NUMÉRATION & ARITHMÉTIQUE

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1 CHAPITRE 1 NUMÉRATION & ARITHMÉTIQUE EXERCICE 1 (Reims 96) Cet exercice propose une méthode de calcul des produits a b avec 6<a 10 et 6< b 10 On suppose connue par cœur la table de Pythagore de la multiplication jusqu à 6 6 Description de la méthode : Le chiffre des dizaines de a b est la différence de a et du complément à 10 de b Le chiffre des unités de a b est le produit des compléments à 10 de chacun des nombres a et b 1 Calculer 7 8 par cette méthode 2 Justifier cette méthode dans le cas général EXERCICE 2 (Lyon 05) On convient que lorsqu on compte les chiffres d un nombre, on n écrit pas de zéros à gauche Ainsi, 57 est un nombre à 2 chiffres, mais pas un nombre à 3 chiffres, bien qu on puisse écrire 57=057 1 Combien le nombre 72, possède-t-il de chiffres? 2 Vrai ou faux? s écrit avec moins de 55 chiffres (Justifier) EXERCICE 3 (Aix Marseille 98) 1 On se propose de dénombrer les solutions de la double inégalité : 3,8276 3,8 4 3,834 où deux chiffres sont à déterminer pour satisfaire l encadrement a) Construire un arbre de choix et en déduire le nombre de réponses possibles b) On considère le nombre 3,8c m4, où c et m désignent chacun un chiffre Quelles conditions ce nombre doit-il satisfaire pour que : 3,8276 3,8c m4 3,834 2 Dénombrer les solutions de la double inégalité : 43,8276 3,5 4 53,834 sachant que trois chiffres sont à déterminer Justifier la réponse EXERCICE 4 (Guadeloupe 09) Au cours de l année 2009, de nouvelles plaques d immatriculation doivent être mises en circulation Chaque véhicule immatriculé possédera désormais un numéro «à vie» Ce numéro est constitué de sept caractères, répartis en trois blocs : 1 er bloc : deux lettres ; 2 ème bloc : trois chiffres ; 3 ème bloc : deux lettres La numérotation des véhicules se fera de manière chronologique et au niveau national (de AA 001 AA à ZZ 999 ZZ), les numéros se succédant de la manière suivante : de AA 001 AA à AA 999 AA ; puis de AA 001 AB à AA 999 AB et ainsi de suite jusqu à AA 999 AZ ; puis de AA 001 BA à AA 999 ZZ ; puis de AB 001 AA à AZ 999 ZZ ; puis de BA 001 AA à ZZ 999 ZZ

2 Dans cet exercice les lettres utilisées dans la numérotation des véhicules sont les 26 lettres de l alphabet 1 Combien de véhicules devront être immatriculés pour atteindre le numéro AA 999 AZ? 2 Montrer qu il faut immatriculer véhicules pour atteindre le numéro AA 011 BD 3 Montrer que le nombre de véhicules immatriculés avant d arriver au numéro AB 001 AA est de Au bout de combien d années pourrait être épuisé ce système de numérotation si 7 millions de véhicules sont immatriculés chaque année? EXERCICE 5 (Lyon 04) Toto additionne deux nombres entiers avec la méthode habituelle et trouve 499 sans faire d erreur Combien de retenues a-t-il effectuées? EXERCICE 6 (Lyon 05) On convient que lorsqu on compte les chiffres d un nombre, on n écrit pas de zéros à gauche Ainsi, 57 est un nombre à 2 chiffres, mais pas un nombre à 3 chiffres, bien qu on puisse écrire 57=057 1 Combien y a-t-il de nombres (entiers naturels) à 2 chiffres? à 3 chiffres? à 4 chiffres? 2 Parmi les nombres (entiers naturels) à 3 chiffres, a) combien y en a-t-il qui ont 3 chiffres identiques? b) combien y en a-t-il qui ont 3 chiffres différents? c) combien y en a-t-il qui ont exactement 2 chiffres différents, l un des deux étant répété deux fois? d) Vrai ou faux? Parmi les nombres à 3 chiffres, il y en a 28 % qui ont au moins un chiffre répété ( Justifier) EXERCICE 7 (Aix Marseille 08) On cherche tous les nombres entiers naturels de cinq chiffres vérifiant les deux conditions suivantes : i) leur écriture décimale n utilise que deux chiffres différents ; ii) la somme de leurs cinq chiffres est égale à 11 1 Les chiffres 1 et 3 permettent d écrire de tels nombres : en donner la liste complète 2 Trouver toutes les autres paires de chiffres possibles pour écrire les nombres cherchés 3 Combien y a-t-il de nombres entiers de cinq chiffres vérifiant les conditions i) et ii)? EXERCICE 8 (Aix Marseille 01) 1 Voici deux propositions concernant des nombres donnés en écriture décimale Dire, pour chacune d elles, si elle est vraie ou fausse et justifier Proposition A : Si l écriture d un nombre entier se termine par 2 alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4 Proposition B : Si l écriture d un nombre entier se termine par 4 alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 16 2 L écriture d un nombre entier n est de la forme : a5, où a est le chiffre des dizaines, différent de zéro a) Démontrer que n 2 s écrit avec quatre chiffres au plus b) Démontrer que l écriture de n 2 se termine par 25 et que le nombre de centaines de n 2 est égal à : a(a+ 1) EXERCICE 9 (Guadeloupe 07) a, b, c désignent trois chiffres distincts et différents de 0 À cet ensemble de trois chiffres, on associe la famille des six nombres à trois chiffres qui s écrivent en utilisant une fois le chiffre a, une fois le chiffre b et une fois le chiffre c Par exemple, aux trois chiffres 2, 5 et 7, on associe la famille constituée des six nombres suivants : 257, 275, 527, 572, 725 et 752 On appelle S la somme des six nombres de la famille et M leur moyenne 1 Calculer S et M correspondant à la famille donnée dans l exemple ci-dessus 2 Montrer que, dans le cas général, on a M=37(a+b+ c) 3 Trouver tous les ensembles de trois chiffres distincts et différents de 0 qui permettent de former une famille dont la moyenne M des six nombres vaut 370 EXERCICE 10 (Polynésie 07) La lettre x désigne un nombre Dire, en justifiant, si les énoncés suivants sont vrais ou faux : - énoncé 1 : «Si 2x est un nombre entier naturel, alors x est un nombre entier naturel» - énoncé 2 : «Si x est un nombre entier naturel, alors x est un nombre entier naturel» 2 - énoncé 3 : «Si x + 1 est un nombre entier naturel, alors x est un nombre entier naturel» 2

3 EXERCICE 11 (Besançon 97) On donne les nombres rationnels suivants : A= Les nombres A et B sont-ils des nombres décimaux? 2 Le nombre A+B est-il un nombre décimal? B= EXERCICE 12 (Amiens 98) On considère deux nombres : et Sont-ils des nombres décimaux? 2 Comparer ces deux nombres 3 Trouver un nombre décimal strictement compris entre ces deux nombres 4 Trouver une fraction qui ne soit pas un nombre décimal, strictement comprise entre ces deux nombres EXERCICE 13 (Nice 98) Écrire un entier à la place du point pour que l écriture fractionnaire désigne : un entier naturel un décimal non naturel un rationnel non décimal EXERCICE 14 (Polynésie 09) Toutes les réponses devront être justifiées Soit le problème suivant : Quel(s) nombre(s) se cache(nt) derrière ces informations? Un entier naturel N est composé de trois chiffres dont le produit est 120 et la somme 16 1 Montrer que N ne contient ni 0, ni 1, ni 2 2 N peut-il contenir le chiffre 7? le chiffre 9? 3 Déterminer un nombre N solution du problème ci-dessus en explicitant votre procédure 4 Déterminer tous les nombres N solutions de ce problème EXERCICE 15 (Aix Marseille 07) Un nombre entier naturel N est dit parfait s il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même Par exemple, 28 est un nombre parfait En effet, les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 et = 28 1 Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits est-il un nombre parfait? Justifier la réponse 3 On admet qu un nombre entier pair N est parfait si, et seulement si, il est de la forme N=2 n (2 n+1 1), n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que(2 n+1 1) soit un nombre premier a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4 Quels résultats retrouve-t-on? b) On donne ci-dessous la liste des nombres premiers compris entre 100 et 150 En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496 Nombres premiers compris entre 100 et 150 : 101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ; 131 ; 137 ; 139 ; 149 EXERCICE 16 (Amiens 03) 1 Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement trois diviseurs? (Il n est pas nécessaire de justifier) 2 «Je suis un nombre à trois chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement trois diviseurs Qui suis-je?» Trouver ce nombre (il est unique) en expliquant la démarche 3

4 EXERCICE 17 (Besançon 08) 1 Un nombre de trois chiffres est tel que : - la somme de ses trois chiffres est égale à 14 ; - ce nombre est plus grand que son nombre «retourné» (exemple : si le nombre est 651, son nombre «retourné» est 156) ; - la différence entre ce nombre et son nombre «retourné» est 99 ; - la différence entre le double du chiffre des dizaines et le triple du chiffre des centaines est égale à 2 Trouver ce nombre en expliquant votre démarche 2 En observant les nombres 297, 880 et 242, un élève a formulé la conjecture «tout nombre à trois chiffres dans lequel le chiffre des dizaines est la somme du chiffre des centaines et du chiffre des unités est divisible par 11» a) Cette conjecture s applique-t-elle au nombre trouvé à la question 1? b) La conjecture de l élève est-elle effectivement vraie? Justifier la réponse c) Trouver un nombre de 3 chiffres qui soit divisible par 11 et dans lequel le chiffre des dizaines n est pas la somme du chiffre des centaines et de celui des unités EXERCICE 18 (Amiens 07) On justifiera toutes les réponses 1 Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 207? Si oui, lesquels? 2 Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 329? Si oui, lesquels? 3 Caractériser les entiers naturels qui sont la somme de trois entiers consécutifs 4 Déterminer toutes les valeurs possibles de d (avec 0 d 9) pour que le nombre dont l écriture est 47d5, en base 10, soit la somme de trois entiers naturels consécutifs EXERCICE 19 (Bordeaux 09) Dans cet exercice, a, b et c sont des chiffres compris entre 1 et 9 On considère des nombres écrits en base dix avec ces chiffres et on note, par exemple b ac le nombre dont b est le chiffre des centaines, a celui des dizaines et c celui des unités Les questions sont indépendantes 1 Voici 4 nombres : 7, 13, 57 et 61 Parmi ces nombres, lequel n est pas un nombre premier? Justifier 2 a) Le nombre 3737 est-il un nombre premier? Justifier b) Un nombre de la forme ab ab peut-il être un nombre premier? Justifier 3 a) On considère les trois nombres ab c, ab b et acc Montrer que la somme de ces trois nombres est un nombre divisible par 3 b) On considère les deux nombres c b a et b b a Proposer un troisième nombre de trois chiffres, uniquement formé avec des chiffres choisis parmi les chiffres a, b et c, pour que la somme des trois nombres soit divisible par 3 Justifier EXERCICE 20 (Dijon 01) Les nombres 2882 et sont des palindromes (cela signifie qu en les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre) Trouver tous les palindromes ayant quatre chiffres et qui sont divisibles par 9 EXERCICE 21 (Dijon 02) Déterminer le nombre entier N satisfaisant simultanément aux trois conditions ci-dessous : N est divisible par 6 ; N n est pas divisible par 8 ; N a exactement 15 diviseurs On rappelle que, si la décomposition d un nombre en facteurs premiers est de la forme A a B b C c, alors le nombre de ses diviseurs est(a+ 1)(b+ 1)(c+ 1) EXERCICE 22 (Aix Marseille 00) Le but de cet exercice est de déterminer un nombre entier a Ce nombre s écrit avec 4 chiffres, il est supérieur à 7000, il est multiple de 45, il est impair et le chiffre des milliers est le double de celui des centaines Quel est ce nombre? 4

5 EXERCICE 23 (Bordeaux 08) 1 Voici un problème donné à des élèves du cycle des approfondissements : Dans la cour des maternelles, il y a des bicyclettes et des tricycles J ai remarqué : - qu il y a au moins trois bicyclettes et trois tricycles ; - qu il n y a pas plus de dix bicyclettes, ni plus de dix tricycles ; - qu il y a en tout 31 roues Avec ces renseignements, combien peut-il y avoir de bicyclettes et de tricycles? Démontrer qu il existe exactement deux réponses possibles à ce problème 2 Une boîte de chocolats contient moins de 100 chocolats En répartissant les chocolats en tas de deux, ou en tas de trois, ou en tas de quatre, il en reste un à chaque fois, mais en les répartissant en tas de cinq, il n en reste pas Combien peut-il y avoir de chocolats dans la boîte? Justifier en explicitant la démarche utilisée EXERCICE 24 (Bordeaux 09) 1 On décompte de 4 en 4 à partir de 61 tant qu on obtient un entier naturel : «61, 57, 53,» a) Quel nombre termine cette liste? On décompte maintenant de 4 en 4 tant qu on obtient un entier naturel, mais à partir de 9843 b) Quel nombre termine cette nouvelle liste? Justifier la réponse c) Combien comporte-t-elle de termes? d) Quel est le 100 e terme? 2 En utilisant uniquement l information =( ) : a) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par 4548 ; b) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par On sait que =( ) =( ) =(1996 5)+20 Utiliser ces relations pour déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par 1996 EXERCICE 25 (Grenoble 00) On s intéresse au quotient et au reste de la division euclidienne de par 12 Voici quatre résultats, tous erronés N o du résultat Quotient Reste Sans s appuyer sur le calcul effectif du quotient et du reste, expliquez pourquoi ces résultats ne sont pas corrects Pour cela, on utilisera un argument pour chacun des résultats ; ces quatre arguments doivent être de natures différentes EXERCICE 26 (Aix Marseille 06) On justifiera toutes les réponses 1 Écrire l égalité caractéristique traduisant la division euclidienne de 1001 par 11 2 Soit mcd u un nombre à 4 chiffres écrit en base dix Vérifier que mcd u= 1001 m+ 99 c+ 11 d m+ c d+ u 3 a) À partir de la question précédente, énoncer et démontrer un critère de divisibilité par 11 pour les nombres inférieurs à 9999 (condition nécessaire et suffisante) b) Utiliser ce critère pour trouver trois nombres de quatre chiffres multiples de 11 ayant 38 centaines 4 a) Montrer que le critère de la question précédente s applique aussi aux nombres à 6 chiffres qu on notera ab mcd u b) Utiliser alors ce critère pour déterminer si le nombre 1, est divisible par 11 Justifier la réponse 5

6 EXERCICE 27 (Polynésie 08) 1 Parmi les nombres rationnels suivants, quels sont ceux qui sont décimaux? Justifier la réponse 1 7 ; 27 8 ; 91 7 ; Le but de cette question est d étudier l écriture décimale périodique de 1/7 a) Poser la division de 1 par 7 En déduire l écriture décimale périodique de 1/7 b) Donner, en justifiant succintement, la 32 e décimale du développement périodique de 1/7 3 Le but de cette question est de produire l écriture décimale périodique de 42/17 En utilisant un tableur pour effectuer la division de 42 par 17 on obtient le tableau suivant À partir de la cellule A2, la colonne A donne les restes successifs de la division de 42 par 17 À partir de la cellule B2, la colonne B donne les quotients successifs a) Donner, sans justification la 20 e décimale de l écriture décimale de 42/17 b) À partir du tableau ci-contre, donner l écriture décimale périodique de 42/17 c) Expliquer pourquoi on est sûr de retrouver dans la cellule A18 un reste déjà connu 4 On se propose maintenant de retrouver l écriture fractionnaire du rationnel a= 1,23 (c est-à-dire le nombre dont l écriture décimale périodique est 1, ) Pour cela, calculer 100a a et en déduire l écriture de a sous forme fractionnaire EXERCICE 28 (Rouen 03) Introduction : Le but de cet exercice est de mettre en évidence et d utiliser un critère de divisibilité par 7 On rappelle qu un nombre entier E est divisible par un nombre entier n si, et seulement si, il existe un nombre entier k tel que E= n k 1 Donner tous les nombres entiers naturels à un et deux chiffres divisibles par 7 Par convention, ajouter 0 à cette liste 2 Description et utilisation de la procédure : Voici deux exemples mettant en œuvre une même procédure permettant de déterminer si un nombre entier naturel est divisible par 7 ou non 574 est-il divisible par 7? est-il divisible par 7? est divisible par 7 donc 574 l est aussi 68 n est pas divisible par 7 donc 827 non plus a) En appliquant la même procédure dire si les nombres 406, 895 et 3906 sont divisibles par 7 b) Rédiger un texte décrivant, dans le cas général, la procédure permettant de déterminer si un nombre entier naturel est divisible par 7 3 Justification : a) On décompose tout nombre entier naturel E sous la forme E = 10v + u où v est un nombre entier naturel et u un nombre entier naturel à un chiffre Écrire cette décomposition pour les nombres 273 et 16 b) Exprimer en fonction de v et de u le nombre obtenu en appliquant la procédure précédente à un nombre entier naturel E c) Montrer que si ce nombre obtenu après application de la procédure est divisible par 7 alors E sera lui aussi divisible par 7 6

7 EXERCICE 29 (Polynésie 09) 1 a) Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 7 de 1, de 10 puis de 100 Écrire les trois égalités caractéristiques correspondantes b) En utilisant l égalité 10 3 = , montrer que le reste de la division euclidienne de 10 3 par 7 se déduit, sans poser de divisions, des résultats précédents c) Soit r n le reste de la division euclidienne de 10 n par 7 et r n+1 le reste de la division euclidienne de 10 n+1 par 7 Donner une méthode permettant d obtenir r n+1 à partir de r n d) Reproduire et compléter alors le tableau ci-dessous 10 n Reste de la division euclidienne de 10 n par 7 2 Déterminer à l aide du tableau de la question 1d) si le nombre est divisible par 7 Indiquer les étapes de votre raisonnement EXERCICE 30 (Amiens 08) 1 Dans cette question, aucune division n est à poser Les réponses doivent être justifiées a) Sachant que = , donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par 17 b) Sachant que = , donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par 17 c) En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de par 17, puis le quotient et le reste de la division euclidienne de par 17 2 Dans la division euclidienne d un nombre a par 17, on note q le quotient et r le reste Dans la division euclidienne d un nombre a par 17, on note q le quotient et r le reste Déterminer, en justifiant votre réponse, le quotient et le reste : a) dans la division euclidienne de a+ a par 17 ; b) dans la division euclidienne de 2a par 17 EXERCICE 31 (Poitiers 96) Trouver tous les entiers naturels n à quatre chiffres satisfaisant aux conditions suivantes : le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20 ; le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24 ; le reste de la division de n par 9 est supérieur à 6 ; le reste de la division de n par 5 est égal à 1 EXERCICE 32 (Rouen 99) Dans la division euclidienne d un nombre non nul par 7, on trouve un quotient égal au double du reste Trouver toutes les valeurs possibles du dividende, du quotient et du reste de cette division EXERCICE 33 (Poitiers 96) Étant donné un entier n supérieur ou égal à 10, on appelle associé de n l entier obtenu en intercalant un 0 entre le chiffre des dizaines et celui des unités de n Par exemple, l associé de est Quel est l associé de ? 2 L entier est-il l associé d un nombre? Si oui, lequel? 3 a) Démontrer la propriété suivante : si n est un entier divisible par 9, alors son associé l est également b) Formuler la réciproque de la propriété précédente c) Cette réciproque est-elle vraie? Justifier 4 Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur l entier n pour que son associé soit divisible par 4 La démontrer 5 Démontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes EXERCICE 34 (Besançon 07) Toutes les réponses seront justifiées 1 Donner les restes des divisions par 6 et par 3 de chacune des trois sommes suivantes :

8 2 Plus généralement : a) Donner le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs b) Donner le reste de la division par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs 3 Trouver trois nombres impairs consécutifs dont la somme est On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consécutifs soit toujours un multiple de 5 Déterminer la plus petite valeur possible de p EXERCICE 35 (Nancy Metz 06) 1 On dispose de jetons bleus et de jetons rouges Les jetons bleus ont pour valeur 3 points tandis que les jetons rouges ont pour valeur 7 points a) Pierre n a que des jetons bleus et Jean n a que des jetons rouges Pierre doit donner 34 points à Jean Comment Pierre et Jean peuvent-ils procéder? Donner une solution b) Paul dit qu il a 29 jetons qui représentent une valeur totale de 94 points Que penser de l affirmation de Paul? Justifier la réponse c) Céline possède des jetons bleus et des jetons rouges pour une valeur totale de 34 points Combien de jetons de chaque couleur possède-t-elle? Trouver toutes les solutions 2 Quel nombre maximum de rectangles de 3 cm de large et 7 cm de long peut-on effectivement obtenir en découpant une plaque rectangulaire de dimensions 21 cm et 34 cm? Justifier la réponse On pourra utiliser le résultat de la question 1c EXERCICE 36 (Montpellier 97) Le plus grand des nombres qui s écrivent en base dix avec deux chiffres est 99 1 Quelle est l écriture en base dix du plus grand des nombres qui s écrivent en base huit avec deux chiffres? 2 Quelle est l écriture en base dix du plus grand des nombres qui s écrivent en base douze avec deux chiffres? 3 Si n est un entier naturel strictement supérieur à 1, le plus grand des nombres qui s écrivent en base n avec un seul chiffre est le nombre(n 1) a) Déterminer le plus grand des nombres que l on peut écrire en base n avec deux chiffres b) Quel est le plus petit entier n pour lequel le nombre 224 (écrit en base dix) s écrira en base n avec deux chiffres? EXERCICE 37 (Montpellier 93) Tous les raisonnements et calculs devront être clairement explicités 1 Trouver l écriture chiffrée du nombre en base trois 2 Trouver l écriture de ce même nombre en base neuf 3 Trouver l écriture chiffrée du nombre 5 (5 (5 (5+4)+3)+2)+1 en base cinq 4 Pour écrire un nombre dans la base seize, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F Trouver l écriture chiffrée du nombre(4 3 1) ( ) en base seize EXERCICE 38 (Montpellier 94) 1 Déterminer la base a (si elle existe) dans laquelle 113 a = 21 a + 32 a 2 Déterminer la base b (si elle existe) dans laquelle 26 b + 12 b = 43 b EXERCICE 39 (Montpellier 93) On convient que ab c 6 est l écriture d un nombre en base six Par exemple, le nombre entier 103 s écrit en base six 1 Quel nombre entier est représenté par 132 6? Ce nombre est-il multiple de 6? Est-il multiple de 2? 2 Montrer que 324 6, 222 6, sont multiples de 2 Sont-ils multiples de 6? 3 Montrer que ab c 6 est multiple de 2 si c= 0 ou c= 2 ou c= 4 À quelle condition est-il multiple de 6? 4 Énoncer les théorèmes de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l écriture en base six d un nombre 5 a) Montrer que 325 6, 212 6, sont multiples de 5 b) Quel critère de divisibilité par 5 pourrait-on énoncer?[on pourra éventuellement remarquer que la base est égale à 5+1] 8