Chapitre 2. Théorie des noeuds. 2.1 Notions de base

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1 Chapitre 2 Théorie des noeuds 2.1 Notions de base Définition Un nœud K dans R 3 est une sous-variété difféomorphe au cercle. Remarque Par défaut on considérera des nœuds lisses. On obtient une théorie équivalente en considérant des noeuds linéaires par morceau. Exemple Le noeud trivial : S 1 C C R = R 3. Exemple La sphère unité de C 2 est notée S 3. On utilisera la projection stéréographique s : S 3 \ {(0, i)} = R 3. Pour p et q premiers entre eux le noeud torique K p,q est l image du plongement : γ p,q : S 1 R 3 z s( 1 2 (z p, z q )) Exercice Calculer un paramétrage du noeud K p,q. Dessiner la projection sur le premier plan de coordonnées de K 2,3 et K 3,2. Définition Un entrelacs L à n composantes dans R 3 est une sous-variété difféomorphe à l union disjointe de n cercles Définition Une isotopie (ambiante) entre les deux nœuds K et K dans R 3 est une application continue h : [0, 1] R 3 R 3 (t, x) h(t, x) = h t (x) telle que : h 0 = Id R 3, h 1 (K) = K, pour tout t, h t est un difféomorphisme. Les deux noeuds K et K sont isotopes si et seulement s il existe une isotopie entre eux. Si les nœuds K et K sont orientés, on demande de plus que h 1 respecte les orientations. 8

2 Remarque La même définition vaut pour les entrelacs. Il convient de préciser si les composantes sont ordonnées ou non. Le problème fondamental en théorie des nœuds est la classification à isotopie près. On obtient une classification a priori plus fine si on prend en compte l orientation. Définition Un nœud est inversible si et seulement s il est isotope au nœud muni de l orientation opposée. Il existe des nœuds non inversibles. Il est difficile de trouver des invariants qui les détectent. Définition Le miroir d un nœud K est l image de K par la réflexion (x, y,z) (x, y, z). Un nœud est (positivement) amphichéral si et seulement s il est isotope à son miroir. Définition Un diagramme de nœud est une immersion générique d un cercle dans le plan orienté R 2, avec une information dessus-dessous en chaque point double. Ici générique signifie que les éventuels points multiples sont des points doubles à tangentes distinctes. A chaque diagramme on associe une classe d isotopie de nœud dans R 3 : on considère d abord la courbe immergée dans R 2 {0}, puis on résout les points doubles en déplaçant le point de l arc de dessous au niveau z = ǫ < 0, et les points voisins à des niveaux intermédiaires. Ce qui précède s étend naturellement aux entrelacs. Définition Un nœud dans R 3 est en position générique si et seulement si sa projection sur R 2 = R 2 {0} est une courbe immergée générique. Dans l espace des immersions de S 1 dans R 3 les plongements forment un ouvert. Par transverslité, les plongements en position générique forment un ouvert dense : on peut trouver un noeud arbitrairement proche isotope en position générique. Théorème (Reidemeister). Deux diagrammes définissent des nœuds (resp. des entrelacs), isotopes si et seulement s ils se correspondent par une suite d isotopies planes et de mouvements de Reidemeister décrits dans la figure 2.1. Remarque Dans le cas orienté il y a lieu de considérer chaque mouvement de Reidemeister avec les différentes orientations. Ce théorème permet de définir des invariants d isotopie à partir de fonctions sur les diagrammes. Un premier exemple est l enlacement de deux composantes orientées K et K. A chaque croisement d un diagramme on attribue un signe ±1 selon la règle indiquée sur la figure

3 Fig. 2.1 Mouvements de Reidemeister croisement positif :, croisement négatif : Fig. 2.2 Signe d un croisement Proposition Soit (K, K ) un entrelacs orienté à deux composantes, représenté par un diagramme (D, D ), alors la demi-somme des signes des croisements (mixtes) entre D et D est un entier invariant par mouvement de Reidemeister, et donc ne dépend que de la classe d isotopie orientée de (K, K ). Définition On appelle enlacement de K et K l invariant de la proposition précédente. Noeuds solides Définition Un nœud solide est un plongement du tore standard D 2 S 1 dans R 3. Un diagramme orienté définit un nœud solide à isotopie près. La méthode habituelle définit l âme du noeud solide : l image orientée de 0 S 1 ; le prolongement se fait de façon que l image de chaque intervalle [0, 1] z est un segment parallèle au plan. 10

4 Théorème Deux diagramme orientés définissent des nœuds solides isotopes si et seulement s ils se correspondent par isotopie plane et mouvements de Reidemeister R1, R2 et R3. Fig. 2.3 Mouvement de Reidemeister R1 2.2 Invariants classiques : groupe fondamental et module d Alexander On identifie la sphère S 3 C C au compactifié d Alexandroff de R 3 via la projection stéréographique de pôle (0, i), et on considérera désormais les nœuds dans S 3. Proposition a) Tout nœud dans S 3 ˆR 3 est isotope à un nœud dans R 3. b) Deux nœuds dans R 3 sont isotopes si et seulement s il le sont dans ˆR 3 = S 3. Pour un nœud K dans S 3 ˆR 3 = R { }, on note : X K = S 3 \ K. Définition Le groupe du nœud est le groupe fondamental du complément du nœud X K. On supposera généralement que K évite le point, qu on prendra comme point de base. Le groupe fondamental du nœud ne dépend pas de l orientation, mais l orientation est utile pour préciser des générateurs. Etant donné un diagramme orienté, on associe à chaque arc un élément du groupe fondamental représenté par un méridien qui enlace posistivement, relié au point de base par un chemin vertical dasn le demi-espace positif. Théorème (Présentation de Wirtinger). Le groupe fondamental d un nœud (ou un entrelacs) associé à un diagramme D à m croisements et m arcs (on a enlevé les petits segments qui passe dessous) admet une présentation avec comme générateurs un lacet méridien pour chaque arc, et une relation pour chaque croisement, de la forme ab = ca (a est le lacet correspondant à l arc supérieur). 11

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6 Notons Ω(X K,, x) l espace des chemins de à x dans X K. On peut définir X K comme le quotient de par la relation : {(x, γ), x X K, γ Ω(X K,, x)} (x, γ) (x, γ ) Ä x = x et h(γ γ 1 ) = 0 ä. Exercice Montrer que la définition précédente construit un revêtement régulier de groupe H 1 (X K, Z). Une orientation du nœud K permet de choisir un générateur de H 1 (X K, Z), représenté par un méridien qui enlace K positivement. On identifie alors H 1 (X K, Z) avec le groupe multiplicatif G = {t n, n Z}. Le groupe G agit sur le revêtement X K. Cette action s étend en une action de l anneau Z[G] = Z[t, t 1 ] sur le complexe singulier C ( X K ), et cette action commute avec le bord. L homologie H ( X K, Z) est donc un module sur Z[t, t 1 ]. Définition On appelle module d Alexander du nœud K le Z[t, t 1 ] module H 1 ( X K, Z). Remarque Le groupe H 1 ( X K, Z) ne dépend pas de l orientation de K. La structure de module sur Z[t, t 1 ] en dépend. Le changement d orientation échange t et t 1. Etant donné un diagramme D d un nœud orienté K, on associe à chaque face F du diagramme un lacet γ F, pointé en, dont l image orientée est une droite verticale qui intersecte F positivement. Exercice Donner une présentation du groupe du nœud avec les générateurs [γ F ] (générateurs de Dehn). On choisit un relevé du point de base dans X K. Chaque lacet [γ F ] se relève en un chemin d origine, noté γ F. L extrémité de ce chemin est un point : t I(F). Proposition Pour chaque face F, I(F) est l enlacement de γ F avec K. Si on fixe une face F e, avec I Fe = ±1 (on peut prendre une face adjacente à la face non bornée), alors pour chaque face F, on obtient un cycle c F = γ F ti(f) 1 γ t I Fe 1 F e ], dont la classe est simplement notée F Théorème On obtient une présentation de H 1 (F, Z) comme Z[t, t 1 ] module, avec comme générateurs les faces bornées F, F F e et pour chaque croisement décrit dans la figure 2.5 une relation : ta B + C td = 0. 13

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8 Démonstration. Algorithme de Seifert. Théorème Deux surfaces de Seifert connexes d un même entrelacs se correspondent par isotopie et modification chirurgicale (ajout ou suppression d un tube). La définition de l enlacement enlacement s étend à une paire de cycles disjoints dans S 3. Définition La forme de Seifert associée à une surface de Seifert connexe Σ d un nœud K est : S : H 1 (Σ Σ Z [a] [b] lk(a, b + ) Ici b + est obtenu en poussant le cycle b suivant la normale positive à Σ. La forme est bien définie : l enlacement est indépendant du cycle dans sa classe d homologie. Théorème Soit V la matrice dde la forme de Seifert associée à une surface de Seifert du nœud K. Alors une présentation du module d Alexander de K est donnée par la matrice tv V T (V T est la matrice tranposée). Corollaire Le polynôme d Alexander est K = det(tv V T ) modulo ±t k. Corollaire (Symétrie du polynôme d Alexander). K (t 1 = K (t 1 modulo ±t k. Le polynôme d Alexander-Conway Définition Le polynôme d Alexander-Conway d un entrelacs orienté L est L = det(xv x 1 V T ), où V est une matrice de Seifert de L : la matrice de la forme de Seifert pour une surface de Seifert de L. Théorème a) Le polynôme d Alexander-Conway est bien défini : il ne dépend ni de la surface de Seifert, ni de la base. b) Le polynôme d Alexander-Conway du nœud trivial vaut 1, celui d un entrelacs trivial avec plusieurs composantes est nul. c) Si L +, L et L 0 forment un triplet de Conway, alors : L+ L = (x x 1 ) L0 Ici un triplet de Conway est constitué de trois entrelacs L +, L, L 0 qui sont identiques en dehors d une boule où L + est représenté par un croisment positif, L par un croisement négatif, et L 0 sans croisment. 15

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