L3 - Biologie générale Mathématiques TD n 0 3 : Division euclidienne - Congruence

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1 L3 - Biologie générale Mathématiques TD n 0 3 : Division euclidienne - Congruence 1 1 Division euclidienne - Divisibilité Exercice 1.1. [Rennes 2003] Quel est le 125ème chiffre après la virgule du développement décimal de 22 7? A - 5 B - 4 C - 6 D - 8 E - 7 Exercice 1.2. [Rennes 2005] Il s agit de rechercher le centième chiffre après la virgule de la valeur approchée à près par excès de 67. Parmi les propositions suivantes, laquelle (lesquelles) est-elle (sont-elles) exactes? 7 A - On ne peut pas savoir B - C est le chiffre 1 C -C est le chiffre 2 D - Ce n est pas le chiffre 3 E - C est le chiffre 4 Exercice 1.3. [Rennes 1998] On divise 3242 par 99. Quel est le vingtième chiffre après la virgule? A - ce chiffre sera 3 B - ce chiffre sera 4 C - ce chiffre sera 5 D - ce chiffre sera 6 E - ce chiffre sera 7 Exercice 1.4. [Aquitaine 2003] On compte de 37 en 37 à partir de 79, ce qui amène à considérer la suite : 79, 116, 153,..., n ( n désignant un nombre entier). Quelles sont les propositions vraies? (3 réponses correctes) A - Le 6ème nombre de la suite est 264 B - Le 100ème nombre de la suite est 3779 C est un nombre de la suite D - Dans cette suite, il n y a pas de nombre se terminant par 2 E - si x et y sont deux nombres de cette suite (x < y), la différence y x est un multiple de 37 Exercice 1.5. [Orléans-Tours 2002] Soit n un diviseur de un million. On sait que n n est ni un multiple de 25 ni un multiple de 64. Que peut-on en conclure? A - n est nécessairement un multiple de 10 B - n est nécessairement un multiple de 2 C - n est nécessairement un multiple de 5 D - il est possible que n égale 80 Exercice 1.6. [Aquitaine 2003] Au réfectoire (qui comporte 296 places), les élèves remplissent les tables de 8 personnes au fur et à mesure qu ils se présentent. Au premier service, 245 élèves sont déjà installés lorsque Nathalie et ses trois amies entrent dans le réfectoire. Déterminer les 2 réponses correctes. A - Nathalie et ses amies mangeront à des tables séparées. B - Nathalie et ses amies mangeront à la même table. C - Il reste 6 tables entièrement vides après l installation de Nathalie et ses amies D - Il reste 5 tables entièrement vides après l installation de Nathalie et ses amies E - Il reste 7 tables entièrement vides après l installation de Nathalie et ses amies

2 2 Exercice 1.7. [Limousin 2004] Sachant que le reste dans la division euclidienne d un entier naturel n par 7 est 6, quelle est ou quelles sont les affirmations fausses? A - le reste dans la division euclidienne du suivant de n par 7 est 0. B - le reste dans la division euclidienne du précédent de n par 7 est 5. C - le reste dans la division euclidienne du double de n par 7 est 12 D - le reste dans la division euclidienne du carré de n par 7 est 6 E - le reste dans la division euclidienne de (n+8) par 7 est 0 Exercice 1.8. [Annales] En effectuant la division euclidienne de a par 13, on trouve un quotient égal au reste. La plus grande valeur possible pour a est : A B C D Exercice 1.9. [Orléans-Tours 2001] Dans la division euclidienne d un nombre par 7 le quotient est égal au reste. Laquelle des affirmations suivantes est exacte? A - il existe une infinité de dividendes possibles B - il est impossible qu un quotient soit égal au reste C - il y a sept dividendes possibles D - il manque des informations pour savoir combien de dividendes sont possibles Exercice [Lyon 2002] Laquelle (lesquelles) de ces phrases est (sont) vraie(s)? Pour tous les entiers naturels a, b, c tels que a est divisible par c et b est divisible par c : A - a b est divisible par 2c. B - a + b est divisible par 2c. C - a b est divisible par c. D - a b est divisible par c 2. E - a est divisible par b. Exercice [Limousin 2003] Parmi les propositions suivantes, quelle est ou quelles sont celles qui sont vraies? A - Si un nombre entier est multiple de 423, alors il est multiple de 3. B - Si un nombre entier est multiple de 6 et de 8, il est multiple de 48. C - Si un nombre entier est divisible par 3 et par 6, alors il est divisible par 18 D - Si un nombre entier est multiple de 7 et de 9, alors il est impair. E -Le produit de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3. Exercice [Rennes 1996] Les 5 bandits ont emporté tous les lingots d or de la banque! Ils prévoient de se partager équitablement les lingots. Il en restera 3 qu ils attribueront à leur chauffeur. Après une course poursuite, ils ne sont que 3 à échapper à la police en compagnie du chauffeur. Ils font alors le partage équitable entre eux trois, et le chauffeur reçoit 4 lingots. Le livre de compte de la banque a été abîmé dans l attaque, et le caissier ne peut pas savoir s il y avait 18, 23, 43, ou 53 lingots. Il y avait : A - 18 lingots B - 23 lingots C - 43 lingots D - 53 lingots

3 Exercice vraies)? 3 [Loire 2004] Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ( ou lesquelles sont A - Le quotient de la division de 2004 par 89 est 22 B - Le quotient de la division de 2004 par 22 est 89 C - Le reste de la division de 2004 par par 22 est 46 D - Dans la division de 2004 par 89, le quotient est 22 et le reste 46 Exercice [Terracher] Soient a et b deux entiers naturels. Montrer que a n b n est divisible par a b. En déduire que, pour tout n, 1998 n 1789 n est divisible par 11 et 19. Exercice [Rennes 1996] Dans une division euclidienne, les données sont le dividende D et le diviseur d. Les résultats sont le quotient q et le reste r. On a D = q d + r et 0 r < d. Voici les résultats de quelques divisions : dividende diviseur quotient reste On cherche le quotient et le reste quand le dividende est et le diviseur 995. A - q = et r = B - q = et r = 125 C - q = et r = 135 D - q = et r = Congruence Exercice 2.1. Partiel mars 2001 Donner les restes de la division euclidienne par 11 des puissances de 8, dans un tableau comme le suivant, c est-à-dire calculer modulo 11 : En déduire le reste de la division de par 11. Que peut-on dire de la divisibilité de par 11? Exercice 2.2. Examen juin 2002 Calculer modulo 7, c est-à-dire donner le reste de la division euclidienne par 7 de Exercice 2.3. Examen Juin Dans l écriture décimale des nombres, 1. donner le chiffre des unités de donner les deux derniers chiffres de Exercice 2.4. [Aquitaine 2004] Quel est le dernier chiffre de l écriture décimale du nombre A - 0 B - 2 C - 4 D - 6 E - 8 Exercice 2.5. [Rennes 2001] Le chiffre des unités de est : A - 1 B - 3 C - 5 D - 7 E - 9 Exercice 2.6. [Rennes 1999] Les derniers chiffres de sont donc : 3 20 = A B C D E ( ) 8 1? 5

4 Exercice 2.7. [Rennes 1998] Quel est le dernier chiffre dans l écriture décimale de 2 46? 4 A - 2 B - 4 C - 6 D -8 E - 0 Exercice 2.8. [Rennes 1998] Je pense à trois nombres entiers a, b, c. Si on les ajoute deux à deux, on trouve 38, 44, 52. Quel est le chiffre des unités du plus petit des trois nombres a, b, c? A - le chiffre est 2 B - le chiffre est 3 C - le chiffre est 5 D - le chiffre est 6 E - le chiffre est 8 Exercice 2.9. [Terracher] Problème de calendrier On considère le calendrier grégorien valable à partir du 10 avril 1585 jusqu en l an Dans ce système les années séculaires ne sont bissextiles que lorsque le millésime est multiple de 400. Le premier janvier 1998 est un jeudi. A quel jour de la semaine correspondent les dates suivantes : le 11 novembre 1918 le 8 mai 1945 le premier janvier 2050 votre jour de naissance Exercice [Rennes 2001] Le numéro INSEE attribué à tout résident français comporte 13 chiffres. La clé de contrôle est un nombre entier compris entre 0 et 96 inclus, calculé de façon à ce que deux numéros n aient la même clé que s ils ont le même reste dans la division par 97. Le numéro de Monsieur Durand est Monsieur Durand ne se souvient pas de son numéro. Voici cinq numéros erronés qu il a fournis à diverses occasions. Le(s)quel(s) n a(n ont) pas pu être détecté(s) grâce à la clé de contrôle? A : B : C : D : E : Numération Exercice 3.1. [Rennes 2000] Combien y a-t-il de nombres dont tous les chiffres soient différents entre 700 et 3000? A B C D E Exercice 3.2. [Aquitaine 2003] On écrit la suite de nombres entiers de 43 à 77, 43 et 77 compris. Quelles sont les affirmations vraies? (2 réponses correctes) A : Dans cette suite le chiffre 5 apparaît 4 fois. B : Dans cette suite le chiffre 9 apparaît 3 fois. C : Dans cette suite le chiffre 7 apparaît 11 fois. D : Dans cette suite le chiffre 4 apparaît 11 fois. E : Cette suite comporte 34 nombres

5 5 Exercice 3.3. [Aquitaine 2003] N est un nombre entier positif à deux chiffres se terminant par 5. On note d le chiffre des dizaines. Déterminer les propositions correctes. (3 réponses correctes) A - N peut s écrire 10d + 5 B - Le nombre N 2 est un multiple de 25 C - Le nombre de centaines de N 2 est d 2 D - Le nombre de centaines de N 2 est d(d + 1) E - Le chiffre des dizaines de N 2 n est jamais égal au chiffre des dizaines de N Exercice 3.4. [Loire 2001] Parmi les affirmations suivantes, quelle est celle ou quelles sont celles qui sont vraies? A - Si un nombre est multiple de 36, il est multiple de 12 B - Tout diviseur de 495 est diviseur de 400 et 95 C - Si un nombre est divisible par 6 et par 9 simultanément, il est divisible par 54 D - Si un nombre est divisible par 9, la somme de ses chiffres est divisible par 9 E - Certains multiples de 18 sont multiples de 54. Exercice 3.5. [Aquitaine 2003] On considère le nombre Lorsqu on fait la somme des chiffres composant l écriture usuelle de ce nombre, on obtient (1 réponse correcte) : A - 82 B - 19 C - 73 D - 74 E - 20 Exercice 3.6. [Rennes 2004] On nomme factorielle 100, que l on note 100!, le produit des 100 premiers entiers positifs, c est-à-dire Si l on effectuait ce produit, par combien de zéros se terminerait-il? A B - 24 C D - 46 E - 20 Exercice 3.7. [Orléans-Tours 2002] Quand on calcule , on trouve 11; quand on calcule , on trouve et quand on calcule , on trouve Que trouve-t-on quand on calcule ,? A B C D Exercice 3.8. [Orléans-Tours 2003] On nomme α l écriture, en numération décimale, du plus petit nombre à 17 chiffres dont la somme des chiffres est 17. Laquelle des affirmations suivantes est vraie? A - α ne contient pas le chiffre 9 B - Il faut que α se termine par 0 C - α contient 17 fois le chiffre 1 D - α contient 14 fois le chiffre 0 Exercice 3.9. [Limousin 2001] Combien y a-t-il de nombres entiers de 3 chiffres dont la somme des chiffres est égale à 3? A - 7 B - 3 C - 4 D - 6 E - 5 Exercice [Annales] On considère deux nombres entiers à trois chiffres, tels que les chiffres figurant dans l écriture de l un figurent également dans l écriture de l autre. Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont vraies? A : si leur différence est un multiple de 9, alors l un deux est un multiple de 9, B : si l un des deux nombres est un multiple de 9, alors leur différence est un multiple de 9, C : leur différence est un multiple de 9, D : on ne peut pas savoir si leur différence est un multiple de 9, cela dépend des nombres considérés, E : si l un des deux nombres est un multiple de 6, alors leur différence est un multiple de 6.

6 6 Exercice [Rennes 1998] Combien y a-t-il de nombres divisibles par 3 entre 1000 et 3000 qui s écrivent en n utilisant que des chiffres parmi 0, 2, 4? A - 6 B - 7 C - 8 D - 9 E - 10 Exercice [Aquitaine 2003] On considère le nombre P = L écriture usuelle de P se termine par : A B C D E Exercice [Dijon 2003] Pour que le nombre de 4 chiffres X3Y 6 écrit en base dix soit divisible par 4 et par 9, A : Y peut prendre exactement quatre valeurs. B : Pour Y = 1, X peut prendre les valeurs 8 et 4. C : 4356 est une solution D : Il y a 5 solutions E : Chacune des propositions précédentes est fausses Exercice [Terracher] Soit x un entier dont l écriture en base 10 est 1. Si d est un diviseur de 1000, établir que x = a n... a 2 a 1 a 0. x = a 2 a 1 a 0 mod d 2. En déduire un critère de divisibilité par 8 et par 125. Exercice [Aquitaine 2004] On cherche à identifier le nombre décimal N, connaissant les informations suivantes : la partie décimale de N comporte trois chiffres le nombre de dixièmes de N est le triple de son chiffre des centièmes le chiffre des millièmes de N est le double de son chiffre des unités le chiffre des centièmes de N est le double de son chiffre des dixièmes On peut affirmer que : (une réponse correcte ) A - N=2,794 B - N=2,484 C - N=27,94 D - N= 2,795 E - N= 2,483 Exercice [Rennes 2000] Le budget annuel de la France est de d environ 1500 milliards de francs. Pour apprécier l ordre de grandeur de ce nombre, il y a 1500 millards de secondes, correspond à une date située en : A ? B ? C - environ 850? D - environ ans avant J.C.? E - environ ans avant J.C.? Exercice [Rennes 2000] Entre 1 3 et 4, combien y a-t-il de fractions dont le dénominateur soit plus 5 9 petit que 9? Attention on ne compte qu une fois les fractions qui désignent le même nombre (ex. 6 et 3 2 ). A - 10 B - 8 C - 14 D - 9 E - 11

7 7 Exercice [Bes] Si la somme d un nombre à deux chiffres et d un nombre à trois chiffres est un nombre à quatre chiffres, lesquelles des conclusions suivantes peut-on tirer? (lecture de gauche à droite) A - Le premier chiffre du nombre à deux chiffres est 9 B - Le premier chiffre de la somme est 1 C - Le premier chiffre de chacun des nombres additionnés est supérieur à 5 D - Le premier chiffre du nombre à trois chiffres est 9 E - Rien de ce qui précède Exercice [Aquitaine 2003] Dans les opérations suivantes, certains chiffres ont été remplacés par des étoiles. Indiquer quelle est l opération incorrecte : 9 * 1 9 * 7 * 2 5 * 9 + * * A : B : C : 9 * * 7 * * 5 5 * * * 8 D : E : 4 * * 2 1 * 0 3 Exercice [Orléans-Tours 2002] Dans la division ci-dessous, la soustraction n est pas effectuée mentalement mais posée; en outre, six chiffres ont été remplacés par une étoile. Parmi les chiffres suivants, lequel n apparaît pas dans la division reconstituée? A - 3 B - 5 C - 6 D * 7 I * 7 I - * 7 * I 7 I * 7 * I Exercice [Terracher] Vérifier que les entiers suivants sont multiples de 37 : les nombres de trois chiffres identiques, les nombres de six chiffres identiques, les nombres écrits en juxtaposant trois fois deux chiffres donnés (comme ) Expliquer cela. Exercice [Terracher] a) Prendre un nombre de trois chiffres ( par exemple 351), le dupliquer (on obtient ). Diviser le résultat par 7, puis le résultat par 11, puis par 13. Quel est le quotient final? b) Expliquer ce phénomène. 4 Principe des tiroirs Exercice 4.1. [CNED] On a l énoncé du principe de Dirichlet : Si plus de n objets sont répartis dans n tiroirs, alors un tiroir, au moins, contiendra plus d un objet Ce principe évident s applique à beaucoup de problèmes et permet de leur donner une solution. a) Jean écrit 12 nombres entiers quelconques. Montrer que, parmi ces nombres, on peut en choisir deux, tels que leur différence soit un multiple de 11. Exemple : on peut vérifier que, si les nombres sont 2, 4, 8, 10, 22, 24, 34, 44, 54, 67, 70, 90 alors les deux nombres 24 et 2 vérifient 24-2 = 22, et les deux nombres 70 et 4 vérifient 70-4 = 66

8 8 b) Montrer que, pour tout nombre entier n, il existe un multiple qui s écrit seulement avec des 1 et des 0 en écriture décimale. Exemple : si le nombre entier est 13 ou 14, on peut vérifier que 13 x 8547 = et 14 x = c) Montrer que parmi les puissances de 2, on peut en trouver deux dont la différence est divisible par d) Sophie dit que, parmi 10 nombres entiers quelconques, a 1, a 2,..., a 10, elle peut choisir des nombres tels que leur somme soit divisible par 10. Michel dit que ce n est pas vrai. Qui a raison? Exercice 4.2. [Terracher] a) Expérience : Prendre 6 entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à 10 et vérifier qu il en existe toujours 2 tels que l un divise l autre. Recommencer avec 9 entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à 16. b) Problème : Soient n + 1 entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à 2n. Peut-on toujours en trouver 2 tels que l un divise l autre? Soient a 1, a 2,..., a n+1, les n + 1 nombres non nuls inférieurs ou égaux à 2n. Montrer que l on peut écrire a 1 = 2 m1 q 1, a 2 = 2 m2 q 2,..., a n+1 = 2 mn+1 q n+1, où m 1, m 2,..., m n+1 sont des entiers positifs ou nuls et q 1, q 2,..., q n+1 sont des nombres impairs inférieurs à 2n. Combien y a-t-il de nombres impairs inférieurs à 2n? En appliquant le principe des tiroirs, montrer qu il existe deux nombres égaux parmi q 1, q 2,..., q n+1. Conclure.