et C f et C g leur représentation graphique dans un repère. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des deux courbes C f et C g. Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies par f(x) = x 2 et g(x) = 1 2 x Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont -2 et 2. 4 Algorithmique : exemples de résolutions approchées d équations Méthode dite par balayage : L algorithme ci-dessous obtient une valeur approchée à 0,1 près sur [0 ;2] de la solution de l équation x 2 3 = 0 en établissant un tableau de valeurs à 0,1 près de la fonction f : x x 2 3x et en gardant la valeur de x qui donne l image la plus proche de 0 par f : > m Pour i allant de 0 à 2 par pas de 0,1 faire si abs(i^2-3)<m alors m=abs(i^2-3) im=i i=i+0,1 FinPour Afficher "La valeur approchée est : ",im On notera l utilisation dans cet algorithme de la fonction abs qui donne la distance à zéro d un nombre. 4

5 Méthode dite de dichotomie : L algorithme suivant obtient une valeur approchée à 0,1 près sur [0 ;2] de la solution de l équation x 2 3 = 0 en utilisant le fait que la fonction est négative pour les valeurs de x inférieures à la solution et positive pour les valeurs de x supérieures et en diminuant l intervalle contenant la solution de moitié à chaque étape à l aide du milieu de l intervalle : 0 -> a 2 -> b Tant que abs(b-a)>0,1 faire m=(a+b)/2 si m^2-3>0 alors m -> b sinon m -> a Fin tantque Afficher "La valeur approchée est ",m 5