PRINCIPES ET MÉTHODES STATISTIQUES. TABLES de LOIS et GRAPHIQUES de lois avec R

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Paul Tassé
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1 Institut Polytechnique de Grenoble ENSIMAG PRINCIPES ET MÉTHODES STATISTIQUES TABLES de LOIS et GRAPHIQUES de lois avec R ANNÉE Olivier GAUDOIN Maryse BÉGUIN Olivier.Gaudoin@imag.fr Maryse.Beguin@imag.fr

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3 Table des matières 1 Lois de probabilités usuelles 5 3

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5 Chapitre 1 Lois de probabilités usuelles VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES Dans le tableau ci dessous, on suppose n N, p ]0, 1[ et λ R +. Loi et Symbole Probabilités E(X) Var(X) Fonction caractéristique X φ X (t) = E(e itx ) Bernouilli P(X = 0) = 1 p p p(1 p) 1 p + pe it B(p) P(X = 1) = p Binomiale P(X = k) = Cnp k k (1 p) n k 1 {0,...,n} (k) np np(1 p) (1 p + pe it ) n B(n, p) Binomiale négative BN (n, p) P(X = k) = C n 1 k 1 pn (1 p) k n 1 {n..} (k) n p ( ) n n(1 p) pe it p 2 (1 (1 p)e it Poisson P(λ) λ λk P(X = k) = e 1 k! N(k) λ λ e λ(eit 1) Géométrique P(X = k) = p(1 p) k 1 1N (k) 1 p G(p) (1 p) p 2 pe it 1 (1 p)e it Hypergéométrique H(N, m, n) (m, n) {1,..., N} 2 P(X = k) = Ck mc n k N m nm 1 CN n {0,...,min(m,n)} (k) N nm(n n)(n m) N 2 (N 1) 5

6 6 VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES CONTINUES La fonction Gamma est définie pour a > 0 par Γ(a) = + 0 e a 1 d. On a : n N, Γ(n) = (n 1)!, Γ(1) = 1, Γ( 1 2 ) = π, a ]1, + [, Γ(a) = (a 1)Γ(a 1). Dans le tableau ci dessous, [a, b] R, m R, σ R +, λ R +, α R +, n N Loi et Symbole Densité Espérance Var(X) Fonction caractéristique X φ X (t) = E(e itx ) Loi Uniforme f X () = 1 1 b a [a,b] () U[a, b] a+b 2 (b a) 2 12 e itb e ita it(b a) Loi Normale f X () = 1 σ ( m) 2 e 2σ 2 1R() 2π m σ 2 e itm σ2 t 2 2 N (m, σ 2 ) Loi Eponentielle f X () = λe λ 1 1R + () λ Ep(λ) = G(1, λ) 1 λ 2 ( ) 1 it 1 λ Loi Gamma G(α, λ) f X () = λα Γ(α) e λ α 1 1R + () α λ α λ 2 ( ) 1 it α λ Loi du Chi-deu f X () = n 2 2 Γ( n 2 )e 2 n 2 1 1R + () n 2n (1 2it) n 2 χ 2 n = G( n, 1) 2 2 Première loi de Laplace f X () = 1 2 e 1R() t 2

7 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 7 La fonction Beta est définie pour a > 0 et b > 0 par β(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) = 1 0 a 1 (1 ) b 1 d Dans le tableau suivant, on suppose a R +, b R + et η R +, β R +. Loi et Symbole Densité E(X) Var(X) X Loi Beta de 1ère espèce f X () = 1 β(a,b) a 1 (1 ) b 1 1 [0,1] () β 1 (a, b) a a+b ab (a+b) 2 (a+b+1) Loi Beta de 2 ième espèce f X () = 1 β(a,b) (1+) 1R a+b () a + b 1 β 2 (a, b) si b > 1 si b > 2 Loi de Weibull W(η, β) a 1 a(a+b 1) (b 1) 2 (b 2) f X () = β η β β 1 e ( η) β 1R + () ηγ(1 + 1 β ) η2 [ Γ(1 + 2 β ) Γ(1 + 1 β )2 ] VECTEURS ALÉATOIRES DANS Nd ET DANS R d Dans le tableau suivant, on a : n N, p = (p 1, p 2,..., p d ) ]0, 1[ d, m R d et Σ M d,d. d p i = 1 et k = (k 1, k 2,..., k d ) N d, i=1 d k i = n. i=1 Loi et Symbole Probabilités ou Densité E(X) Matrice Fonction X de covariance Caractéristique Loi Multinomiale P(X = k) = n! k 1!...k d! pk 1 1 p k p k d M d (n, p) d 1N d(k) np c i,i = np i (1 p i ) c i,j = np i p j, i j [ d i=1 p iz i ] n 1 Loi normale f X () = detσ( 2π) d e 1 t 2 ( m)σ 1 ( m) m Σ e it mt 1 t 2 tσt N d (m, Σ)

8 8 Relations entre lois de probabilité Les variables aléatoires X et Y sont supposées indépendantes Si X N (0, 1), alors X 2 χ 1 2 Si X G(α, λ) et Y G(β, λ), alors X + Y G(α + β, λ). Loi de Fisher F(n, m) : X χ n 2, Y χ m 2 alors Loi de Student St(n) : X N (0, 1), Y χ n 2 alors X n Y m X Y n F(n, m). St(n).

9 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 9 Table 1 de la loi normale centrée réduite U étant une variable aléatoire de loi N (0, 1), la table donne la valeur de Φ(u) = P(U u). En R, la commande correspondante est pnorm(u). de la loi normale Φ(u) u u u Grandes valeurs de u u Φ(u)

10 10 Table 2 de la loi normale centrée réduite U étant une variable aléatoire de loi N (0, 1) et α un réel de [0, 1], la table donne la valeur de ( u α = Φ 1 1 α ) telle que P( U > u α ) = α. 2 En R, la commande correspondante est qnorm(1-alpha/2). de la loi normale α 2 1 α α 2 u α u α α Petites valeurs de α α u α Pour p < 1 2, Φ 1 (p) = u 2p Pour p 1 2, Φ 1 (p) = u 2(p 1)

11 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 11 Table de la loi du χ 2 X étant une variable aléatoire de loi du χ 2 à n degrés de libertés et α un réel de [0, 1], la table donne la valeur de z n,α = F 1 χ 2 n (1 α) telle que P(X > z n,α) = α. En R, la commande correspondante est qchisq(1-alpha, n). dchisq(, 8) α z n, α α α n Pour n > 30, on admet que z n,α 1 2 ( u 2α + ) 2 (2n 1) si α < 1 2 z n,α 1 ( ) 2 (2n 1) u2(1 α) + si α 1 2 2

12 12 Table de la loi de Student X étant une variable aléatoire de loi St(n) et α un réel de [0, 1], la table donne la valeur de ( t n,α = F 1 St(n) 1 α ) telle que P( X > t n,α ) = α. 2 En R, la commande correspondante est qt(1-alpha/2). Pour n = +, t +,α = u α. dt(, 3) α 2 1 α α 2 t n, α t n, α α n

13 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 13 Tables de la loi de Fisher-Snedecor X étant une variable aléatoire de loi F (ν 1, ν 2 ), les tables donnent les valeurs de f ν1,ν 2,α = F 1 F (ν 1,ν 2 ) (1 α) telles que P(X > f ν 1,ν 2,α) = α pour α = 5% et α = 1%. En R, la commande correspondante est qf(1-alpha, nu1, nu2). f ν2,ν 1,α = 1 f ν1,ν 2,1 α. df(, 4, 10) α f ν1, ν2, α α Table 1 : α = 5%. ν 1 ν

14 14 Tables de la loi de Fisher-Snedecor Table 2 : α = 1%. ν 1 ν

15 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 15 Probabilités et histogrammes de lois discrètes binomiale(20,0.25) 200 simulations, n= 20, p = 0.25 probabilité binomiale(20,0.25) n binomiale(200,0.25) 200 simulations, n=200, p=0.25 probabilité binomiale(200,0.25) n Fig. 1.1 probabilités et histogrammes de tirages aléatoires de lois binomiales

16 16 Probabilités et histogrammes de lois discrètes binomiale(20,0.10) 200 simulations, n= 20, p=0.10 probabilité binomiale(20,0.10) n binomiale(200,0.10) 200 simulations n=200, p =0.10 probabilité binomiale(200,0.10) n Fig. 1.2 probabilités et histogrammes de tirages aléatoires de lois binomiales

17 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 17 Probabilités de lois discrètes loi géométrique(0.25) loi géométrique(0.75) probabilité probabilité n n Fig. 1.3 Probabilités de lois géométriques et hypergéométriques

18 18 Probabilités de lois discrètes loi poisson(0.25) loi poisson(4) probabilité probabilité n n Fig. 1.4 Probabilités de lois de Poisson

19 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 19 s de lois continues loi normale N(0,1) loi normale N(5,4) loi normale N(5,0.4) Fig. 1.5 s de lois normales

20 20 s de lois continues loi eponentielle(0.25) loi eponentielle(4) Fig. 1.6 s de lois eponentielles

21 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 21 s de lois continues loi gamma(shape = 3, scale = 0.25) loi gamma(shape = 3,scale = 4) loi gamma(shape = 1/3, scale = 0.25) loi gamma(shape = 1/3,scale = 4) y Fig. 1.7 s de lois gammas

22 22 s de lois continues loi chi deu(3) loi chi deu(8) Fig. 1.8 s de lois chi-deu

23 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 23 s de lois continues loi student(3) loi student(8) loi fisher(3,20000) loi fisher(20000,3) Fig. 1.9 s de lois de Student et de Fisher

24 24 s de lois continues loi weibull(shape =3, scale= 0.25) loi weibull(shape = 3,scale = 4) loi weibull(shape =1/3, scale =0.25) loi weibull(shape = 1/3,scale =4) Fig s de lois de weibull

25 ENSIMAG 2A, Principes et méthodes statistiques, lois 25 s de lois continues loi beta1(3,8) loi beta1(8,3) Fig s de lois betas

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