Mathématiques financières

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1 Il existe deux types d'intérêts. Mathématiques financières 1 er cas : les intérêts simples ; ils ne génèrent pas d'intérêts au cours du temps :ils ne se capitalisent pas. Les formules fondées sur ce type d'intérêts sont réservées à des opérations financières à court terme (moins d'un an). 2 nd cas : les intérêts composés ; ils génèrent des intérêts : ils se capitalisent. Les formules basées sur ce type d'intérêts sont réservées à des opérations financières à moyen-long terme (plus d'un an). Document rédigé par Vivien Taillandier 1/11

2 I. Le calcul des intérêts simples A. La formule Chapitre 1 : les intérêts simples Les intérêts acquis correspondent à la multiplication du capital versé par le taux d'intérêt et la durée du dépôt. I =C i n I : C : n : i : intérêts acquis capital durée (années) taux d'intérêt L'année financière est égale à 360 jours on ne raisonne toutefois pas sur une base de 12 mois de 30 jours. La durée à prendre en compte est le nombre de jours à partir du jour du placement exclus jusqu'à son échéance. B. Une application numérique On place un capital de sur un compte avec un taux d'intérêt de 9% par an, du 5 octobre au 24 novembre. I = I = II. La valeur acquise par un capital à intérêts simples A. La cas de l'intérêt simple postcompté La valeur acquise correspond à la somme du capital initialement placé et des intérêts générés sur la durée du placement. = I = 1 i n : Valeur acquise de départ : Valeur acquise à la période n B. Le cas de l'intérêt simple précompté Le prêteur prélève l'intérêt dès le jour de la transaction du prêt : on raisonne non avec le capital, mais avec la valeur acquise. = I 1 t n 1 i n =1 t n 1 1 i n 1 i n =t n t= i 1 i n t : taux réel La valeur acquise se calcule par rapport au capital effectivement versé et non celui espéré. Document rédigé par Vivien Taillandier 2/11

3 III. La valeur actuelle d'un capital à intérêt simple Il s'agit de connaître la valeur d'un capital pour une somme à rembourser : la côte d'une action d'une société en bourse... = 1 i n IV. La notion de taux équivalents en intérêts simples Deux taux sont équivalents en intérêts simples lorsqu'ils sont proportionnels aux durées des périodes auxquels ils correspondent. i t = i t Tous ces taux sont équivalents en intérêts simples Un taux annuel de 12 % Un taux semestriel de 6 % Un taux trimestriel de 3 % Un taux mensuel de 1 % Document rédigé par Vivien Taillandier 3/11

4 I. Le principe de l'escompte Chapitre 2 : l'escompte des effets de commerce 1 er point : définition ; un effet de commerce (ou traite) est un moyen de règlement d'une dette par lequel un fournisseur (tireur), tire un effet sur son client (tiré), qui accepte de régler sa dette au fournisseur à une date précise et déterminée à l'avance : l'échéance. 2 nd point : rôle de l'escompte ; le fournisseur peut décider, pour des raisons de trésorerie d'escompter cet effet auprès d'une banque cette dernière lui verse alors la valeur nominale inscrite sur l'effet, diminuée d'un intérêt appelé l'escompte, ainsi que de diverses commissions. II. Le calcul de l'escompte Il est une transposition de la formule de calcul des intérêts simples. L'établissement financier prélève un escompte par rapport à la valeur de l'effet, sur une période allant de la remise de l'effet à l'escompte jusqu'à sa date d'échéance. E=V N t n E : V N t : n : montant de l'escompte : valeur nominale de l'effet escompté taux de l'escompte durée de l'escompte Le taux est négociable car non fixé par décret. Le taux dépend essentiellement du volume et de la fréquence des opérations d'escompte effectuées par l'entreprise. La durée de l'escompte peut être majorée par un certain nombre de jours de banque. L'escompte est un intérêt non soumis à la TVA. III. Le calcul de l'agio global prélevé L'établissement de crédit prélève un certain nombre de commissions, qui forment un agio global. A=E c A : c : agio global commissions La commission d'endos se calcule sur les mêmes bases que l'escompte et son taux est en général de 0,60 % - elle s'apparente à un intérêt. Les commissions uniquement proportionnelles à la valeur nominale de l'effet ne tiennent pas compte de la durée de l'escompte elles s'apparentent à des intérêts. Les commissions fixes ne sont proportionnelles à aucun élément elles s'apparentent à des commissions de service soumises à TVA. IV. Les notions de valeur escomptée et de valeur actuelle commerciale La valeur escomptée est la valeur nette de l'opération pour le fournisseur. La valeur actuelle commerciale est la différence entre la valeur nominale de l'effet et l'escompte. V Escomptée =V N A TTC V Actuelle Commerciale =E Document rédigé par Vivien Taillandier 4/11

5 V. Le calcul du taux réel de l'opération d'escompte Pour calculer le taux réel, il faut prendre en compte le taux d'escompte (taux nominal), le montant des agios HT (la TVA peut être récupérée ultérieurement) et le nombre réel de jours de l'escompte (exclusion faite des jours de banque. A HT t Réel = V N n Réel Document rédigé par Vivien Taillandier 5/11

6 Chapitre 3 : les intérêts composés et équivalences de capitaux Les intérêts s'ajoutent périodiquement au capital et produisent à leur tour des intérêts : c'est la capitalisation des intérêts. I. La valeur acquise d'un capital placé à intérêts composés = 1 i n n : nombre d'annuités Le terme annuité est générique il peut recouvrir les notions d'annualités, de semestrialités, de trimestrialités, de mensualités... II. Les intérêts global et périodique en intérêts composés A. La formule I = I = 1 i n I = [ 1 i n 1] B. Une application numérique On place un capital de sur un compte à 11 % par an. Calculer la valeur acquise au bout de 8 ans. V 8 = =46090,76 Calculer l'intérêt généré lors de la 5 ème année. I 5 = =3339,75 III. Les taux équivalents en intérêts composés Deux capitaux égaux placés à intérêts composés sur la même durée, mais en considérant des périodes de capitalisation différentes, acquièrent la même valeur à l'issue de chaque annuité si les taux de placement sont équivalents. = 1 i n = 1 i t t n 1 i n = 1 i t t n 1 i = 1 i t t 1 i t = 1 i t 1 IV. La valeur actuelle en intérêts composés = 1 i n Document rédigé par Vivien Taillandier 6/11

7 V. Les capitaux équivalents à intérêts composés Deux capitaux sont considérés comme étant équivalents si à un moment donné et pour un taux d'intérêt donné, leurs valeurs actuelles ou acquises sont égales. Pour un taux de 10 %, il est équivalent de percevoir en un an ou en 3 ans. Ce principe est utilisé dans la renégociassions de dettes et créances Document rédigé par Vivien Taillandier 7/11

8 Chapitre 4 : l'étude des annuités Les annuités constituent une suite de versements et de flux financiers séparés par des intervalles de temps égaux. Une suite d'annuités se caractérise par plusieurs éléments : Le montant de chaque annuité : a 1, a 2... a n Le nombre d'annuités La durée des annuités La date de la première annuité I. Le principe On suppose que les annuités versées en fin de période sont constantes. A. La valeur acquise d'une suite d'annuités constantes =a a 1 i a 1 i 2... a 1 i n n = a 1 i p p=1 =a 1 i n 1 1 i 1 =a 1 i n 1 i B. La valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes V a = 1 i n V a =a 1 i n 1 i 1 i n V a =a 1 1 i n i a= V a i 1 1 i n Il convient d'adapter les formules ci-dessus dès lors que l'on s'éloigne du schéma de référence. II. Des applications numériques A. Exemple n 1 Le taux de placement de 10 % - on décide de placer chaque année sur un compte portant intérêts composés durant 5 ans. De l'époque 5 à l'époque 8, aucun versement n'est constaté. Quelle sera la valeur de retrait sur ce compte à l'époque 8? Quelle est la valeur du capital équivalent en 0 à l'ensemble de ces versements? V 8 = 1000 [ 1 0,1 6 1] 1 0,1 3 =10 269,48 0,1 Document rédigé par Vivien Taillandier 8/11

9 B. Exemple n 2 =V 5 1 0,1 5 =V 8 1 0,1 8 = , ,1 =4790,79 Divers versements de ont été effectués à compter de l'époque 1. Le taux d'intérêt est de 10 % sur les 4 premières années, et de 12 % sur les 3 dernières. V 7 = 5000 [ 1 0,1 4 1] 0,1 1 0, [ 1 0,12 3 1] =49 473,35 0,12 Document rédigé par Vivien Taillandier 9/11

10 Chapitre 5 : les emprunts indivis I. Les généralités Une personne physique ou morale emprunte un capital C 0, au taux i sur une durée n. Pour se libérer de cette dette, cette personne va habituellement verser périodiquement une annuité composée d'une part de l'intérêt dû sur la période et d'autre part, d'une partie du capital emprunté, l'amortissement. a p =I p A p A p dépend du mode d'amortissement adopté. II. Le remboursement de l'emprunt par annuités constantes A. Le principe Le rythme d'amortissement est fixé de telle sorte que les annuités demeurent constantes au cours du temps. a 1 =a 2 =...=a n C 0 =a 1 1 i n i B. Une application numérique Un emprunt de est contracté au taux de 10 % sur une durée de 4 ans, remboursable par 4 annuités constantes (de fin de période) ,1 a= 1 1 0,1 4 =63094,16 Capital restant dû Intérêt Amortissement Annuité , , , , , , , , , , , , , ,16 Les amortissements progressent selon une progression géométrique : A n = A y 1 i x y III. Le remboursement de l'emprunt par amortissements constants A. Le principe Chaque annuité comprend une part constante d'amortissement. A 1 = A 2 =...=A n =A= C 0 n Document rédigé par Vivien Taillandier 10/11

11 B. Une application numérique On reprend les données du problème précédent. Période Capital restant dû Intérêt Amortissement Annuité Les modes présentés sont équivalents le choix de l'un d'eux est lié à la gestion de trésorerie. Document rédigé par Vivien Taillandier 11/11