CI 6 MODELISER LES ACTIONS MECANIQUES ENTRE SOLIDES INDEFORMABLES

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1 CI 6 MELISER LES ACTINS MECANIQUES ENTRE SLIES INEFRMABLES B1 Identifier et caractériser les grandeurs physiques Flux de matière Qualifier la nature des matières, quantifier les s et les masses B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement Actions mécaniques : - modélisation locale, actions à distance et de contact - modélisation globale, torseur associé Liaisons : - torseur des actions mécaniques transmissibles dans les liaisons normalisées - associations de liaisons en série et en parallèle Associer un modèle à une action mécanique éterminer la relation entre le modèle local et le modèle global Associer le paramétrage au modèle retenu Associer à chaque liaison son torseur d actions mécaniques transmissibles n supposera comme dans les chapitres précédents que les solides sont géométriquement parfaits et indéformables. n constate que les ensembles matériels se déplacent et se déforment. n associe le terme général de «force» aux causes de ces phénomènes. Pour pouoir mettre en équations les phénomènes physiques qui nous préoccupent, on a associer un modèle mathématique à ce concept de force ou plutôt d action mécanique. I. MISE EN EVIENCE. Tout système est en permanence soumis à des actions. Exemple de la pince Schrader : L action du poignet sur la pince, l action de la pièce sur la pince n appelle ces Actions : Actions Mécaniques. Robot Shrader éfinition d une AM. n appelle Action Mécanique (notée AM) toute cause capable : - de maintenir un corps au repos, Modèle global - de créer ou modifier un mouement, - de déformer un corps. Modèle local Pince Shrader seule SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 1

2 II. MELISATIN LCALE 1. LES ACTINS MECANIQUES A ISTANCE (QUI AGISSENT SUR LE VLUME). Chaque élément de de l ensemble matériel subit une action mécanique élémentaire. (action olumique) Exemples : df ϕ. dv Attraction terrestre (action de la pesanteur). Champ magnétique d un aimant (action magnétique) 2. LES ACTINS MECANIQUES E CNTACT (QUI AGISSENT SUR LA SURFACE) Elles s appliquent directement sur la surface frontière des ensembles matériels en contact (action ponctuelle ou surfacique). Exemples : df λ. ds Entre deux solides (action de liaison). Entre un solide et un fluide (action de pression) 3. MELE LCAL UNE ACTIN MECANIQUE Principe de ce modèle : Représenter localement toutes les actions mécaniques élémentaires en tout point Q où elles agissent : c'est-à-dire sur un élémentaire d ou une surface élémentaire ds. bjectif de ce modèle : Etudier des pressions de contact, et des déformations de solides (notions qui sortent du cadre de otre programme) Modélisation par un champ de ecteurs df (Q) : Exemple de l action mécanique élémentaire de contact de la pièce sur le doigt de la pince : Q Cette action mécanique élémentaire est modélisée en son point d application Q par un ecteur lié df pièce doigt (Q) dont les caractéristiques sont : un point d'application Q, une direction, un sens, une intensité dont l unité est le NEWTN (N). SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 2

3 III. MELE GLBAL : TRSEUR EFFRT ASSCIE Principe de ce modèle : Représenter globalement les actions mécaniques (dans le cas de solides indéformables). bjectif de ce modèle : Etudier l'équilibre ou le mouement (aec actions mécaniques) de solides indéformables. Cette représentation fait disparaître l effet local, mais est très efficace pour appliquer les lois de la Mécanique : Principes fondamentaux de la Statique (PFS) ou de la ynamique (PF). Modélisation par un torseur (résultante + moment) : R df 1 ère étape : Notion de résultante : pièce doigt pièce Exemple de l action mécanique de contact de la pièce sur le doigt de la pince : doigt R pièce doigt df pièce doigt Q) ( ( pièce doigt Cette action mécanique est modélisée en un point particulier A par un ecteur lié Rpièce doigt (appelée résultante) dont les caractéristiques sont : un point d'application A, une direction, un sens, une intensité dont l unité est le NEWTN (N). R est la somme de tous les petits df (Q) ) pièce doigt où est le domaine sur lequel s exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un ). M Q df 2 ème étape : Notion de moment résultant : pièce doigt pièce., doigt La modélisation de l action mécanique par une résultante en un point particulier est : suffisante pour un point appartenant au support de l action, puisqu elle prend en compte l action de tirer ou pousser. insuffisante pour un point n appartenant pas au support de l action, puisqu elle ne prend pas en compte l action de tordre. A En effet si on s intéresse à l effet de l action mécanique précédente au point, celle-ci a tendance à : - pousser le doigt dans une direction erticale parallèle à Rpièce doigt. - tordre le doigt autour de l axe z. SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 3

4 Par conséquent, nous modéliserons l action mécanique de la pièce doigt en : Y X A ü par une résultante Rpièce doigt qui a tendance à pousser dans une direction (résultante inchangée par rapport à celle modélisée en A) d ü et par un 2 ème ecteur lié (appelée moment et notée M,pièce doigt qui a tendance à tordre autour d un axe et dont les caractéristiques sont : un point d'application, une direction, un sens, une intensité dont l unité est le NEWTN MÈTRE (N.m). R pièce doigt df pièce doigt et M, pièce doigt Q df pièce doigt où est le domaine sur lequel s exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un ). Bilan : Torseur de l action mécanique globale. Lorsque l on s intéresse, pour une résultante, à un point différent d un des points de son support, on dit que la résultante induit un moment par rapport à ce point. Ainsi, pour traduire aec précision les effets d une action mécanique en n importe quel point d un solide, il faut caractériser cette action mécanique par une Résultante et un Moment (ceux-ci pouant être nul). C est pourquoi, nous utiliserons l outil mathématique qui permet de regrouper ces 2 informations : le torseur. éfinition du torseur d action mécanique : Le torseur d action mécanique est défini en un point donné par ces«deux éléments de réduction» : une résultante R indépendante du point d'expression du torseur. un moment M fonction du point choisi. T 1 2 R M,1 2 df Q df1 2 Rappel : M M B,1 2 + R1 A, 2 BA Remarque : Calcul du moment d un glisseur par la méthode du «bras de leier». d Y A X M M M + A R, A,1 2, 1 2 ( d. x +?. y) ( R1 2. y) SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 4

5 M d R. z,. M d, 1 2. R d est appelé bras de leier (distance entre le point et le support de la résultante au point A). IV. ACTIN MECANIQUE A ISTANCE : CAS E LA PESANTEUR. 1. HYPTHESE U SLIE HMGENE : ρ ρ cste. Q solide, la masse olumique reste constante : ρ ρ cste (Hypothèse qui n est pas alable pour du béton par exemple) 2. MELE LCAL : df pes. g. d 1 ρ. Soit un solide 1, de V, placé dans le champ de pesanteur g tel que g g.z (Par défaut, on prend : g 2 9,81m.s ). Le champ de la pesanteur est orienté suiant la erticale descendante. Il produit en tout point Q du solide 1 une action mécanique élémentaire df pes ( ) proportionnelle au élémentaire d entourant Q : 1 Q df pes ρ. g. d. g. d (car solide homogène) 1 ρ 1 d Q z df 1 (Q) pes 3. MELE GLBAL. NTIN E PIS : Rpes 1 m. g. Selon la définition d une résultante : NTIN E CENTRE E GRAVITE : Selon la définition d un moment : R df ( pes 1 pes 1 Q). g. d. g. d ρ ρ ρ. g. V m. g V.G Q.d. ( Q ρ.g.d ) Q.d ρ. g M,pes 1 Q dfpes 1(Q) Pour simplifier l expression de ce moment, on choisit de l exprimer non au point mais en un point G, tel que GQ.d. Ainsi en ce point G, M GQ.d G,pes 1 ρ.g. Le point G peut être également définit en faisant interenir le point, origine du repère : SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 5

6 GQ.d (G + Q).d G.d + Q.d V.G + Q.d V.G Q.d Le point G ainsi défini, appelé centre de graité, est le barycentre des points Q chacun pondéré du facteur d. Action de la pesanteur Expression globale : { T } pes 1 G m.g. Le torseur de la pesanteur est donc un torseur glisseur dont l expression la plus simple est obtenue en G. L axe central du torseur passe par le centre de graité et est ertical. NB : Pour les solides dont une dimension est négligeable (plaque) ou pour les solides unidimensionnels (fil), le domaine d intégration est une surface (S) ou une ligne (L). V. LIS E CULMB 1. NTIN AHERENCE ET FRTTEMENT. 1/ Le frottement ou l adhérence sont des phénomènes qui tendent à s opposer au mouement ou, à la tendance au mouement relatif de 2 pièces en contact. 2/ S il existe un mouement relatif entre les 2 pièces en contact, on dit qu il y a frottement. 3/ S il existe une tendance au mouement relatif entre les 2 pièces en contact (mais sans mouement ), on dit qu il y a adhérence. 4/ L équilibre strict se situe juste aant le mouement (il n y a pas encore de mouement). 2. MELISATIN ES ACTINS MECANIQUES E CNTACT SURFACIQUE. Modèle local : Lois de Coulomb. Soient deux solides S1 et S2 en contact sur une surface S. L action mécanique élémentaire df 1 2 (Q) de S1 sur S2 au point Q se projette sur la normale et dans le plan tangent commun à S1 et S2 en Q telle que : df1 dn1 + dt1 où dn 1 2 (Q) caractérise la répartition d action normale (pression de contact) dn 1 2 (Q) p(q). ds dt 2 (Q) 1 caractérise la répartition d action tangentielle (adhérence ou frottement) dt1 µ a limite.dn1 SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 6

7 Cas de l adhérence (équilibre stable) Cas de l adhérence limite (équilibre strict ou instable) Cas du frottement (glissement) Vitesse de glissement VQ 2 / 1 Vitesse de glissement VQ 2 / 1 Vitesse de glissement VQ 2 / 1 Cône d adhérence S2 Cône d adhérence S2 Cône de frottement S2 dn 1 2 (Q) df 1 2 (Q) dn 1 2 (Q) df 1 2 (Q) dn 2 (Q) 1 df 2 (Q) 1 ϕ a limite ϕ a ϕ a limite ϕ f VQ 2 /1 Q Q Q Π(Q) ds dt 2 (Q) 1 Π(Q) ds dt 2 (Q) 1 Π(Q) ds dt 2 (Q) 1 S1 S1 S1 ϕ a (angle d adhérence) dt1 < µ a limite. dn1 aec coef d adhérence µ a limite tanϕalimite L action mécanique élémentaire df 2 (Q) 1 se situe ANS le cône d adhérence ϕ alimite (angle d adhérence limite) ϕ f (angle de frottement) dt1 µ a limite. dn1 aec coef d adhérence µ a limite tanϕalimite L action mécanique élémentaire df 2 (Q) 1 se situe SUR le cône d adhérence (de sommet Q et de demi-angle au sommet ϕ ) (de sommet Q et de demi-angle au sommet alimite ϕ ) alimite L action tangentielle d adhérence dt 2 (Q) 1 s oppose à la tendance au glissement de 2/1. La direction de dt 1 2 (Q) est donc indéterminée puisque l on ne connaît pas la tendance au glissement de 2/1 L action tangentielle d adhérence dt 2 (Q) 1 s oppose à la tendance au glissement de 2/1. La direction de dt 1 2 (Q) est donc indéterminée puisque l on ne connaît pas la tendance au glissement de 2/1 dt1 µ f. dn1 aec coef de frottement µ f tan ϕ f L action mécanique élémentaire df 2 (Q) 1 se situe SUR le cône de frottement (de sommet Q et de demi-angle au sommet L action tangentielle de frottement ϕ f ) dt 2 (Q) 1 s oppose au glissement de 2/1 : VQ 2/1 dt1 (colinéaire) VQ 2 /1 dt1 < (de sens opposé) SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 7

8 Récapitulatif sur l éolution des actions tangentielles d adhérence T a et de frottement T f. L action tangentielle de frottement T f est à l origine des pertes d énergie par frottement. Si l objet est arrêté il faudra, pour le remettre en mouement, fournir une action F > µ a limite.n. Les différentes phases sont résumées sur le graphique : Coefficients d adhérence et de frottement : µ. µ a limite et µ f ne dépendent : ni de l intensité des actions exercées, ni de l étendue des surfaces en contact. Ils dépendent essentiellement : de la nature du couple de matériaux en contact, de la rugosité des surfaces en contact, de la lubrification (sec ou lubrifié), de la température au nieau des surfaces en contact qui peut faoriser des microsoudures ou la rupture du film d huile si le contact est lubrifié, de la itesse de glissement Toutefois, en première approximation, on considère que le paramètre prépondérant concerne uniquement la nature du couple de matériaux en contact. Matériaux en contact Adhérence Frottement µ a limite tan ϕ a limite µ f tan ϕ f A sec Lubrifié A sec Lubrifié Acier sur acier,18,12,15,9 Acier sur fonte,19,1,16,8 à,4 Acier sur bronze,11,1,1,9 Téflon sur acier,4,4 Fonte sur bronze,1,2,8 à,4 Nylon sur acier,35,12 Bois sur bois,65,2,4 à,2,16 à,4 Métaux sur bois,6 à,5,1,5 à,2,8 à,2 Métal sur glace,2 Pneu oiture sur route,8,6,3 à,1 sur sol mouillé NB : Le coefficient d adhérence est toujours supérieur au coefficient de frottement ( µ a limite > µ f ). Mais étant donné le grand nombre de paramètres qui interiennent dans leur détermination, on considère souent, par mesure de simplification, que ces deux coefficients sont égaux et nommés µ ou f. SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 8

9 VI. ACTIN MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISN PARFAITE. 1. BJECTIF. Nous allons nous intéresser aux possibilités de transmission d actions entre les pièces constituant une liaison parfaite (compte tenu de la géométrie des surfaces de contact). 2. RAPPEL SUR LES LIAISNS PARFAITES. Une liaison parfaite est définie par : des surfaces de contact géométriquement parfaites, des jeux de fonctionnement nuls entre les surfaces de contact, un contact entre surfaces supposé sans adhérence. 3. UALITE TRSEUR CINEMATIQUE / TRSEUR E L ACTIN MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISN PARFAITE. ÉTUE E L ACTIN MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE GLISSIERE. Soit la liaison glissière de direction x supposée parfaite entre les pièces 1 et 2 : Quels sont les mouements élémentaires possibles? Translation suiant la direction x. Peut-on transmettre une action de 1 sur 2 suiant ce degré de liberté? Non. En reanche peut-on transmettre une action de 1 sur 2 suiant les 5 degrés de liaison? ui, les composantes de la résultante Y, Z et les composantes du moment L, M et N sont transmises d une pièce à l autre. Ainsi il existe une dualité entre le torseur cinématique et le torseur de l action mécanique transmissible par la liaison glissière : Forme générale Forme générale du Torseur de l action mécanique du Torseur cinématique transmissible L,2 1 x,p 2 /1 T 2 /1 2 M,2 1 Z 2 1 N,2 1 P (x,...,...) V Généralisons. Lorsqu un degré de liberté est supprimé entre 2 solides 1 et 2, il en résulte alors une composante dans le torseur de l action mécanique transmissible de (qui empêche le mouement). SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 9

10 A. TABLEAU GENERAL ES TRSEURS CINEMATIQUE ET E L ACTIN MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISN PARFAITE. Parmi toutes les liaisons enisageables, la norme NF EN IS (mai 95) a retenu les plus courantes. Représentation Spatiale Représentation plane Nom Forme générale du Torseur cinématique Forme générale du Torseur de l action mécanique transmissible Complète ou encastrement La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de l espace. { V } 2 / 1 P (...,...,...) X2 1 Z A 2 1 L A,2 1 MA,2 1 N A,2 1 La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de l espace. Glissière de direction x x,p 2 /1 { V } 2 /1 P (x,...,...) Z A 2 1 L A,2 1 MA,2 1 N A,2 1 La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de l espace. Appui plan de normale y x,p 2/1 { V 2/1} ωy,2/1 P (A,y) z,p 2/1 (x, P (A,y) LP,2 1 N P,2 1 (x,y,z Linéaire rectiligne de ligne de contact (,x ) et de normale y (ou alors cylindreplan de ligne de contact (,x ) normale y ) et de Ponctuelle de point de contact et de normale y (ou alors sphèreplan de point de contact et de normale y ) La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A du plan (,x, y x,2/1 x,a 2/1 { V } ω 2/1 A y,2/1 z,a 2/1 P (A,y) N P,2 1 (x,y,z La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de la normale (,y). x,2/1 x,a 2/1 { V } ω 2/1 y,2/1 A ωz,2/1 z,a 2/1 P (,y) (...,y,.. SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 1

11 La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de l axe (,x) Piot d axe,x ( ) ou x,2 / 1 { V } 2 / 1 P (,x) (x,...,...) X2 1 Z A 2 1 MA,2 1 N A,2 1 La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de l axe (,x) Piot glissant,x d axe ( ) ou x,2 / 1 x,p 2 / 1 { V 2 / 1} P (,x) (x,... Z A 2 1 MA,2 1 N A,2 1 (x,y,z La forme de ces 2 torseurs reste identique pour tout point A de l axe (,x) Hélicoïdale,x et de pas p d axe ( ) ou ou p X2 1 ω ± ω x,2 / 1 x,2 / 1. 2 / 1 2 π { 1} Y2 1 Z2 1 A P (,x) (x,..., { V } p ± X2 1. MA,2 1 N A,2 1 (x,y Car Pint R1 2.VA 2 / 1 + MA,1 2. Ω2 / 1 (rad) ± p (mm) p p p x ±θ. x ±ωx. pas à droite X1 2. ωx,2 / 1. + LA,1 2. ωx,2 / 1 θ (rad) x (mm) p pas à gauche X1 2.( ωx,2 / 1. ) + LA,1 2. ωx,2 / 1 Pas à droite p +ωx. et p x L X. Pas à gauche p ωx. et p x L + X. Sphérique à doigt d axes,y,z ( ) et ( ) (ou alors sphérique à doigt de rotation interdite (,x )) { V 2 / 1} ωy,2 / 1 ωz,2 / 1 X2 1 Z 2 1 L,2 1 (x,y,z Rotule de centre x,2 / 1 { V 2 / 1} ωy,2 / 1 { T } ωz,2 / 1 X Y2 1 Z 2 1 Linéaire annulaire de centre et de direction x ou alors sphèrecylindre de centre et de direction x x,2 / 1 x, 2 / 1 { V 2 / 1} ωy,2 / 1 { T } ωz,2 / Y2 1 Z 2 1 SCIENCES INUSTRIELLES E L'INGENIEUR 11