Exercices : 30 - Physique statistique

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1 1 Exercices : 30 - Pysique statistique Sciences Pysiques MP Exercices : 30 - Pysique statistique 1. Atmospère isoterme On rappelle que la loi de la statique des fluides conduit, dans une atmospère isoterme, à une loi d évolution de la pression en fonction de l altitude z de la forme suivante : P(z) = P 0 exp Mgz RT où M est la masse molaire moyenne de l atmospère, g l accélération de la pesanteur, R la constante molaire des gaz parfaits telle que R = N A k B et T la température. P 0 est la pression à l altitude z = Quelleestlaloid évolutiondeladensitévolumiquemoyennen v departiculesdansl atmospèreisoterme en fonction de l altitude z? 2. On considère que l atmospère est uniquement composée de diazote N 2 et de dioxygène O 2. Au niveau de lamer,onconsidèrequelesfractionsmolairesdesdeuxcomposéssontdanslerapport4:x N2 = 4x O2.Pour une atmospère isoterme à T = 290K, quel est le rapport des fractions molaires à 4000m d altitude? 2. Quantification ou continuum d énergie? On considère des molécules de diazote N 2 dans un espace unidimensionnel, appelé boîte, de largeur L = 10,0cm. Le potentiel est supposé nul dans la boîte et infini en deors. 1. En résolvant l équation de Scrödinger, exprimer l énergie E n d une molécule de masse m dans cette boîte, pour un état stationnaire indexé par un nombre n à définir. 2. Calculer l écart entre les deux plus bas niveaux d énergie d une molécule. 3. On suppose que les molécules ne peuvent être que dans les deux plus bas niveaux d énergie, et que le nombre de molécules dans cacun de ces deux états obéit à une loi statistique de Boltzmann à la température T. Donner l expression de la proportion de molécules de plus aute énergie. Effectuer l application numérique à T = 300K. 4. Pour quelle valeur du niveau d énergie n, l énergie atteint-elle l énergie d agitation termique à T = 300K? Exprimer alors l écart d énergie entre les niveaux n et n+1. Peut-on répondre à la question du titre de l exercice? On donne : = 6, J s, k B = 1, J K 1, A = 14 (nombre de masse de l azote), m a = 1, kg (unité de masse atomique). Réponses : Eϕ = 2 d 2 ϕ 2m dx +Vϕ d où d2 ϕ 2 dx + 2mE 2 ϕ = 0 de solution ϕ = Acos 2mE 2 x+bsin 2mE xϕ(x = 0) = 0 impose A = 0 et ϕ(x = L) = 0 impose 2mE L = nπ d où E n = n 2 π2 2, E 2 2,1 = E 2 E 1 = 3π2 2 et 2 n 2 n 1 = exp 3π2 2 n2 2 k BT, on trouve n 1 1 car k B T = 4, J et E 2 E 1 = 3, J; pour une molécule diatomique, on a < E c >= 5 2 k BT = n 2 π2 2 5k, on trouve n = BTmL 2 2 π 2 9, valeur très élevée et 2 E n+1,n = π2 2 (2n + 1) pour la valeur de n précédente E 2 n+1,n = 2, J k B T, on a donc un continuum d énergie. 3. Expérience de Jean Perrin Dans son livre Les atomes publié en 1913, Jean Perrin décrit des expériences qui lui ont permis de mesurer la constante d Avogadro. Il observe au microscope une suspension de grains spériques dans l eau, tous les grains ayant un rayon a de l ordre d un dixième de micron. La suspension est observée dans une cuve de 100µm de profondeur. La densité des grains est d = 1, Caque grain est soumis à son poids et à la poussée d Arcimède. Montrer que l énergie potentielle E p (z) d un grain d altitude z est de la forme E p (z) = Az où A est une constante que l on exprimera en fonction de g, d, a et de la masse volumique de l eau µ eau. 2. En faisant l ypotèse que les grains suivent la loi de Boltzmann, déterminer une longueur caractéristique dépendant de A et T, longueur caractérisant la répartition des grains selon l axe Oz. Quel est l ordre de grandeur de à la température ambiante T = 293K? Commenter. 3. Le rayon des grains utilisés est a = 0,212µm. Jean Perrin a trouvé que les concentrations des grains en quatre plans orizontaux équidistants traversant la cuve aux niveaux 5, 35, 65 et 95 µm sont proportionnelles aux nombres 100, 47, 23 et 12. En déduire une valeur approcée de la constante d Avogadro sacant que la constante des gaz parfaits est R = 8,314J K 1 mol 1. On prendra T = 293K.

2 Sciences Pysiques MP Exercices : 30 - Pysique statistique 2 4. Expérience de Kappler L expérience de Kappler en 1931 a permis de mesurer la constante de Boltzmann k B en étudiant les fluctuations de position d un petit pendule de torsion placé dans une enceinte termostatée à la température T. Le pendule est constitué d un petit miroir suspendu à un fil de quartz. Ce miroir peut tourner autour de l axe vertical du fil. Lorsque sa position est repérée par l angle θ par rapport à la position d équilibre, le miroir subit un couple de rappel Cθ. À ce couple est associée une énergie potentielle E p = 1 2 Cθ2. 1. Un rayon lumineux arrive sur le miroir en faisant un angle θ par rapport à la normale à celui-ci. Quel est l angle d émergence du rayon réfléci? Le rayon réfléci arrive sur un écran situé à grande distance du miroir, soit L cette distance. Exprimer le déplacement du rayon lumineux sur l écran lorsque le miroir tourne et que l angle d incidence θ varie d une très petite quantité θ. 2. Du fait des cocs des molécules du gaz sur le miroir, l angle θ fluctue autour de 0. En utilisant l équipartition de l énergie, exprimer < θ 2 >. Quelle valeur de k B Kappler a-t-il trouvé? Il a travaillé avec T = 287,1K, C = 9, N m, L = 0,865m. Il a mesuré < d 2 >= 1, m Le fil était en quartz, de longueur l et de diamètre δ. Sa constante de raideur est C = G πδ4 32l où G = 3, Pa est le module de rigidité du quartz. En supposant que l était de l ordre de 1m, déterminer l ordre de grandeur de δ. Réponses : l angle d émergence est θ, le rayon a donc été dévié de π 2θ, s il y a des fluctuations de position du miroir de θ, alors l angle d émergence fluctue de 2 θ, le déplacement sur l écran est d = L2 θ; on a 1 2 C < θ 2 >= 1 2 k BT d où < θ 2 >= kbt C, on trouve k B = C 4L 2 T < d2 >= 1, J K 1 ; δ = ( ) 32V l 1/4 πg 4µm. 5. Ultracentrifugation Un cylindre de rayon a et de auteur est rempli d un gaz parfait masse molaire M. Ce cylindre est animé d un mouvement de rotation à la vitesse ω autour de son axe Oz par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen. On admet que le gaz atteint un état d équilibre dans le référentiel du cylindre et qu il a une température uniforme T. On ne tient pas compte de la pesanteur. 1. Le référentiel lié au cylindre est-il galiléen? Vérifier que l énergie potentielle dans ce référentiel d une molécule de masse m située au point de coordonnées (r,θ,z) est : E p = 1 2 mω2 r 2 2. On note n(r) la densité volumique de particule régnant dans le cylindre à la distance r de l ax Oz. Exprimer n(r) en fonction de M, ω, r, T et R la constante molaire des gaz parfaits. n(0) 3. Le dispositif précédent est à la base de la métode d enricissement de l uranium par ultracentrifugation. L exafluorure d uranium UF 6 est introduit dans des cylindres de rayon a = 20cm qui tournent à toursparminute.latempératureestt = 300K.Calculernumériquement n(a) n(0) danslecasd unemolécule 238 UF 6 de masse molaire M 238 = 352g mol 1, puis dans le cas d une molécule 235 UF Dans la nature, la fraction molaire de l isotope 235 U est égale à 0,72% et l opération d enricissement doit fournir un combustible contenant entre 3% et 5% de cet isotope. On note x 235 la fraction molaire de molécules d exafluorure contenant 235 U. Calculer x 235(0) x 235 (a). Réponses : le référentiel lié au cylindre n est pas galiléen du fait du mouvement de rotation, la force d inertie d entraînement est F i,ent = mω 2 r e r = grade p = dep dr e r, on trouve bien E p = 1 2 mω2 r 2 avec un coix judicieux de constante d intégration; n(r) = n(0)exp mω2 r 2 2k d où n(r) = n(0)exp Mω2 r 2 BT 2RT puisque M = N A m et R = N A k B ; pour 238 U on a n(a) n(0) = 22,1alorsque pour 235 U on a n(a) n(0) = 21,5puisque la masse molairen est plus que de 349g mol 1 ; compte tenu des pourcentages on a x 235 (0) = n235 n 235+n 238 n235 n 238 d où x235(0) x = 22,1 235(a) 21,5 = 1,03, le gaz est plus rice en isotope 235 U près de l axe de rotation, en renouvelant l opération plusieurs fois on peut atteindre la fraction molaire souaitée.

3 3 Exercices : 30 - Pysique statistique Sciences Pysiques MP Système à 3 niveaux d énergie On considère un système dont les N atomes peuvent occuper trois niveaux d énergie E 1 = E, E 2 = 0 et E 3 = +E où E est une constante positive. Ce système est en équilibre avec un termostat à la température T. Un telle situation situation se rencontre en Pysique dans des problèmes de magnétisme. 1. Calculer les nombres moyens N i pour i = (1,2,3) d atomes dans les trois états. Commenter les limites de basse et de aute températures. 2. Calculer l énergie moyenne E d un atome. 3. Tracer son évolution en fonction de la température et commenter. 4. Décrire qualitativement l évolution de la capacité termique à volume constant C V (T). 7. Effusion gazeuse Le récipient de la figure 1 est constitué de deux compartiments de même volume V, maintenus à la température T. Une mole d un gaz parfait remplit le compartiment (1) alors que le compartiment (2) est vide. À l instant t = 0, on perce un petit trou de section s entre les deux compartiments. On étudie le passage du gaz du compartiment (1) vers le compartiment (2), ce pénomène est appelé effusion gazeuse. (1) (2) e x Figure 1 Effusion gazeuse On note N 1 (t) et N 2 (t) les nombres de molécules dans les compartiments (1) et (2). Pour le gaz parfait, on adopte le modèle simplifié suivant : Toutes les molécules de gaz ont la même vitesse v q, vitesse quadratique moyenne. Les directions possibles des vitesses des molécules ne peuvent qu être e x, e y et e z. Les sens des vitesses des molécules sont réparties de façon équivalente entre toutes les possibilités. 1. Rappelerl expressiondelavitessequadratiquemoyennev q d unemoléculediatomiquedansungazparfait à l équilibre à la température T. 2. Établir l expression du nombre dn 1 2 de molécules contenues dans le compartiment (1) à l instant t qui traversent la surface s vers le compartiment (2) entre la date t et la date t+. 3. En déduire les expressions de dn 1 et dn 2 en fonction de N 1, N 2, s, v q et V. 4. Établir les expressions de N 1 (t) et de N 2 (t). Faire apparaître une constante de temps τ et commenter les solutions obtenues. Comment pourrait-on mesurer expérimentalement N 1 (t) et N 2 (t)? 5. Comment varie τ lorsque l on compare l effusion de diydrogène H 2 et l effusion de la molécule obtenue avec le deutérium isotope de l atome d ydrogène D 2? Expliquer comment dans un processus industriel lié à la fusion nucléaire, on peut enricir en deutérium un mélange H 2 D 2. Réponses : 1 2 mv2 q = 3 2 k 3k BT car il y a 3 degrés de liberté pour la translation d où v q = BT m, les deux autres degrés de liberté toucant deux rotations de la molécule ce qui fait que E c = 5 2 k BT ; dn 1 2 = sv q N1 6V ; dn 1 = svq 6V (N 2 N 1 ) et dn2 = svq 6V (N 1 N 2 ); N 1 + N 2 = N 0 et dn1 + svq 3V N 1 = svq 6V N 0 d où τ = 3V sv q et N 1 = N0 2 (1 +exp t τ ) et N 2 = N0 2 (1 exp t τ ); v q dépend de la masse et donc τ = A m, plus l isotope est lourd plus il aura besoin de temps pour remplir le second compartiment, on aura sur des temps d effusion court une différence entre les concentrations des isotopes, on a un peu plus du plus léger dans le compartiment 2, on peut faire se succéder plusieurs opérations d effusion pour augmenter la proportion du plus léger.

4 Sciences Pysiques MP Exercices : 30 - Pysique statistique 4 8. Fluctuations d énergie On considère un système de N particules indépendantes, pouvant être dans des états d énergies discrètes E 1, E 2,..., E i,... Le système est à l équilibre termique à la température T. On note : z(β) = i 1 exp βe i avec β = 1 k B T 1. Exprimer l énergie moyenne ε d une particule en fonction de la dérivée de lnz(β) par rapport à β. 2. Montrer que l écart quadratique moyen de l énergie d une particule ε est tel que : ( ε) 2 = d2 lnz 2 3. Relier la capacité termique C V du système total à ( E) 2, où E est l énergie des N particules. Commenter. Réponses : on a ε = i 1 p ie i avec p i = 1 z exp βe i, on remarque que dlnz 1 z i 1 ( E i)exp βe i, on remarque que ε = dlnz ; on a : on trouve que : d 2 lnz 2 = 1 z i 1 E 2 i exp βe i 1 z 2 dz ( E i )exp βe i i 1 = 1 z dz et donc dlnz = d 2 lnz 2 = ε 2 (ε) 2 = ( ε) 2 pour N particules on a donc E = Nε et ( E) 2 = N( ε) 2 ; on a C V = N dε dt = 1 k BT 2 ( E) Modèle d Einstein des solides Afin de pouvoir évaluer précisément la capacité termique d un solide, on utilise le modèle unidimensionnel d Einstein de Caque atome de masse m est considéré comme un oscillateur armonique au sens quantique à une dimension. Les niveaux d énergie d un tel système d énergie potentielle E p (x) = 1 2 mω2 x 2 sont quantifiés : E n = (n+ 1 ω ) ω. On pose u = 2 k B T. 1. Pour un solide en équilibre avec un termostat de température T, exprimer la probabilité p n (u) qu un atome soit dans l état indicé par n. 2. Montrer que l énergie moyenne ε(t) d un atome vaut : On donne : 1 nexp( αn) = n=0 4s 2 α 2 ε(t) = ω ( ) ω 2 cot 2k B T pour α > Évaluer la capacité termique molaire C V,mol (T) du solide. On rappelle la relation dcotx dx 4. Quelle est la limite à aute température? Quelle loi retrouve-t-on? 5. Tracer l allure de C V,m (T). = 1 s 2 x. 10. Mouvement brownien On considère une particule de taille de l ordre du micromètre plongée dans l eau. Du fait des collisions incessantes avec les molécules d eau, la particule a un mouvement aléatoire observable au microscope appelé mouvement brownien. On modélise ce mouvement en se limitant à sa projection sur une direction orizontale Ox. La particule a une masse m et sa position est x(t) avec x(0) = 0. On prend en compte les cocs des molécules d eau sur la particule de la manière suivante : Si la particule est fixe, la force exercée par l eau fluctue avec une écelle de temps (de l ordre de la durée entre deux cocs) très courte devant la durée d observation et sa moyenne est nulle : F eau,x = F(t) avec < F(t) >= 0. Si la particule est en mouvement, les cocs avec les molécules d eau ont pour effet de la freiner et l eau exerce sur elle la force : F eau,x = ẋ+f(t) où est une constante.

5 5 Exercices : 30 - Pysique statistique Sciences Pysiques MP On note < X > la moyenne d une grandeur X sur une durée intermédiaire entre le temps caractéristique des cocs et la durée d observation. On admet que : < dx >= d < X >. 1. Écrire le principe fondamental de la Dynamique pour une particule brownienne de masse m soumise uniquement à la force exercée par l eau. 2. En admettant que < xf(t) >= 0, montrer que : m d < xẋ > 3. Que vaut < ẋ 2 > si la température de l eau est T? = m < ẋ 2 > < xẋ > 4. Exprimer < xẋ > en fonction de k B T, et τ = m et t. 5. Montrer que, pour t τ, < x 2 > 2Dt où D s exprime en fonction de k B T et. 6. La particule brownienne est une spère de rayon a = 10µm, de masse volumique µ = 1, kg m 3, T = 298K et = 6πηa où η = 10 3 Pa s est la viscosité de l eau. On rappelle : k B = 1, J K 1. Calculer numériquement τ ainsi que la distance moyenne parcourue en une seconde. Réponses : mẍ = ẋ + F(t); on multiplie par x et on fait la moyenne, avec le résultat donné par l énoncé on obtient m < xẍ >= < xẋ >, or d<xẋ> =< dxẋ >=< ẋ 2 > + < xẍ > d où m d<xẋ> = m < ẋ 2 > < xẋ >; l équipartition de l énergie assure 1 2 m < ẋ2 >= 1 2 k BT ; on a m d<xẋ> + < xẋ >= kbt la solution avec la condition initiale est < xẋ >= kbt (1 exp t τ ); on a d<x2 > = 2 < xẋ >, on intègre la loi précédente et on obtient < x 2 >= 2kBT (t + τ(exp t τ 1)) pour t τ on peut écrire que < x2 > 2kBT t; D = kbt = 2, m 2 s 1, τ = 2µa2 9η = 46µs, en une seconde la distance est 2Dt 0,2µm.