TS Devoir surveillé N 3 mardi 08/01/2013

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1 TS Devoir surveillé N 3 ardi 8//3 No et Préno : Note : / Toute réponse doit être justifiée. Eercice : Le saut de la grenouille (7,5 points) Etienne Jules Marey (Beaune 83 Paris 94) physiologiste français, est connu pour ses études sur la déarche huaine. Il est l inventeur de la chronophotographie. Cette technique peret d étudier les ouveents rapides en réalisant à l aide d éclairs périodiques l enregistreent, sur une êe iage, des positions et des attitudes d un anial à intervalles de teps réguliers. Pour atteindre un nénuphar situé à 4 c une grenouille effectue un saut avec une vitesse initiale v =.s -. Le vecteur vitesse initial fait un angle = 45 avec la direction horizontale. On prendra pour valeur de l accélération de la pesanteur g =.s -. L analyse d un des clichés à l aide d un logiciel inforatique, peret d obtenir l enregistreent des positions successives du centre d inertie de la grenouille. La figure de l annee reproduit ces positions à l échelle. La preière position du centre d inertie de la grenouille (G ) sur le docuent correspond à l origine du repère (point O), à la date choisie coe origine des teps. La durée entre deu positions successives est = s.. Eploitation du docuent a) Déteriner les valeurs v 9 et v des vecteurs vitesse instantanée du centre d inertie de la grenouille au points G 9 et G. Tracer sur la figure (en annee) les vecteurs v 9 et v (échelle c pour,5.s - ). b) Construire sur la figure (en annee) le vecteur v = v v 9 avec pour origine le point G. Déteriner sa valeur en utilisant l échelle précédente. c) En déduire la valeur a du vecteur accélération du centre d inertie à l instant t. Tracer sur la figure (en annee) le vecteur a avec pour origine le point G (échelle c pour 5.s ).,75,5,5,5,75. Étude dynaique du ouveent a) Les actions écaniques dues à l air étant négligées, utiliser la deuièe loi de Newton pour : - déteriner les caractéristiques du vecteur accélération du centre d inertie (G) de la grenouille au cours du saut ; - ontrer que les équations horaires (t) et y(t) du point G sont : (t) = v.cos.t et y(t) = g.t + v.sin.t b) En déduire l équation de la trajectoire du centre d inertie de la grenouille. Ce résultat est-il confore à l allure de la trajectoire de l enregistreent epériental? c) Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse du point G au soet S de la trajectoire? En déduire l epression littérale de la date t S à laquelle ce soet est atteint. Calculer ensuite la hauteur aiale atteinte par la grenouille.,75

2 Eercice : L oscilloscope (4,5 points) Un oscilloscope peret de esurer une tension électrique U grâce à la déviation d un faisceau d électrons. Principe de l oscilloscope Le tube électronique est une enceinte où règne un vide poussé. Les électrons, accélérés dans un canon à électrons, pénètrent en O avec une vitesse v de direction horizontale entre les deu plaques horizontales P et P d un condensateur plan. On ipose entre les deu plaques une tension U qui dévie le faisceau d électrons vers le haut. Les électrons sortent du condensateur au point S. Après le point S, les électrons ont un ouveent que l on peut considérer coe rectiligne unifore. Ils frappent l écran au point A en forant un spot luineu. Donnée : dans cet eercice, on ne tiendra pas copte du poids de l électron. / On suppose que le chap E est unifore entre les plaques P et P. a) Déteriner la direction et le sens du chap E entre les plaques. b) Déteriner l epression littérale de l accélération a en fonction de e, E et. c) En déduire les coordonnées a et a y du vecteur accélération.,75,75 / a) Montrer que l équation de la trajectoire des électrons entre les plaques P et P est : e E y v b) Quelle est la nature de la trajectoire?,5,5

3 Eercice 3 : Tir sportif (,5 points) Le biathlon est une épreuve cobinant ski de fond et tir à la carabine. On étudie un aspect du parcours d un athlète de portant une carabine. Lors du tir, une balle est epulsée de la carabine avec une vitesse b = 3.s -. La balle doit atteindre l une des cinq cibles disposées sur un support. ) Calculer la quantité de ouveent de la balle à la sortie du canon. On suppose que le systèe {carabine + balle} est pseudo-isolé avant et après le tir. ) En utilisant la conservation de la quantité de ouveent du systèe {carabine + balle}, déteriner la vitesse de recul v c de la carabine. 3) La balle arrive avec une vitesse horizontale sur l une des cinq cibles noires. Sous l ipact des balles, la cible noire se déplace puis active un écanise qui fait basculer un cache blanc devant la cible, le tireur sait ainsi qu il a réussi son tir. En supposant le systèe {cible balle incrustée} pseudo-isolé, eprier puis calculer la vitesse du systèe juste après l ipact.,75,75 Données : asse de l athlète M = 75, kg ; asse de la carabine c = 4, kg ; asse de la balle b = 5, g ; asse de la cible cible = 6 g ; vitesse de la balle sur la cible = 3.s - ; Eercice 4 : Mise en orbite d un satellite (5,75 points) I. Mise en orbite basse du satellite Le centre spatial de Kourou a lancé le décebre 5, avec une fusée Ariane 5, un satellite de étéorologie de seconde génération baptisé MSG-. Tout coe ses prédécesseurs, il est placé sur une orbite géostationnaire à 36 k d altitude. Opérationnel depuis juillet 6, il porte aintenant le no de Météosat 9. Les satellites de seconde génération sont actuelleent les plus perforants au onde dans le doaine de l iagerie étéorologique. Ils assureront jusqu en 8 la fourniture de données étéorologiques, cliatiques et environneentales. La ise en orbite coplète du satellite MSG- de asse =, 3 kg s accoplit en deu étapes. Dans un preier teps, il est placé sur une orbite circulaire à vitesse constante v S à basse altitude h = 6, k autour de la Terre et il n est souis qu à la force gravitationnelle eercée par la Terre. On choisit un repère (S, t, n ) dans lequel t est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du ouveent et n, un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire et orienté vers le centre de la Terre. ) Donner l epression vectorielle de la force gravitationnelle satellite en fonction des données. F eercée par la Terre sur le T/S,5 ) En appliquant une loi de Newton, établir l epression du vecteur accélération a S du satellite. du centre d inertie 3) Sans souci d échelle, représenter sur un schéa, à un instant de date t quelconque, la Terre, le satellite, le repère (S, t, n ) ainsi que le vecteur accélération a S. 4) Déteriner l epression de la vitesse v S du centre d inertie du satellite. érifier que sa valeur est de l ordre de 7,6 3.s - sur son orbite basse. 5) On note T le teps is par le satellite pour faire un tour autour de la Terre. Coent appelle-t-on 3 cette grandeur? Montrer qu elle vérifie la relation T 4 (RT h) =. GM T,75,5,5 3

4 II - Transfert du satellite en orbite géostationnaire Une fois le satellite MSG- placé sur son orbite circulaire basse, on le fait passer sur une orbite géostationnaire à l altitude h = 3,6 4 k. Ce transit s opère sur une orbite de transfert qui est elliptique. Le schéa de principe est représenté sur la figure 3. Le périgée P est situé sur l orbite circulaire basse et l apogée A est sur l orbite définitive géostationnaire. À un oent convenu, lorsque le satellite est au point P de son orbite circulaire basse, on augente sa vitesse de façon bien précise : il décrit ainsi une orbite elliptique de transfert afin que l apogée A de l ellipse soit sur l orbite géostationnaire définitive. On utilise pour cela un petit réacteur qui éet en P, pendant un très court instant, un jet de gaz donnant au satellite l ipulsion nécessaire. / Énoncer la deuièe loi de Kepler ou «loi des aires». / La vitesse du satellite MSG- n est pas constante sur son orbite de transfert. En s aidant éventuelleent d un schéa, préciser en quels points de son orbite de transfert sa vitesse est : - aiale ; - iniale. 3 / Eprier la distance AP en fonction de R T, h et h. Montrer que AP = 4,9 7.,5,5,5 Données : Constante de gravitation universelle G = 6,67. - S.I. Masse de la Terre M T = 5,98. 4 kg ; Rayon de la Terre R T = 64 k ; 4

5 ANNEXE - Eercice 5

6 Correction du devoir n 3 Eercice : Le saut de la grenouille. Eploitation du docuent 9 G 9 G a a) v 9 = G 8 G =,9. 3 =,4. c.s =,4.s représenté par une flèche de,8 c partant de G 9 et parallèle à G 8 G v = G G 3, = 3. =,6.s représenté par une flèche de 3,c partant de G et parallèle à G G. b) représenté par une flèche,75 c soit =,38.s 6, 375

7 Systèe: grenouille référentiel: le sol, référentiel terrestre et supposé galiléen Inventaire des forces: poids de la grenouille D'après la deuièe loi de Newton : P. a. g =. a donc g = a Le vecteur accélération possède une direction verticale, est dirigé vers le bas et a pour valeur g =.s Dans le repère proposé : a a = dv a dt donc et v (t) est la priitive de a (t), ala y = constante g d'intégration étant égale à v y (t) est la priitive de a y (t), la constante d'intégration étant égale à y (t) v (t) = =.cos v y (t) = g.t + y = g.t +.sin dog( t) v( t) par intégration et sachant qu'à l'instant initial G est confondu avec O. dt OG b) On a t =. cos que l'on replace dans l'epression de y(t) y() =. g. +.sin.cos ². cos soit y() =. g. +.tan.cos ² En replaçant par 45 ; par (sa valeur) et g par sa valeur, on obtient y() =,5.² + Cette équation correspond à une trajectoire parabolique et est donc confore à l'enregistreent horizontal. De plus pour =,, on calcule que y =,. Or on retrouve ce point sur l'enregistreent epériental.. sin c) Au soet de la trajectoire, v y = d où g.t +.sin = soit t = g La hauteur aiale est atteinte par la grenouille à la date t. y a =. g. t (.sin )² +.sin.t y a =.. g ² +.sin g.. sin g. sin ² sin ²45 y a = = =, Ceci est confore à l'enregistreent. g d) Il faut y = pour = 6 c. On a établi précédeent que y() =. g. +.tan.cos ² soit y() =. g. + ou bien y() =,5 + = ² +. =. =.² = = =, 6 (t) =.cos.t y(t) =. g. t +.sin.t =,45.s soit environ,4.s. Ce résultat seble cohérent par rapport au preier saut où pour =.s la grenouille atteignait un nénuphar situé à 4 c d'elle. + 7

8 Eercice : L oscilloscope. Le systèe que l on étudie est l électron entre les plaques P et P. Dans le chap électrique, l électron est souis à une force électrique F - e E - e D après la deuièe loi de Newton, l accélération de l électron est telle que F a, soit : a E Le chap est orthogonal au plaques, coe a le êe sens que car la particule est déviée dans ce sens, le vecteur est de sens opposé et va donc de P vers P. Les coordonnées de e a sont alors a = et a y = E. a. Pour établir l équation de la trajectoire, on établit dans un preier teps les coordonnées du vecteur vitesse de l électron puis les coordonnées du vecteur position. On en déduit : a(t) a = a y = v = v = v v(t) e E v y = e E.t car vy = y = = v t car = () OG(t) e E.t car y = () D après l équation () : t = /v En reportant dans l équation (), on obtient l équation de la trajectoire de l électron : y qe v b. Entre O et S, la trajectoire est une courbe d équation de la fore y = A ² c est donc une portion de parabole. Eercice 3 : Tir sportif ) La quantité de ouveent est par définition : p b A.N. : p b = 5, =,6 kg..s -. = b v b. ) Avant le tir, le systèe est iobile, la quantité de ouveent est donc nulle : p avant =. Après le tir, la quantité de ouveent est la soe des quantités de ouveent de la balle et de la carabine : p après = p b + p c. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la conservation de la quantité de ouveent s écrit : p avant = p après soit On en déduit que p c = - p b p b + p c =. soit v c = (- b / c ) v b. A.N. : v c = (5,. -3 3)/4, =,39.s -. 3) Avant l ipact, la quantité de ouveent du systèe {balle-cible} s écrit : p = b v car la cible est iobile. Après l ipact : p = ( b + cible ) v, la balle étant incrustée dans la cible. La conservation de la quantité de ouveent s écrit : b v = ( b + cible ) v d où v = ( b v)/( b + cible ) A.N. : v = (5,. -3 3)/(5, ) = 4.s -. 8

9 Eercice 4 : Mise en orbite d un satellite I. Mise en orbite basse du satellite ) = ) Appliquons la deuièe loi de Newton au systèe {satellite} de asse dans le référentiel géocentrique galiléen, =. = soit 3) 4) Le satellite ayant un ouveent circulaire et unifore, =. L accélération est radiale et centripète, c est une accélération norale. D où = = Soit et =7,6 3 /s. Avec h = 6, k = 6, 5 =,6 6, cette valeur est en accord avec celle proposée. 5) T est la période de révolution du satellite autour de la Terre. La vitesse du satellite s écrit v S =, soit, en élevant au carré,. En reportant l epression de v S obtenue à la question précédente, il vient : soit finaleent T =. II. Transfert du satellite en orbite géostationnaire ) Deuièe loi de Kepler ou «loi des aires» : le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des durées égales. ) Ainsi, pendant la êe durée Δt, les aires A et A sont égales ais les distances parcourues par le satellite L et L sont différentes : L > L. Les vitesses oyennes en A et P peuvent s écrire : v A = et v P =. On a alors. Or, coe L > L, v P > v A. La vitesse du satellite n est pas constante sur l orbite de transfert. Elle est aiale au périgée P et iniale à l apogée A. 3) AP = R T + h+ h (voir schéa ci-dessus) AP = 6, , 5 + 3,6 7 =,8 7 +, ,6 7 = 4,9 7. 9