Exercices : Couples et suites de VAR discrètes

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1 Exercices : Couples et suites de VAR discrètes Exercice : Une urne contient 2 boules blanches et n 2 boules rouges. On effectue n tirages sans remise de cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche et Z le rang de sortie de la deuxième boule blanche.. Déterminer la loi du couple X, Z). 2. En déduire la loi de Z. Exercice 2: Soit un dé équilibré comprenant face blanche et 5 faces rouges. On lance ce dé indéfiniment et on s intéresse aux longueurs des séries successives de B ou R : par exemple si les lancers donnent les résultats BBRRRRRRBBBRR... alors la première série BB) est de longueur 2 et la deuxième RRRRRR) est de longueur. Soient X et X 2 les variables aléatoires égales aux longueurs de la première et deuxième série.. Déterminer la loi de X. Montrer que X admet une espérance et la calculer. 2. Déterminer la loi du couple X,X 2 ). 3. En déduire la loi de X En considérant P[X ] [X 2 ]) montrer que X et X 2 ne sont pas indépendantes. Exercice 3: On dispose de n boîtes numérotées de à n. La boîte k contient k boules numérotées de à k. On choisit au hasard une boîte puis une boule dans cette boîte. Soit X le numéro de la boîte et Y le numéro de la boule.. Déterminer la loi du couple X,Y) 2. Calculer PX Y) 3. Déterminer la loi de Y et EY). Exercice 4: Un individu joue avec une pièce truquée, pour laquelle la probabilité d obtenir pile est p ]0;[, de la façon suivante : - Il lance la pièce jusqu à obtenir pile pour la première fois. On note N la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. - Si n lancers ont été nécessaires pour obtenir pour la première fois pile alors il relance n fois sa pièce. On appelle alors X le nombre de pile obtenu au cours de ces n lancers. ) n On admet que x n x k et on pourra noter q p. k x) k+ nk. Déterminer la loi de N. 2. Pour tout n N déterminer la loi conditionnelle à [N n] de X. 3. En déduire la loi de X. 4. On considère B et G deux VAR indépendantes suivant respectivement une loi de Bernouilli B,p ) et une loi géométrique Gp ). a) Déterminer la loi de la VAR BG. b) Montrer qu il existe p à déterminer) tel que X a la même loi que la variable BG. c) En déduire EX). Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page Couples et suites de VAR discrètes

2 Exercice 5: Soit X une VAR discrète dont la loi est donnée par : On considère la variable Y X 2. x i PX x i ). Déterminer la loi de Y ainsi que celle du couple X,Y). 2. X et Y sont-elle indépendantes? 3. Calculer covx,y) et faire une remarque sur ce résultat. Exercice : Andy est un ivrogne : quand il n a pas bu la veille, il s enivre le jour même; et s il a bu la veille, il y a une chance sur trois pour qu il reste sobre. On relève son état d ivresse pendant 400 jours sachant qu au jour 0 il était ivre. On note X le nombre de jours où il était sobre, et X i la variable qui vaut si Andy est sobre le i-ème jour et 0 sinon.. Exprimer X en fonction des X i 2. Soit p i PX i ). Montrer la relation p i 3 p i En déduire la loi des X i puis calculer EX). Exercice 7: Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une urne contenant : boule numéroté 2 boules numéroté 2... n boules numérotés n.. On tire une boule de cette urne, on note X le numéro obtenu. Déterminer la loi de X et calculer EX). On rappelle que k 2 nn+)2n+) 2. On effectue dans cette urne deux tirages successifs sans remise. On note T le numéro de la première boule obtenue et T 2 le numéro de la deuxième boule. a) Déterminer la loi du couple T,T 2 ). b) En déduire la loi des variables T et T 2. c) Les variables aléatoires T et T 2 sont-elles indépendantes? d) Déterminer ET +T 2 ). Exercice 8: Soit X i ) i N une suite de VAR de Bernoulli de paramètre p, indépendantes. Soit Y i X i X i+. Quelle est la loi de Y i? 2. Soit S n Y i. Calculer ES n ) et VS n ). i 4 4 Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 2 Couples et suites de VAR discrètes

3 Exercice 9: Soucieux d améliorer le flux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les observations suivantes :. L étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis d établir les probabilités suivantes : P [S 0] [U 0]) 0,4 P [S 0] [U ]) 0,3 P [S ] [U 0]) 0,2 P [S ] [U ]) 0, où S représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à 50 euros, prenant la valeur sinon, et U la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur sinon. a) Déterminer les lois de S et U et vérifier que la probabilité que le client règle par carte bancaire est égale à p 3 5. b) Calculer la covariance du couple S, U). Les variables S et U sont-elles indépendantes? c) Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire? 2. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les individus. Une caissière reçoit n clients dans sa journée n 2). On définit trois variables aléatoires C n,l,l 2 par : -C n comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire. -L resp.l 2 ) est égale au rang du er resp.du 2ème ) client utilisant la carte bancaire comme moyen de paiement, s il y en a au moins un resp.au moins deux) et à zéro sinon. a) Reconnaître la loi de C n, rappeler la valeur de l espérance et de la variance de cette variable aléatoire. b) Déterminer la loi de L et vérifier que : c) Déterminer la loi de L 2. PL k) k0 Exercice 0: Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher. On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d être tirée, on note sa couleur, et on la remet dans l urne avec c c 0) boules de la couleur de la boule tirée. On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de n tirages n 2). On considère les variables aléatoires X i ) i n définies par : { X i si on obtient une boule blanche au ième tirage. X i 0 sinon. On définit alors, pour 2 p n, la variable aléatoire Z p, par : Z p. Que représente la variable Z p? 2. Donner la loi de X et l espérance EX ) de X. p X i. i Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 3 Couples et suites de VAR discrètes

4 3. Déterminer la loi du couple X,X 2 ). En déduire la loi de X 2 puis l espérance EX 2 ). 4. Déterminer la loi de probabilité de Z Déterminer l univers image Z p Ω) de Z p.. Soit p n. a) Déterminer P [Zpk]X p+ ) pour k Z p Ω). b) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : PX p+ ) +cez p). 2+pc c) En déduire que X p est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre 2. On raisonnera par récurrence sur p : les variables X, X 2,..., X p étant supposées suivre une loi de de Bernoulli de paramètre 2, et on calculera EZ p)). Exercice : Soit X,Y) un couple de VAR discrètes à valeurs dans N 2, de loi conjointe :. Déterminer toutes les valeurs possibles de a. 2. Déterminer les lois marginales. 3. X et Y sont-elle indépendantes? P[X i] [Y j]) a 2 i+ j! Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 4 Couples et suites de VAR discrètes

5 Exercice : Correction. On a ici XΩ) [;n ] et ZΩ) [2;n]. Soit k XΩ) et j ZΩ). Si k j alors P[X k] [Z j]) 0. Si k < j alors on peut écrire [X k] [Z j] R R k B k R k+ R j B j et donc d après la formule des probabilités composées : P[X k] [Z j]) n 2 n 3 n 2 k 2) 2 n n n k 2) n k ) n 2 k ) n 2 j 3) n k n j 2) n j ) n 2)n 3) n k) 2 n k ) n j +) nn )n 2) n j +) 2 nn ) 2. D après la formule des probabilités totales utilisée avec le système complet d événements [X k]) k XΩ), on a pour tout j ZΩ) : n PZ j) P[X k] [Z j]) j n P[X k] [Z j]+ P[X k] [Z j]) j n 2 nn ) + 0 kj kj 2j ) nn ) Exercice 2:. On a X Ω) N car on lance le dé indéfiniment donc la première série peut être de n importe quelle longueur non nulle. De plus soit k N, on a [X k] B B k R k+ ) R R k B k+ ) donc comme on a une union d événements incompatibles et que les lancers sont indépendants, on a PX k) ) k ) k Si la série kpx k) est absolument convergente, X admettra une espérance. En cas de convergence on aura : EX ) 5 k 5 ) k + k ) k + 5 k 5 k ) k ) k 5 On voit ici deux séries dérivées premières de série géométrique de raison et 5 séries convergentes. donc ce sont deux Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 5 Couples et suites de VAR discrètes

6 Ainsi X admet une espérance et EX ) 5 /) /) On a X 2 Ω) N. Soit k X Ω) et j X 2 Ω). On peut écrire : [X k] [X 2 j] B B k R k+ R k+j B k+j+ ) R R k B k+ B k+j R k+j+ ) donc comme on a une union d événements incompatibles et que les lancers sont indépendants : P[X k] [X 2 j]) 5j k j + 5k k 5 ) k+ ) j ) k+ ) j 5 5 j + 3. D après la formule des probabilités totales avec le système complet d événements [X k]) k N on a : PX 2 j) P[X k] [X 2 j]) ) j 5 ) k + 5 ) j + ) j 5 / / + 5 ) j ) j 3 ) k 5 ) j 5/ 5/ 4. On a P[X ] [X 2 ]) et PX ) PX 2 ) On a donc P[X ] [X 2 ]) PX ) PX 2 ) donc les variables ne sont pas indépendantes. Exercice 3: Difficile. On a XΩ) [;n] et YΩ) [;n]. Soit k XΩ) et j YΩ). Si j > k alors P[X k] [Y j]) 0 car il est impossible de tirer une boule numérotée j dans l urne k lorsque j > k. Si j k alors P[X k] [Y j]) PX k)p [Xk] Y j) n k nk. 2. PX Y) P[X k] [Y k]) nk n k. 3. D après la formule des probabilités totales avec le système complet d événements [X k]) k [[;n]] on a : PY j) P[X k] [Y j]) nk n k Y est une VAR discrète finie donc elle admet une espérance et on a : EY) jpy j) j 2n j kj k +) 2n kj j k kn j kn kn j ) n+)n+2) 2 kj n+3 4 kk +) 2 Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page Couples et suites de VAR discrètes

7 Exercice 4:. La variable aléatoire N correspond au rang d apparition pour la première fois de l événement obtenir pile, qui est de probabilité p, au cours d une succession d épreuves identiques. N suit donc la loi géométrique de paramètre p : NΩ) N n N PN n) p) n p 2. On a XΩ) N et on chercher à calculer pour tout entier k P [Nn] X k). Lorsqu on sait que [N n] cela signifie que X compte le nombre de réalisation de l événement obtenir pile, qui est de probabilité p, au cours de n réalisations identiques d une épreuve. La loi conditionnelle de X à [N n] est donc la loi binomiale de paramètres n et p : { n k N P [Nn] X k) k) p k q n k si k n 0 sinon 3. D après la formule des probabilités totales avec le système complet d événements [N n]) n N on a pour tout entier k > 0 : PX k) et PX 0) n pk+ q k+ n PN n)p [Nn] X k) pq n q n p q q 2k q 2 ) k+ n 4. a) On a BGΩ) N. PBG 0) PB 0) p Soit k N, q 2 ) n nk p k+ q k q) k+ +q) k+ pq 2 q q 2 ) q +q ) n + ) n q n p p k q n k p k+ q k q 2 ) n k k q k +q) k+ PBG k) P[B ] [G k]) PB )PG k) p p ) k p p 2 p ) k b) On choisit p q q + p 2 p ) k +q) 2. On a bien alors PX 0) PBG 0) et de plus +q q k donc PX k) PBG k). +q) k+ qk +q) k c) Comme X et BG ont la même loi, elles ont la même espérance. On a donc EX) EBG). Or B et G sont indépendantes donc et donc EX). EBG) EB)EG) p p nk Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 7 Couples et suites de VAR discrètes

8 Exercice 5:. y i 0 4 PY y i ) / /2 /3 Y 0 4 X / - 0 /4 0 0 / / / 2. P[X ] [Y 0]) 0 et PX )PY 0) 0 donc les variables ne sont pas indépendantes. 3. EX) 0, EY) et EXY) xyp[x x] [Y y]) 0 donc covx,y) 0. Les VAR ne sont pas indépendantes et pourtant elles ont une covariance nulle. Exercice : 400. X X i car si on ajoute à chaque fois que Andy et sobre et 0 s il est ivre on obtiendra bien le i nombre de jours où il a été sobre. 2. Avec le système complet d événement [X i 0],[X i ]), d après la formule des probabilités totales, on a PX i ) PX i 0)P [Xi 0]X i )+PX i )P [Xi ]X i ) Or d après l énoncé P [Xi 0]X i ) 3 et P [X i ]X i ) 0 et deplus PX i 0) p i. On a donc p i 3 p i On sait que p 0 0 et p i ) est une suite arithmético-géométrique. On pose q i p i +k où k est un réel à choisir. On a alors q i 3 p i + 3 +k 3 q i k)+ 3 +k 3 q i k+. On choisit 3 alors k 4 et on a q i 3 q i et q 0 4 donc q i i et on en déduit donc que 4 3) p i 4 ) ) i 3 EnconclusiononaX i Ω) {0;}etPX i ) 4 On en déduit que EX i ) ) ) i et donc EX) EX i ) 4 i i 00+ ) ) ) ) i etpx i 0) 3+ ) ) i ) ) i ) /3) 400 +/3 Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 8 Couples et suites de VAR discrètes

9 Exercice 7:. On a XΩ) [;n] et comme il y a +2+ +n nn+) 2 k k XΩ) on a PX k) nn+)/2 2k nn+). X est une VAR discrète finie donc elle admet un espérance et boules dans l urne en tout, pour tout EX) kpx k) 2k 2 nn+) 2 nn+) nn+)2n+) 2n a) On a T Ω) T 2 Ω) [;n]. Soit k et j deux éléments de [;n]. Si k j, on a Si k j, on a P[T k] [T 2 j]) PT k)p [T k]t 2 j) 4kj nn+)n )n+2) P[T k] [T 2 k]) PT k)p [T k]t 2 k) 4kk ) nn+)n )n+2) 2k nn+) j nn+)/2 2k nn+) k nn+)/2 b) T suit la même loi que X. Soit j T 2 Ω). D après la formule des probabilités totales avec le système complet d événements [T k]) k [;n]] on a PT 2 j) P[T k] [T 2 j]) 4kj nn+)n )n+2) + 4jj ) nn+)n )n+2),k j ) 4j nn+) 4jj ) j + nn+)n )n+2) 2 nn+)n )n+2) ) 4j nn+) j +j nn+)n )n+2) 2 2j nn+) c) On a P[T ] [T 2 ]) 0 et PT ) PT 2 ) T 2 ne sont pas indépendantes. d) ET +T 2 ) ET )+ET 2 ) 2EX) 22n+) 3 Exercice 8: 4 n 2 n+) 2 donc les variables T et. On a Y i Ω) {0;} et PY i ) P[X i ] [X i+ ]) p p p 2 car les variables X i sont indépendantes. Donc on a PY i 0) p 2. Y i suit une loi de Bernoulli de paramètre p 2. Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 9 Couples et suites de VAR discrètes

10 2. D après la linéarité de l espérance, ES n ) On sait aussi que VS n ) VY i )+2 i EY i ) np 2. i i<j n covy i,y j ). Or EY i Y j ) PY i Y j ) P[X i ] [X i+ ] [X j ] [X j+ ]). Si j i+ alors EY i Y j ) p 4 et si j i+, EY i Y j ) p 3. Donc si j i+ alors covy i,y j ) 0 et si j i+, covy i,y i+ ) p 3 p). On a donc VS n ) np 2 p 2 )+2n )p 3 p) p 2 p)n+3np 2p). Exercice 9: ECRICOME a) Par définition de S, on sait que SΩ) {0;} et UΩ) {0;}. Donc les événements [U 0] et [U ] forment un système complet d événements et donc d après la formule des probabilités totales : PS 0) P[S 0] [U 0])+P[S 0] [U ]) 0,7 PS ) P[S ] [U 0])+P[S ] [U ]) 0,3 De même avec le système complet d événements [S 0] et [S ], on obtient PU 0) 0, et PU ) 0,4 Donc S suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,3 et U suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,4. La probabilité que le client règle par carte bancaire est le probabilité de l événement [U 0] c est à dire 0, 3 5. b) Par définition covs, U) ESU) ES)EU). De plus on a ES) 0, 3, EU) 0, 4 et ESU) P[S ] [U ]) 0,. Donc covs,u) 0, 0,2 0,02. Comme la covariance n est pas nulle on peut affirmer que les variables S et U ne sont pas indépendantes. c) On cherche dans cette question à calculer P [U] S ). On a donc : P [U] S ) P[S ] [U ]) PU ) 0, 0, a) C n compte le nombre de réalisations de l événements le client paye par carte bancaire, qui est de probabilité 3, pour n clients se présentant à la caisse, chaque clients étant indépendants des 5 autres. Donc C n suit une loi binomiale de paramètre n, 3 ). On a donc 5 EC n ) 3n 5 et VC n ) n 25 ) n 2 b) Par définition de L, on a L Ω) [0;n]. De plus PL 0) car l événement [L 0] 5 signifie qu aucun de client n a payé par carte bancaire. Pour tout entier k compris entre et n, l événement [L k] signifie que les k premiers client n ont pas payé par carte bancaire mais que le k-ième client a payé par carte bancaire. On a donc PL k) ) k Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 0 Couples et suites de VAR discrètes

11 On a donc ) n 2 ) k 3 2 PL k) ) n n 5) 2 5 ) n ) n k0 c) Par définition de L 2, on a L 2 Ω) {0,2,3,,n}. L événement [L 2 0] signifie qu aucun client n a payé en carte bancaire ou alors qu un seul client à payé en carte bancaire, donc [L 2 0] [C n 0] [C n ]. Ces événements étant incompatibles : PL 2 0) ) n 2 +n ) n 2 5 Soit k un entier compris entre 2 et n. L événement [L 2 k] signifie que parmi les k premiers clients, un seul a payé en carte bancaire, et le k-ième client a payé en carte bancaire. Donc [L 2 k] [C k ] [U k 0] où U k prend la valeur 0 si le k-ième client paye par carte bancaire et sinon. On a donc, par indépendance des événements : PL 2 k) k ) 3 5 On a donc bien obtenu la loi de L 2. Exercice 0: ECRICOME 2002 ) k k ) ) k 2 ) Z p compte le nombre de boules blanches tirées au cours des p premiers tirages. 2. X vautlorsquelabouletiréesestblancheet0sinon.doncx suituneloidebernoullideparamètre 2. Donc on a EX ) 2 3. Pour déterminer la loi d un couple il faut calculer les différents P[X i] [X 2 j]). On peut présenter les résultats sous forme d un tableau : X X c c+ Pour calculer par exemple P[X 0] [X 2 0]) on a utilisé la formule des probabilités composées PX 0)P [X 0]X 2 0) et on a remarqué que, sachant que l on a obtenu une boule noire au premier tirage [X 0]), il y a avant le deuxième tirage boules dans l urne dont c+ qui sont noires donc P [X 0]X 2 0) c+. On a raisonné de même pour les autres probabilités. D après la formule des probabilités totales avec le système complet d événements [X 0],[X ]) on a PX 2 ) P[X 0] [X 2 ])+P[X ] [X 2 ]) c+ 2) + 2) 2 Et donc X 2 suit une loi de Bernoulli de paramètre 2 et ainsi EX 2) 2. Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page Couples et suites de VAR discrètes

12 4. Z 2 X +X 2. Donc ZΩ) {0;;2}. On a : PZ 2 0) P[X 0] [X 2 0]) 2 c+. PZ 2 ) P[X 0] [X 2 ])+P[X ] [X 2 0]) PZ 2 2) P[X ] [X 2 ]) 2 c+. k 0 2 PZ 2 k) 2 c+ 5. On ajoute p chiffres qui valent chacun 0 ou donc Z p Ω) [0;p] 2 c+. a) L événement [Z p k] signifie qu au cours des p premiers tirages, on a tiré k boules blanches et donc p k boules noires. On a donc mis dans l urne kc boules blanches et p k)c boules noires supplémentaires. Il y a donc avant le tirage p+, p boules dans l urne dont kc+ blanches : P [Zpk]X p+ ) kc+ p b) A l aide de la formule des probabilités totales avec le système complet d événements [Z p 0],,[Z p p] on a : PX p+ ) p PZ p k)p [Zpk]X p+ ) k0 p PZ p k) kc+ p k0 p c kpz p k)+ p cez p)+ p k0 ) p PZ p k) c) Montrons par récurrence que la propriété Pp) : X,...,X p suivent des lois de Bernoulli de paramètre 2 est vraie pour tout p {,,n}. Pour p la propriété est vraie d après la question 2. p p Supposons Pp) vraie. Alors EZ p ) EX i ) 2 p 2 i OnobtientdoncPX p+ ) pc/2+ p 2 etdoncx p+ suit uneloidebernoullideparamètre. Pp+) est donc vraie. 2 Ainsi pour tout p {,,n}, X p suit une loi de Bernoulli de paramètre 2. k0 Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 2 Couples et suites de VAR discrètes

13 Exercice :. Il faut choisir a pour que i,j P[X i] [Y j]). P[X i] [Y j]) i,j) N 2 j0 i0 j0 j0 j0 a 2 i+ j! a 2j! i0 a 2j! 2 2 i ) a j! a e ) Donc il faut prendre a e. 2. i N, PX i) 2 i+ j N, PY j) e j! 3. On a P[X i] [Y j]) PX i)py j) donc les variables sont indépendantes. Probabilités : Chapitre 3 Exercices Page 3 Couples et suites de VAR discrètes