Mécanique des milieux continus solides et fluides

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1 Mécanique des milieux continus solides et fluides Séance 2 Emmanuel Plaut, Sébastien Allain, Lucile Dézerald, Mathieu Jenny, Matthieu Gisselbrecht & Jean-Sébastien Kroll 1 Retour sur l analyse tensorielle (cartésienne) 2 Notions sur les symétries des systèmes Principe de Curie, illustration sur un exemple 3 Analyse tensorielle en coordonnées cylindriques Illustration sur le même exemple 4 Questions

2 Analyse tensorielle : gradient Champ tensoriel T 0 d ordre 0 : application de Ω ouvert de l espace physique T 1 dans T 0 = R, x Ω, T 0 (x) T 0. Champ tensoriel T n d ordre n 1 : application de Ω ouvert de l espace physique T 1 dans T n, x Ω, T n (x) application linéaire T 1 T n 1 h T n (x) h. Gradient : T n champ tensoriel d ordre n+1 tq x Ω, T n (x) application linéaire T 1 T n dx T n (x) dx = dt n (x), dt n (x) étant T n (x+dx) T n (x) linéarisé pour dx infinitésimal. NB : souvent on note, au lieu de T n (x), x T n voire T n.

3 Gradient d un champ vectoriel Au point x, u application linéaire dx u dx = du = u(x+dx) u(x) linéarisé. δu = u(x+dx) u(x) du dx 2 dx 1

4 Décomposition du gradient en parties symétrique + antisymétrique du = u dx = ǫ dx }{{} déformation + Ω dx }{{} rotation = + ǫ = 1 ( u + u T) 2 Ω = 1 ( u u T), Ω dx = Ω dx 2 ( ) avec Ω = vd Ω = 1 2 ǫ : Ω = 1 2 ǫ : u = 1 2 rot(u)

5 Divergence d un champ vectoriel- Formule intégrale divu = u : 1 = tr u = u i x i divu d 3 x = u n d 2 S (en 3D) Ω Ω divu d 2 S = u n dl (en 2D) S S interprétation Φ, cas d un champ u = λ 1 x 1 e 1 + λ 2 x 2 e 2 : (λ 1,λ 2) = (1,1), (1, 1 ), 2 (1, 1), ( 1, 1) 2 x 2 x 1 divu > 0 divu < 0 u divergent u convergent!

6 Divergence d un champ tensoriel d ordre 2 div T = T : 1 = T ij x j e i Formule intégrale de la divergence div T d 3 x = Ω Ω T n d 2 S Interprétation Φ : cas T symétrique, cf. l ex. 2.7 : ) e i div T = div (T e i donc mesure si T e i diverge ou converge...

7 Laplacien d un champ scalaire mesure si ρ diverge ou converge... ρ = div ρ = 2 ρ x i x i Laplacien d un champ tensoriel d ordre 1 u = div u = 2 u i x j x j e i = u i e i

8 Systèmes symétriques : principe de Curie (1894)......ces éléments de symétrie se retrouvant déjà dans la forme du domaine occupé par le milieu... En mécanique des milieux continus Milieu Causes Effet Solide Champs de forces volumiques d 3 f Champ de déplacement u(x,t) Fluide ou surfaciques d 2 f Champ de vitesse v(x,t)

9 Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique Vue 3D : [ Benbelkacem & Skali-Lami Lemta ]

10 Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique Vue de dessus : Cause : Effet : v(x,t) = dx dt

11 Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique Vue de dessus : Cause : densité de forces surfaciques T = d2 f d 2 S = τe θ avec τ constante > 0 Effet : v(x,t) = dx dt

12 Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique Vue de dessus : Cause : densité de forces surfaciques T = d2 f d 2 S = τe θ avec τ constante > 0 Effet : champ de vitesse simplifié avec le principe de Curie v(x,t) = dx dt = v(x) = v(r,θ) = U(r,θ)e r +V(r,θ)e θ = U(r)e r +V(r)e θ

13 Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique analyse tensorielle en coordonnées cylindriques, cf. le pb. 2.2 = v(x,t) = U(r) e r +V(r)e θ L étude mécanique nécessite le calcul de z e z v divv M 01 e θ e r v x O θ r y

14 Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique analyse tensorielle en coordonnées cylindriques, cf. le pb. 2.2 En fait v(x,t) = V(r)e θ v v i x j e i e j avec i,j {r,θ,z} serait INHD! z M e z 01 e θ e r La formule cartésienne ne se généralise pas à des coord. cylindriques! v = dv dr e θ e r V r e r e θ x O θ r y

15 Programme du TD Exercices d analyse tensorielle cartésienne 2.6 et 2.8 Problème d analyse tensorielle cylindrique 2.1 Aspects mathématiques de l étude d un tuyau sous pression Par linéarité, on se ramène à : Configuration de référence : Configuration actuelle : p int = 1 bar p int = 155 bars p ext = 1 bar p ext = 1 bar

16 Programme du TD Exercices d analyse tensorielle cartésienne 2.6 et 2.8 Problème d analyse tensorielle cylindrique 2.1 Aspects mathématiques de l étude d un tuyau sous pression Par linéarité, on se ramène à : Configuration de référence : Configuration actuelle : p int = 0 bar p int = 154 bars p ext = 0 bar p ext = 0 bar

17 Programme du TD Exercices d analyse tensorielle cartésienne 2.6 et 2.8 Problème d analyse tensorielle cylindrique 2.1 Aspects mathématiques de l étude d un tuyau sous pression Rappel : équipe pédagogique pour le TD : Chargé(e) de TD Labo. Spécialité Groupe(s) Salle L. Dézerald IJL Méca. et Φ des solides XM1 & YM1 B301 M. Jenny Lemta Méca. et Φ des fluides XM2 & YM2 B304 S. Allain IJL Méca. et Φ des solides XM3 & YM3 B305 M. Gisselbrecht IJL Méca. des fluides multiphasiques XM4 & YM4 B306 J.-S. Kroll IJL Méca. des fluides multiphasiques XM5 B Questions?