SESSION 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE. DURÉE DE L ÉPREUVE : 2 h 00. Notée sur 40. Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.
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- Marie-Laure Mathieu
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1 BREVET BLANC n 1 SESSION 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE DURÉE DE L ÉPREUVE : 2 h 00 Notée sur 40. Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4. Dès qu il vous est remis, assurez-vous qu il est complet. L utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n du 16 novembre 1999). L usage du dictionnaire n est pas autorisé. Il sera tenu compte du soin, de la présentation des résultats et de l orthographe. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Page 1 sur 4
2 Exercice 1 (5 points) 1) Calculer le PGCD de 78 et 130, en précisant la méthode employée et vos calculs. 2) Luis est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et tous ses biscuits dans des boîtes identiques. Chaque jour il peut fabriquer 78 chocolats et 130 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, le même nombre de chocolats et le même nombre de biscuits. a) Justifier que 26 est le maximum de boîtes qu'il peut obtenir. b) Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits dans chaque boîte? Exercice 2 (4 points) Pour chacune des questions suivantes, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. On ne demande pas de justification. 1) Une voiture coûtait Le vendeur a accepté de baisser le prix de 15%. Quel est le nouveau prix de cette voiture? a) b) c) d) e) ) Le nombre de diviseurs de 48 est : a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 3) Les solutions de l équation x² = 2x + 15 sont a) 5 et 3 b) 5 et 3 c) 5 et 2 d) 3 et 5 e) 3 et 5 4) Quelle est la forme factorisée de ( x + 1 ) ² 9? a ) ( x 2 ) ( x + 4 ) b ) x ² 8 c ) ( x + 2 ) ( x 4 ) d ) x ² + 2 x 8 e ) ( x 8 ) ( x + 10 ) Exercice 3 (5 points) On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. Lui ajouter 1. Calculer le carré de cette somme. Soustraire 16 au résultat obtenu. 1) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4, on obtient comme résultat 9. 2) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat obtient-on? 3) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. On appelle R ce résultat. 4) Vérifier que R est égal à (x 3)(x + 5) 5) Quels nombres peut-on choisir au départ pour que le résultat final soit égal à zéro? Justifier la réponse. Page 2 sur 4
3 Exercice 4 (3 points) Ecrire les différentes étapes de calcul. On donne : A = et B = ² ² 1) Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. 2) Calculer B et donner une écriture scientifique du résultat. Exercice 5 (5 points) Sur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur, on donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et DBC = 60. 1) Montrer que BC = 8 cm. 2) Calculer CD. Donner la valeur arrondie au mm près. 3) Calculer la valeur arrondie au degré près de BAC. 4) Construire la figure en vraie grandeur. Exercice 6 (4 points) Sur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que : SA = 5 cm ; OA = 3,8 cm ; OR = 6,84 cm ; KR = 7,2 cm. Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes : 1 ) 6,84 3,8 = 3,04 2 ) 5 6,84 3,04 = 11,25 En utilisant les calculs précédents, écrire les questions auxquelles l'élève a répondu, et rédiger précisément ses réponses. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Page 3 sur 4
4 Exercice 7 (5 points) Dans un jardin public, un bassin a la forme d un cône de révolution. La bordure de ce bassin est un cercle de rayon OC = 3 m. La hauteur [OS] du cône mesure 1,2 m. Sur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. 1) Calculer le volume V de ce bassin à 0,001 m 3 près. O O C C 2) Combien de litres d eau faudra-t-il pour remplir ce bassin? 3) Lorsque le bassin est partiellement rempli, l eau occupe un petit cône de sommet S de hauteur SO et de rayon O C. A quelle distance du point S doit-on placer le point O pour que le volume V du petit cône soit 8 fois plus petit que le volume V du grand cône? Expliquer précisément la réponse. S Exercice 8 (5 points) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m et la hauteur sous plafond est 2,80 m. Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large. Les murs et le plafond doivent être peints. L étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie : Peinture pour murs et plafond Séchage rapide Contenance : 5 litres Utilisation recommandée : 1 litre pour 4 m² 1) a) Calculer l aire du plafond. b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond? 2) a) Prouver que la surface de mur à peindre est d environ 54 m². b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs? 3) De combien de pots de peinture l entreprise doit-elle disposer pour ce chantier? Page 4 sur 4
5 Corrigé Brevet blanc 1 Exercice 1 : 1. Nous pouvons choisir entre les deux algorithmes suivants : Algorithme d'euclide : 130 = 78 x = 52 x = 26 x Donc PGCD(130;78) = PGCD(52;26) = 26 Algorithme des soustractions successives : = = = = 0 Donc PGCD(130;78) = PGCD(26;26) = a) Le nombre de boîtes doit être un diviseur du nombre de chocolats (78) et du nombre de biscuits (130) que Luis peut confectionner. Pour avoir le nombre maximal de boîtes qu'il peut obtenir, il faut trouver le PGCD de 78 et 130. D'après 1., PGCD(130 ; 78) = 26 Donc Luis peut obtenir au maximum 26 boîtes. b) On sait que Luis veut partager 78 chocolats dans 26 boîtes. 78 : 26 = 3 Dans chaque boîte, il y aura 3 chocolats. On sait que Luis veut partager 130 biscuits dans 26 boîtes. 130 : 26 = 5 Dans chaque boîte, il y aura 5 biscuits. Exercice 2 : Aucune justification n'était demandée. 1) 15% de : = Le prix de la voiture va baisser de = Le nouveau prix de la voiture est ( 1) réponse b ). 2) Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. Donc le nombre de diviseurs de 48 est : 10, ( 2) réponse e ). 3) Pour x = 5, x ² = 5² = 25 2 x + 15 = 2 x = 25 Donc 5 est une solution de l'équation x ² = 2 x + 15 Pour x = 3, x ² = 3² = 9 2 x + 15 = 2 x = 26 Donc 3 n'est pas une solution de l'équation x ² = 2 x + 15 Pour x = 3, x ² = ( 3 ) ² = 9 2 x + 15 = 2 x ( 3 ) + 15 = = 9 Donc 3 est une solution de l'équation x ² = 2 x + 15 Donc les solutions de l'équation x ² = 2 x + 15 sont 5 et 3, ( 3 ) réponse b ). 4 ) ( x + 1 ) ² 9 est de la forme : l'identité remarquable a² b² = ( a b ) ( a + b ) ( x + 1 ) ² 3² = ( x ) ( x ) = ( x 2 ) ( x + 4 ) La forme factorisée de ( x + 1 ) ² 9 est ( x 2 ) ( x + 4 ), ( 4 ) réponse a ). Exercice 3 : 1 ) On choisit 4 : ( ) ² 16 = 5² 16 = = 9 Si on choisit 4, on obtient 9. 2 ) On choisit 2 : ( ) ² 16 = ( 1 ) ² 16 = 1 16 = 15 Si on choisit 2, on obtient ) Soit x le nombre de départ. R = ( x + 1 ) ² ) ( x 3 ) ( x + 5 ) = x ² + 5 x 3 x 15 = x ² + 2 x 15 ( x + 1 ) ² 16 = x ² + 2 x = x ² + 2 x 15 Donc R = ( x 3 ) ( x + 5 ) OU : On remarque l'identité remarquable a² b² = ( a + b ) ( a b ) R = ( x + 1 ) ² 16 = ( x + 1 ) ² 4² = ( x ) ( x ) = ( x 3 ) ( x + 5 ) 5 ) Pour trouver les nombres choisis au départ qui permettent d'obtenir le résultat final zéro, il faut résoudre l'équation R = 0. Page 5 sur 4
6 ( x 3 ) ( x + 5 ) = 0 Or un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. x 3 = 0 ou x + 5 = 0 x = 3 ou x = 5 Pour obtenir le résultat final zéro, il faut choisir au départ 3 ou 5. Exercice 4 : 1) A= = = = = = = 5 30 =1 6 2) B= = = =37, =3, =3, Exercice 5 : 1) Dans le triangle rectangle BCD, nous cherchons BC (l'hypoténuse), nous connaissons DBC et DB (le côté adjacent), nous pouvons donc utiliser la trigonométrie. cos ( DBC ) = DB BC DB BC = cos ( DBC) = 4 cos ( 60 ) = 8 Donc, BC = 8 cm. 2) Dans la triangle BCD rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore : BC² = DB ² + CD² donc CD² = BC² DB² = 8² 4² = = 48 donc CD = 48 6, 928 La valeur arrondie au mm près de CD est 6,9 cm. 3) Dans le triangle ABC rectangle en B, nous cherchons BAC, nous connaissons AB (côté adjacent) et BC (côté opposé), nous pouvons donc utiliser la trigonométrie. tan ( BAC) = CB BA = 8 6 donc BAC = arctan ( 8 6 ) 53,13 Donc, la valeur arrondie au degré près de BAC est 53. Exercice 6 Question n 1 : Calculer la longueur AR. Réponse n 1 : AR = OR OA donc AR = 6,84 3,8 = 3,04 cm Question n 2 : Calculer la longueur OK. Réponse n 2 : Dans le triangle ROK, les droites (SA) et (OK) sont parallèles, je peux donc utiliser le théorème de Thalès : RA RO = RS RK = AS 3,04 et en particulier OK 6,84 = 5 OK donc OK = 5 6,84 3,04 = 11,25 cm. Exercice 7 1) L'aire du disque de base est π x R 2 = π x 3 2 = 9 π m² Le volume du cône est l'aire du disque de base multiplié par la hauteur divisé par 3: V = 9 π 1,2 11,310 m 3 3 Page 6 sur 4
7 2) Comme 1 m 3 = L, il faudra L pour remplir ce bassin. 3) On veut que le volume du petit cône soit 8 fois plus petit que celui du grand cône. Or lorsque les longueurs sont multipliées par k alors les volumes sont multipliés par k 3. Comme 8 = 2 3, les dimensions du petit cône doivent être 2 fois plus petites que celles du grand cône. Donc SO' = SO : 2 = 0,6 m. Il faut placer O' à 0,6 m du point S pour que le volume du petit cône soit 8 fois plus petit que celui du grand cône. Exercice 8 1) a) L'aire du plafond est celle d'un rectangle de longueur 6,40 m et de largeur 5,20 m. L'aire du plafond est donc 6,4 x 5,2 = 33,28 m². b) 1 L 4 m²? 33,28 m²? = 1 x 33,28 : 4 = 8,32 L Pour peindre le plafond, il faut 8,32 L de peinture. 2) a) Il y a 2 murs rectangulaires de dimensions 5,20 m sur 2,80 m et 2 murs rectangulaires de dimensions 6,40 m sur 2,80 m. L'aire des 4 murs est 2 x (5,2 x 2,8 + 6,4 x 2,8) = 2 x (14, ,92) = 2 x 32,48 = 64,96 m². Or il faut enlever l'aire de la porte ( 2 x 0,80 = 1,60 m²) et l'aire des 3 baies vitrés (chaque baie vitrée a pour aire 2 x1,6 = 3,20 m²). La surface de mur à peindre est 64,96 (1, x 3,20) = 64,96 11,20 = 53,76 m². Cela représente bien environ 54 m². b) 1 L 4 m²? 54 m²? = 1 x 54 : 4 = 13,5 L Pour peindre le plafond, il faut environ 13,5 L de peinture. 3) Il faut au total 13,5 + 8,32 = 21,82 L de peinture environ. 1 pot 5 L? 21,82 L? = 1 x 21,82 : 5 = 4,364. L'entreprise doit donc disposer de 5 pots de peinture pour ce chantier. Page 7 sur 4
PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
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