I. Définition. Définition d'une action mécanique. Classification des actions mécaniques

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1 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. I. Définition La dnamique est la partie de la mécanique qui permet l étude des mouvements des solides en relation avec les actions qui les produisent. E : Freinage d un véhicule II. Définition d'une action mécanique D'une façon générale, on appelle action mécanique toute cause phsique susceptible de maintenir un corps au repos, de créer, de maintenir ou de modifier un mouvement, de déformer un corps. III. Classification des actions mécaniques Suivant leur nature phsique : Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique) Les actions mécaniques de contact (liaisons surfaciques ) Suivant leur situation par rapport au sstème matériel : ctions mécaniques etérieures ctions mécaniques intérieures Eemple : Pince schrader. S S S 3 (S 0 ) : Bâti (S ) : Piston (S ) : Biellette (S 3 ) : Doigt Soit (E ) l'ensemble constitué par les solides (S ), (S ) et (S 3 ) Bilan des actions mécaniques etérieures qui agissent sur le sstème (E ) Soit (E ) l'ensemble constitué par le solide (S ) S 0 Bilan des actions mécaniques etérieures qui agissent sur le solide (E ) Dnamique Page /6

2 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. IV. Modélisation d une action mécanique (Le torseur d action mécanique). Notion de force élémentaire On appelle force, l'action mécanique qui s'eerce mutuellement entre deu particules élémentaires, pas forcément en contact. Une force est toujours appliquée en un point. Elle est modélisée par un vecteur, caractérisé par : S - S F S S Unité : Notation : Point d application. Coordonnées d un vecteur R α 3. Notion de résultante La somme des forces élémentaires appliquées de l etérieur sur un solide S est appelée. Elle est notée : Dnamique Page /6

3 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. 4. Notion de moment Les effets phsiques d une action mécanique (notée.m.) dépendent de la position et de l orientation dans l espace de la résultante p associée à cette.m. On est amené à introduire la notion de moment de la résultante p pour caractériser complètement l.m. 3 P a b P La balançoire est en équilibre 3 On change... la balançoire n'est plus en équilibre P a b P P 3 a b P On change... la balançoire n'est plus en équilibre 3 P On change... la balançoire n'est plus en équilibre b P a a. Epression du moment d une force : Bras de levier b. Convention de signe pour le moment : Dnamique Page 3/6

4 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. c. Produit vectoriel Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. D un point de vue géométrique, le produit vectoriel de deu vecteurs et de E non colinéaires se définit comme l unique vecteur tel que : Direction Sens de : Règle des trois doigts de la main droite : Pouce :... Inde :... Majeur :... Règle du tire-bouchon : Norme de : Propriétés Dnamique Page 4/6

5 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. d. Calcul d un produit vectoriel avec les coordonées. [ [ Calcul de [ e. Moment d une résultante par rapport à un point On appelle moment par rapport au point de la résultante R appliquée au point M, le vecteur d origine défini par la relation : z O M (R) () Unité : d M R Corollaire : La relation ci-dessus reste valable pour n importe quel point B appartenant à la direction () de R : f. Définition géométrique du vecteur moment _M(R) - origine : - direction : - sens : Dnamique Page 5/6

6 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. 5. Torseur associé à l action mécanique Pour définir complètement une action mécanique nous avons besoin de deu vecteurs : Une résultante : et un moment M B L ensemble de ces deu vecteurs et, définis en un point B, est appelé torseur de l action mécanique relative à la résultante. Il est noté : τ / B B Remarques : Le point B n est pas nécessairement un point appartenant au solide ; et sont appelés éléments de réduction du torseur {T / } ; 6. Principe des actions mécaniques mutuelles Principe des actions mutuelles : Soient deu solides et, B B B Dnamique Page 6/6

7 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. 7. ctions mécaniques particulières a - Torseur glisseur b - Torseur couple On appelle torseur glisseur, tout torseur On appelle torseur couple, tout torseur associé à une action mécanique dont le associé à une action mécanique dont la moment est nul en un point. résultante est nulle. τ R / / B 0 B τet B B 0 MB( R et ) Eemple : Remarque : les éléments de réduction d un torseur couple sont les mêmes en tout point. V. ctions mécaniques à distance. ctions mécaniques dues à la pesanteur Définition : Le poids d un solide peut être représenté par un vecteur résultante noté p et appelé poids du solide tel que : - Point d application : - Direction : - Sens : - Intensité ou norme : Dnamique Page 7/6

8 Unités P : m : g : COURS Dnamique ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. VI. Modélisation de l action mécanique de surface. ction de surface entre deu solides ctions réelles appliquées de sur Modélisation de ces actions L action mécanique de contact surfacique est modélisable par un vecteur F tel que : Point d application : Direction : Sens : Intensité :. ction mécanique due à la pression d un fluide sur une surface Les actions mécaniques de contact d un fluide sur une surface plane (S) peuvent se modéliser par un torseur d action mécanique au centre G de la surface (S) tel que : Dnamique Page 8/6

9 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. (pression p) G R (fluide S) τf S G G avec : p : fluide (S) S : : Unités légales : utres unités : Unités pratiques : Eemple : bocal à poisson Représentez la répartition de pression sur la paroi du bocal : Eemple : Barrage hdraulique Représentez la répartition de pression sur la paroi du barrage : Dnamique Page 9/6

10 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. VII. ction transmissible par une liaison parfaite Soient et deu solides en contact.. Hpothèses Une liaison parfaite entre deu solides et est caractérisée par : Des surfaces de liaison géométriquement parfaites et indéformables ; Des ajustements sans jeu ; Des contacts sans frottement.. Réciprocité mouvement relatif / actions mécaniques associées. Les mouvements possibles du solide par rapport au solide sont notés R, R et Rz (rotations) et T, T et Tz (translations). Si un mouvement (rotation ou translation) est possible suivant un ae, alors il n a pas de composante d effort (respectivement couple ou force) transmissible suivant cet ae. 3. Eemple : La liaison pivot z Mobilités T = R = T = R = Tz = Rz = ction transmissible (Résultante) (Moment) X L Y M Z N Dnamique Page 0/6

11 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. 4. Modélisation plane des actions mécaniques Dans certains cas, l étude du mécanisme dans l espace peut être délicate. On recherche alors une possibilité de réduire l étude à un problème plan, sous certaines hpothèses. Hpothèses La surface de contact a une géométrie et des actions transmissibles qui présentent une smétrie par rapport à un plan ; On choisit alors un repère local dont les aes sont confondus avec les aes de smétrie de la liaison. Surface de contact entre (S ) et (S ) z (P) z H (P) plan de smétrie z et (points de contact) et efforts transmissibles, smétriques par rapport au plan (P) Simplification : Lorsque les hpothèses sont réunies, l écriture du torseur d action mécanique transmissible par la liaison se simplifie. Subsistent : La composante du moment portée par l ae perpendiculaire au plan de smétrie ; Les composantes de la résultante contenues dans le plan de smétrie. Dans notre eemple, le plan de smétrie est (,, ), le torseur en associé au efforts transmissibles par cette liaison a la forme : Forme générale : Simplification : Forme simplifiée (smétrie) : ( SS ) X L SS, SS X L SS, SS Y M SS, SS Y M SS, SS Z N, ZS S N, SS SS SS (6 inconnues) (3 inconnues) Pour une liaison parfaite particulière, parmi les composantes ci-dessus, certaines sont nulles. Mais il n a jamais plus de trois inconnues. Dnamique Page /6

12 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. 5. Tableau récapitulatif : Liaisons parfaites Tableau récapitulatif de quelques torseurs transmissibles par des liaisons parfaites : Tpe de liaison et Torseur d action Torseur d action repère local associé R=(,,, z Schématisation Schématisation spatiale Mobilités mécanique mécanique plan ) transmissible Simplifié Pivot d ae (, ) Glissière d ae (, ) Pivot glissant d ae (, ) ppui plan De normale (, ) Sphérique de centre Linéaire circulaire de centre et d ae (, ) Linéaire rectiligne de normale (, ) droite de contact (, ) Dnamique Page /6 Ce tableau n est pas ehaustif Smétrie par rapport à (,, z ) Smétrie par rapport à (,, z ) Smétrie par rapport à (,, z ) Smétrie par rapport à (,, ) Smétrie par rapport à (,, ) Smétrie par rapport à (,, z ) Smétrie par rapport à (,, z ) z z z z z

13 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. VIII. Principe fondamental de la dnamique (PFD). Notion de repère galiléen : Repère absolu : C est le repère fie par rapport à l ensemble de l univers. Repère de Copernic : Son origine est le centre d inertie du sstème solaire (proche du soleil) dont les aes passent par des étoiles fient entre elles. En mécanique classique, les vitesses sont négligeables devant la vitesse de la lumière ( km/h), on admet donc que le repère de Copernic est absolu). Repère galiléen : Repère animé d un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic. Remarque : En négligeant la vitesse de rotation de la terre (tour/4h) et en considérant le raon de courbure de la trajectoire elliptique de la terre très grand, on supposera le repère terrestre comme galiléen.. Cas d un solide ʺponctuelʺ Le solide (S) de masse m est suffisamment petit pour qu on puisse le représenter par un point M. Si le solide S est soumis à des actions etérieures se réduisant à une résultante Somme des actions etérieures = Masse vecteur accélération du point M Unités : : Newton (N) : Masse en Kg : ccélération en m/s² 3. Equations générales dans le cas d un solide quelconqueʺ Le Solide S a une masse M. Contrairement au solide ponctuel, celui-ci peut subir des efforts en différents point qui peuvent le faire tourner. Il aura donc une équation des moments en plus. Dnamique Page 3/6

14 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. Le solide S est considérer comme une somme de points M i de masse m i ce qui donne les relations suivantes : Si le solide est soumis à des actions etérieures quelconques alors son mouvement dans un repère galiléen est tel que : Quel que soit le point On peut aussi écrire cette relation avec des torseurs { } { } Dépend des actions Etérieures Dépend du mouvement (Compliquer à calculer dans le cas général) 4. Equations du PFD dans le cas particulier : Mouvement de translation Dans le cas particulier ou le solide S de masse M est en mouvement de translation, son mouvement est défini par : Uniquement au centre de gravité G du solide : accélération du centre de gravité du solide S (m/s²) : Somme des actions etérieures appliquées à S (N) : Somme des moments etérieurs appliqués à S (N.m) Dnamique Page 4/6

15 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. 5. Equations du PFD dans le cas particulier : Mouvement de rotation Epérience : Les masses M sont lâchées en même temps, entraînant S et S en rotation S S Constatation : La masse de droite descend plus vite : Le solide S est plus facile à mettre en rotation que S. (il est aussi plus facile à freiner). Les deu solides ont les même masses, mais réparties différemment autour de l ae de rotation : ils n ont pas le même «moment d inertie» moment d inertie d un point matériel ou d une masse élémentaire : Le moment d inertie J par rapport à l ae du point matériel de masse élémentaire m ou dm situé à la distance r de l ae de rotation est égal à : J = r dm unités: kg.m r M dm moment d inertie d un solide quelconque Ce solide est la somme des points M i de masses dm i Moment d inertie du solide (S) par rapport à l ae (o,z). Rq : Calcul impossible en classe de terminale Dnamique Page 5/6

16 ctions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance. moments d inerties usuels Clindre plein : Clindre creu : Equations du PFD pour une rotation. Rq : pour appliquer ces relations il faut que le solide tourne autour d un ae fie et que cet ae passe par le centre de gravité du solide. Dans ce cas-là on peut écrire les équations suivantes : En tout point O de l ae de rotation : accélération angulaire du solide S (rd/s²) : Somme des actions etérieures appliquées à S (N) : Somme des moments etérieurs appliqués à S (N.m) : Moment d inertie du solide S autour de l ae Oz (Kg.m²) Dnamique Page 6/6