Calcul des éléments de charpentes métalliques Phénomènes d instabilité élastique

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1 Calcul es éléments e charpentes métalliques Phénomènes instabilité élastique VI.1 Origine e phénomènes : Le calcul une structure eige que sous toutes les combinaisons actions possibles éfinies réglementairement la stabilité soit assurée. Tant globalement au niveau e la structure qu iniviuellement au niveau e chaque élément. Les actions éveloppent iverses sollicitations qui génèrent es contraintes au sein u matériau et es éformations es éléments. Afin e garantir le egré e sécurité souhaité e vérifier que les contraintes et les éformations restent en essous es limites amissibles. Deu cas e figures se présentent : 1. Le cas petits éformations : Tant que l on reste ans ce omaine es petites éformations on amet que les sollicitations ne varient pas (ou varie peu) sous l effet es éformations, ce qui conuit simplement à vérifier que les contraintes restent inférieures à la contrainte amissible.. Le cas e granes éformations : Dans ce cas, les éformations moifient consiérablement les sollicitations qui les ont initiées et nécessites es calculs spécifiques. L apparition e éformations importantes ans certaines pièces peut survenir : Dans le omaine élastique, lorsque la corrélation linéaire (Effort/Déformations) n est plus vérifiée, les éformations augmentent plus vite que les efforts appliquées. Dans le omaine élasto-plastique, lorsqu il a écoulement plastique. Les granes éformations affectent les zones comprimées es pièces qui peuvent présenter trois tpes e comportements caractéristique, énommés phénomènes instabilité qui sont : Le Flambement : Qui affecte les barres simplement comprimées (Flambement simple) ou comprimées et fléchies (Flambement en fleion composée) Page 1

2 Le éversement : Qui affecte les semelles comprimées es pièces fléchies. Le voilement : Qui affecte les âmes es pièces fléchies. L étue es phénomènes instabilité élastique est particulièrement importante en construction métallique, car ils sont très fréquents u fait e l utilisation es éléments minces et e gran élancement. VI. Le Déversement : VI..1 Introuctions : Les poutres fléchies sont en général constituées e profilés en ouble Té, profilés en I et H. comme leur inertie à l ae faible (-) est e beaucoup inférieure à celle relative à l ae fort (-) cela peut être la cause un phénomène instabilité appelé éversement. Pour illustré ce phénomène, prenons le cas e la poutre en porte à fau (encastré un coté et libre e l autre) sollicitée à son etrémité par une charge concentrée verticale Fig. 1. Si pour une faible charge elle se éforme (verticalement) que perpeniculairement à son ae e forte inertie, la partie comprimée u profilé va se éformer latéralement pour échapper à la compression si l on augmente la charge : la poutre éverse, ce qui fait subir à chaque section en plus e la éformation verticale un mouvement e translation horizontal accompagné une rotation autour e son centre e cisaillement. Fig. 1 Déversement une poutre en console élancée Page

3 Ce phénomène se prouit, une façon générale, lorsqu une poutre fléchie présente une faible inertie à la fleion transversale et à la torsion. La partie comprimée flambe latéralement et il eiste une valeur critique u moment e fleion (selon le plan e grane raieur), comme il eiste un effort normal critique provocant le flambement pour une barre comprimée, pour lequel la poutre fléchit ans le plan e sa plus faible inertie et en torsion. La fleion n est alors plus plane mais éviée et s accompagne une torsion et un gauchissement e la section (un éplacement par fleion latéral et e torsion). I Le éversement est très important lorsque I. Il n a pas e risque e éversement ans le cas ou la zone comprimé est empêché et maintenue ans le sens latérale. Les poutres empêchées e se éplacer latéralement sont ites «maintenues latéralement». Ces poutres ne sont pas affectées par le flambement hors u plan e leur semelle comprimée appelé «phénomène e éversement». Les poutres peuvent êtres consiérées comme maintenues latéralement si : Un blocage latéral e la semelle comprimée est assuré eemple un plancher en béton ou es tôles nervurés. Un blocage continu contre la torsion e la section est réalisé, théoriquement a n importe quel niveau (mais e préférences contre la semelle comprimée) eemple par es tôles nervurées fiées efficacement sur es profilés e faible hauteur 00mm Page 3

4 Il eiste es éléments ou ispositifs e contreventement latéral e la membrure comprimée ou e maintien e la section contre la torsion, «suffisamment rapprochés» (pannes, poutres transversales). Dans ce cas l élancement selon l ae faible e la poutre fléchie sera suffisamment petit. VI.. Détermination u moment critique e Déversement (Mcr) : Soit une poutre à ae longituinal rectiligne, parfaitement élastique, à section oublement smétrique, non maintenue sur sa longueur et ses etrémités posées sur es appuis à fourches, et soumettons-la à ses etrémités, istantes e L, à eu couples égau mais opposés, appliqués rigoureusement ans le plan e l âme (Fig. ). La semelle comprimée e la poutre se trouve alors soumise à un effort constant sur toute la longueur. C est e toute évience la sollicitation la plus éfavorable : elle sert, pour cette raison, e sollicitation e référence. Fig. Déversement une poutre en I sur appuis simples sous l effet un moment uniforme - il est à noter que seule une moitié e la poutre est représentée, les éformations maimales se situant à mitravée Page

5 Pour cette poutre iéale (ae longituinal parfaitement rectiligne et smétrie parfaite autour es eu aes principau inertie e la section) à section constante, faite un matériau à comportement élastique inéfini et strictement sollicitée ans le plan e forte inertie, il eiste une valeur critique es couples appliqués pour laquelle la poutre se trouve en état équilibre inifférent : soit elle se maintient ans un état éformé e fleion ans le seul plan e sollicitation, soit elle pren une configuration éformée spatiale associant, comme on l a vu, fleion latérale et torsion (Fig. ). Le moment critique élastique e éversement, associé à cet état équilibre inifférent, caractérise une instabilité par bifurcation équilibre. Il s agit là un concept commoe, mais peu réaliste ans la mesure où il omet les effets es imperfections - tant géométriques que structurales - e la poutre et e sa section transversale et postule un matériau inéfiniment élastique. L approche classique, utilisée pour l étue u éversement sous moment constant a été établi par Prantl (1899), consiste à intégrer la relation ifférentielle équilibre suivante : φ φ λ βφ 0 z z 1 L équation (1) est e ème orre où : λ GJ EH et β M E HI En appliquons les conitions au limites : φ ( Z 0) φ( Z L) 0 φ( Z 0) φ( Z L) 0 z z 3 La solution générale e l équation (1) φ A sin mz + A cosmz + A sinh nz + A cosh nz 1 3 Avec : m λ + λ + β λ + λ + β n et La résolution e l équation (1) en tenant compte e (), (3) et () permet e éterminer le moment critique e éversement : Page 5

6 M cr 1 π π EH EIGJ 1+ m L L GJ 5 Valeur e m : M M P m1 m0.7 q m0.89 Donc : M cr 1 π π EH EIGJ 1+ m L L GJ Où : EI : Rigiité e fleion transversale ; GJ : Rigiité e Torsion ; EH : Rigiité e gauchissement Page 6

7 H Pour une poutre en (I) smétrique I.( h es) ea b es J 1 bes 3 + ( h es) ea 3 3 Où : h es H : est le moment inertie e gauchissement ; J : est le moment inertie e Torsion ; Pour une poutre en (I) issmétrique b 1 es h ea es H ( b b ) 3 es. h 1 1 b 3 + b 3 1 b Page 7

8 Une poutre en (I) issmétrique moment inertie e torsion : b 1 b e e 1 b e 3 b 3 h J 3 b. e i i i 3 b i : gran istance Section rectangulaire J h.b 3 3 h > b e i : petite istance Si les semelles sont empêchées e tourner/- au niveau es appuis LL D L D : longueur e éversement L D 0.5L 0 M cr 1 π EH EIGJ 1+ π m L L GJ D Page 8

9 L 0 L D 0.5L 0 Si les semelles sont libre e tourner/- au niveau es appuis LL 0 L D : longueur e éversement L D L 0 S il eiste es appuis latérau l l 3 l l 1 L D ma (lf 1, lf, lf 3, lf ) Avec : lf 1 0.7l 1 lf 3 0.7l 3 lf l lf l Page 9

10 VI..3 Méthoe e Vérifications : a) Vérifications préliminaire : Cette méthoe consiste à vérifier que la semelle comprimé supposé isolé u reste e la pièce ne risque pas e flambé ans le plan latéral sous l effet une contrainte e compression est égale à la contrainte e fleion évelopper ans la pièce. V σ f (M/I )V σ f M W M. V I es bs V σ c σ f σ c σ f On oit vérifier que : Avec k s : coefficient e flambement k σ σe s f (1) l ( semelles) f λ i ( semelles) Avec i semelle I semelle A semelle A semelle bs.es ; bs 3. es I semelle 1 l : Longueur e flambement e la semelle. fsemelle Si la conition (1) est vérifiée Pas e risque e éversement. Sinon il faut faire un calcul justificatif e éversement Page 10

11 b) Méthoes pratiques : b.1 Domaine application : Poutre en I oublement smétrique à âme pleine où à treillis fléchies ans le plan âme où bien e treillis qui risque e se éversé sous les moes e chargement et avec les schémas statiques suivant : Pièces smétriquement chargées et appuées q Pièces soumises à couples e moment concentrés au appuis M w M e Consoles parfaitement encastrées chargées par es charges concentrées où uniformément réparties. p q b. Vérifications : Cas poutre en I : On se place en sécurité en consiérant une membrure composée une semelle et une âme et en montre que sous un moment constant la membrure aurait une contrainte critique Euler égale : σ cr π E V i i l f Page 11

12 Ce qui revient affecter à la pièce un élancement : l λ f i Pour tenir compte u niveau application es charges ainsi que leurs moes e répartitions on introuit respectivement les coefficients B et C : i V π E.. V π E I h. B. C σ i BC cr l i. I. l f f Pour tenir compte enfin u milieu élastique, Dutheil à onner une epression e la contrainte e non éversement : σ σ ( D 1).... k0 π E I h B C ( D 1) I. l D D : étant un coefficient fonction es imensions e la pièce. Finalement la contrainte e non éversement s écrit comme suit : σ I h 0000 ( D 1) B. C I l D [kg/mm²]ou [an/mm²] I, I : moment inertie e la pièce ; L D : longueur e éversement ; h: hauteur e la pièce ; B D et C coefficient qui tient compte e la géométrie Jl D D Le coefficient D est égal : Ih Le coefficient C est égal : Charge uniformément répartie C1.13 Charge Concentré à mi-travée C Page 1

13 Moment etrémité ans le rapport ψ compris entre -1 et 1 ψme /M w (M w M e ) C 3 1+ ψ + ψ 0.15(1 ψ ) Le coefficient B est : fonction e la nature et niveau application e la charge B1 Moment etrémités ou charges transversales appliquées au niveau u centre e gravité Charges transversales appliquées au niveau une semelle et orientées : Vers le centre e gravité π C D π B 1+ C D Dans la irection opposée à celle u centre e gravité π C D π B 1+ + C D Si σ σe aucun ne risque e éversement ; σ < σe Risque e éversement. On oit vérifier ans le cas e : Fleion simple Fleion éviée k σ σe f ; k k σ + k σ σe ; f f f f Page 13

14 Fleion composé sup k k, σ k k σ k σ σe f f f f Avec : k : Coefficient e éversement ( 1). Détermination e K : 1. Poutre smétriquement chargées et appuées à paroi pleines : K k 0 σ (1) 1+ ( k 1) σ 0 e L D I σ λ 1 0 h B. C I σ () e k 0 : coefficient e flambement (λ 0 k 0 ) on appliquant la formule suivante : σ k e + σ k σ k σ e σ k π ² E λ 0 σ e σ k. Poutre soumises à eu moments ifférents au appuis : M w M e M w M e.1 Semelles empêchées e tourner/- au appuis : K k 0 C (3) Et L D 0.5l 0. Semelles libre e tourner/- au appuis : LD l Page 1

15 K k 0 C C 1 + 5k 0 () k 0 est éterminer par la formule k 0 avec L D l 0, BC1 ensuite en remplace ans l équations () avec les valeurs réel. 3. Consoles parfaitement encastrées : p L D l 0 Charges appliquées à une istance a u centre e gravité e la section K L h σ e 1000C. bs. es 00 bs L L C. D a es h es bs G P a (+) a (-) Si la charge est appliquée au CDG a 0 L L D h P a 0 bs Si la charge est appliquée sur la semelle supérieur a h/ L L C.. h D es P h a h/ Page 15

16 bs Si la charge est appliquée sur la semelle inférieur a -h/ L L C.. h D es h a -h/ P Page 16