Cours Proportionnalité 6 ème

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1 I- Définitions et exemples : 1) Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si l on peut passer des valeurs de l une à celles de l autre en multipliant ou en divisant toujours par le même nombre non nul. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. 2) Exemples : Le prix d un sachet de tomates est proportionnel à la masse de tomates achetée. Le coefficient de proportionnalité est le prix au kilogramme. Prix (en ) = Prix au kg (en /kg) Masse (en kg) La taille d une personne n est pas proportionnelle à son âge. Par exemple, deux personnes du même âge n ont pas forcément la même taille. II- Tableau de proportionnalité? 1) Généralités : Lorsque l on a des données chiffrées concernant deux grandeurs, on peut les classer dans un tableau. Si les deux grandeurs sont proportionnelles, on dit qu on a un tableau de proportionnalité. : coefficient de proportionnalité Grandeur A (en ) Grandeur B (en ) coefficient de proportionnalité

2 2) Calcul du coefficient de proportionnalité : a- Généralités : On donne : Grandeur A (en ) a 1 a 2 a n Grandeur B (en ) b 1 b 2 b n? En regardant la première colonne : Le coefficient de proportionnalité complète la multiplication à trous : a 1 x? = b 1 C est donc le nombre (ou b 1 : a 1 si le quotient est décimal). On peut faire le même raisonnement avec toutes les colonnes. Le coefficient de proportionnalité est l un des quotients. b- Exemple : On donne : Masse de tomates (en kg) 3 2 5,200 2,100 Prix (en ) 4,50 3 7,80 3,15 Grâce à la 1 ère colonne : Le coefficient de proportionnalité vérifie 3 x c = 4,50. Donc c = 4,50 : 3 = 1,50. Le prix au kg de tomates est 1,50 /kg. (On a aussi : c = 3 : 2 = 7,80 : 5,200 3,15 : 2,100 = 1,50) 3) Reconnaître un tableau de proportionnalité : a- Cas général : On donne un tableau : Grandeur A (en ) a 1 a 2 a n Grandeur B (en ) b 1 b 2 b n Avec un raisonnement voisin du précédent : Lorsque les grandeurs sont proportionnelles on multiplie les valeurs du haut par le même nombre «c» pour trouver celle du bas.

3 On doit donc avoir : a 1 x c = b 1 donc c = a 2 x c = b 2 donc c = donc a n x c = b n donc c = Propriété : Pour vérifier si on a un tableau de proportionnalité : On calcule tous les quotients Si tous les quotients sont égaux, alors on a un tableau de proportionnalité. Si les quotients ne sont pas tous égaux, alors on n a pas un tableau de proportionnalité. b- Exemples : Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité? ,8 16,8 ; ; Les quotients sont tous égaux donc on a un tableau de proportionnalité Les quotients ne sont pas tous égaux donc on n a pas un tableau de proportionnalité.

4 III- Compléter un tableau de proportionnalité : 1) Si on connaît le coefficient de proportionnalité : Des poires sont vendues 2,35 /kg. On souhaite compléter le tableau de proportionnalité suivant : : 2,35 Masse de poires (en kg) Prix (en ) 4,100 x 2,35 = 9,635 4,100 4,70 : 2,35 = 2 9,64 4,70 3,200 x 2,35 = 7,35 3,200 1,88 : 2,35 = 0,800 1,88 X 2,35 2) En «passant par l unité», on retrouve le coefficient de proportionnalité: On considère le prix de tomates en fonction de la masse achetée. On donne une masse et le prix correspondant, on désire compléter le tableau pour d autres valeurs. Méthode : On cherche le prix pour 1kg de tomates : on a donc le coefficient de proportionnalité. On applique ce coefficient pour compléter le tableau. : 3,5 : 2,5 Masse de tomates (en kg) Prix (en ) 3,5 1 2,3 8,75 2,5 2,3 x 2,5 = 5,75 10,25 : 2,5 = 4,1 10,25 X 2,5 : 3,5 3) En combinant des colonnes : On ne nous donne pas le coefficient de proportionnalité, on fait des calculs «astucieux» :

5 Masse de pommes (en kg) Prix (en ) 6 : 2 = = 9 4 x 3 = ,5 13, : 2 = 4, ,5 = 13, 5 4 x 4,5 = 18 IV- Pourcentages : 1) Définition : Définition : On appelle pourcentage, toute fraction dont le dénominateur vaut 100. Notation : tout nombre de la forme sera noté a %. 2) Les différentes écritures d un pourcentage : Un pourcentage peut avoir 3 écritures différentes : La notation % Une notation fractionnaire Une notation décimale Exemples : Notation % Fraction 18% 51% 36% 268% 7% 16,6% 530% 0,5% Ecriture décimale 0,18 0,51 0,36 2,68 0,07 0,166 5,3 0,005 =

6 3) Pourcentage d une grandeur : Propriété : Pour calculer un pourcentage d une quantité, on multiplie ce pourcentage par cette quantité. Exemples : 53% de 200 élèves = x 200 élèves = 106 élèves 2% de 3950 = x 3950 = % de 456 $ = x 456 $ = 757,6 $